2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、高考真題及答案2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選 出符合題目要求的一項.1. （5 分）已知集合 A= - 1, 0, 1, B=x| - 1<x< 1,則 AH B=（A. 0 B. -1, 0C. 0, 1 D. -1, 0, 12. （5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2-i） 2對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C第三象限 D.第四象限3. （5分）“小=是"曲線y=sin （2x+（|）過坐標(biāo)原點”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件高考真題解析

2、4. （5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（片 O,S=1i=i+l/輸出57 （結(jié)束）A. 1 B 二3一二5. （5分）函數(shù)f （x）的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y=ex關(guān)于y軸對稱，則f （x）=（）A. e"1 B. ex 1 C. e x+1D. e x 1226. （5分）若雙曲線9號口的離心率為炎，則其漸近線方程為（ a bA. y=±2x B, 丁一士、"C. . - D, 1 二工7. （5分）直線 形的面積等于（l過拋物線C: x2=4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖B. 2r2x-y+l>0 ,8. （5分

3、）設(shè)關(guān)于x, y的不等式組，k+YO ，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點 PJF。(xo, y0),滿足X0-2y0=2,求得m的取值范圍是()A-i B-i C-i D 一 jo000二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9. （5分）在極坐標(biāo)系中，點（2,二:）到直線P sin 8 =2E離等于.10. （5分）若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20, a3+a5=40,貝U公比q=；前n 項和Sn=.11. （5分）如圖，AB為圓。的直徑，PA為圓。的切線，PB與圓O相交于D, 若 PA=3, PD: DB=9: 16, WJ PD=, AB=.12. （5分）將序號分別為1, 2, 3, 4,

4、5的5張參觀券全部分給4人，每人至 少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是 .13. （5分）向量W, b, 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 c= A a+H b （%、 r t 九代 R）,貝 U =14. （5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCA A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段DiE上，點P到直線CC的距離的最小值為 .三、解答題共6小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟15. (13分)在 ABC中，a=3, b=2&, / B=2/A.(I )求cosA的值；(H)求c的化16. (13分)如圖是預(yù)測到的某地 5月1日至14日的空氣

5、質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空 氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污 染，某人隨機選擇5月1日至5月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留 2天口 23 3日 4m5日 6日 7日8日 9B1OB11B11013HMB£=.質(zhì)量指數(shù)(I)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率；(n)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求 X的分布列與數(shù)學(xué)期望(田)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)17. (14分)如圖，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面 ABC，平面 AA1C1C, AB=3, BC=5(I )

6、求證：AA，平面ABC;(H)求證二面角A1-BC-B1的余弦值；(m)證明：在線段BG上存在點D,使得AD±A1B,并求科的值.D 118. (13分)設(shè)l為曲線C: yQ空在點(1,0)處的切線.(I )求l的方程；(H)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線l的下方.219. (14分)已知A, B, C是橢圓W:亍+，二上的三個點，O是坐標(biāo)原點.(I)當(dāng)點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；(II)當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形 OABC是否可能為菱形，并說明理 由.20. (13分)已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前 n項的最大值記 為A

7、n,第n項之后各項 an+1 , an+2 -的最小值記為Bn, dn =An - Bn -(I )若an為2, 1 , 4, 3, 2, 1 , 4, 3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nCN , 0n+4=an),與出 d1 , d2, d3, d4 的值；(H)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=- d (n=1, 2, 3)的充分必要條件為an 是公差為d的等差數(shù)列；(m)證明：若a1二2, dn=1 (n=1, 2, 3,)，則an的項只能是1或者2,且 有無窮多項為1.2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，

8、選 出符合題目要求的一項.1. （5 分）已知集合 A= - 1, 0, 1, B=x| - 1<x< 1,則 AH B=（）A. 0 B. -1, 0C. 0, 1 D. -1, 0, 1【分析】找出A與B的公共元素，即可確定出兩集合的交集.【解答】解：. A= 1, 0, 1, B=x| -1<x<1, .An B= -1, 0.故選：B.【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.2. （5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2-i） 2對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C第三象限 D.第四象限【分析】化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，即可判

9、斷復(fù)數(shù)對應(yīng)點所 在象限.【解答】解：復(fù)數(shù)（2 i） 2=4 4i+i2=3-4i,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點（3, -4）,所以在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2-i） 2對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計算能力.3. （5分）“小二是"曲線y=sin （2x+（|）過坐標(biāo)原點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【分析】按照充要條件的定義從兩個方面去求曲線 y=sin （2x+（|）過坐標(biāo)原點, 求出小的值，小=田寸，曲線y=sin （2x+（）過坐標(biāo)原點.【解答】解：小二淚寸，曲線y=sin （

10、2x+（|） = 一sin2x,過坐標(biāo)原點.但是，曲線y=sin （2x+（）過坐標(biāo)原點，即O （0, 0）在圖象上，將（0, 0）代入解析式整理即得sin 4=0 kk, kCZ,不一定有小二支故“小二是"曲線y=sin （2x+（）過坐標(biāo)原點”的充分而不必要條件.故選：A.【點評】本題考查充要條件的判定，用到的知識是三角函數(shù)的圖象特征.是基礎(chǔ)題.4. （5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S值為（i=S=l2S-I£=l + li>2與一1查 是 /輸出i7一二（結(jié)束）A. 1 B.：3【分析】從框圖賦值入手，先執(zhí)行一次運算，然后判斷運算后的 i的值與2的大小，

11、滿足判斷框中的條件，則跳出循環(huán)，否則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足為止.【解答】解：框圖首先給變量i和S賦值0和1 .執(zhí)行 s= 1 ” 金，i=0+1=1;2X1+1 3w 才+ +“ 電'1 13判斷1 方2不成立，執(zhí)行若，i=1+1=2;2乂各1判斷2方2成立，算法結(jié)束，跳出循環(huán)，輸出 S的值為導(dǎo)故選：C.【點評】本題考查了程序框圖，考查了直到型結(jié)構(gòu)，直到型循環(huán)是先執(zhí)行后判斷， 不滿足條件執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足結(jié)束循環(huán)，是基礎(chǔ)題.5. (5分)函數(shù)f (x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y=ex關(guān)于 y軸對稱，則f (x)=()A. ex+1 B. ex 1 C. e x

12、+1D. e x 1【分析】首先求出與函數(shù)y=ex的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象的函數(shù)解析式，然后換x為x+1即可得到要求的答案.【解答】解：函數(shù)y=ex的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象的函數(shù)解析式為 y=e x, 而函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y=ex的圖象關(guān)于y 軸對稱，所以函數(shù)f (x)的解析式為y=e-x+1) =e-x-1.即f (x) =e x 1.故選：D.【點評】本題考查了函數(shù)解析式的求解與常用方法， 考查了函數(shù)圖象的對稱變換 和平移變換，函數(shù)圖象的平移遵循 左加右減，上加下減”的原則，是基礎(chǔ)題.226. (5分)若雙曲線與三口的離心率為近，則其漸近線方程為()A.

13、 y=±2x B.戶加工 C.支土乂 D.產(chǎn)士考了【分析】通過雙曲線的離心率，推出a、b關(guān)系，然后直接求出雙曲線的漸近線 方程.【解答】解：由雙曲線的離心率娟，可知c=/3a,又 a2+b2=c2,所以 b= :a,所以雙曲線的漸近線方程為：y= 土白產(chǎn)土比x.a故選：B.【點評】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，漸近線方程的求法，考查計算能力.7. (5分)直線l過拋物線C: x2=4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖 形的面積等于()A. ，; B. 2C.D -333【分析】先確定直線的方程，再求出積分區(qū)問，確定被積函數(shù)，由此利用定積分可求直線l與拋物線圍成的封閉圖形面積.【解答

14、】解：拋物線x2=4y的焦點坐標(biāo)為(0, 1),二,直線l過拋物線C: x2=4y的焦點且與y軸垂直，直線l的方程為y=1,由,可得交點的橫坐標(biāo)分別為-2, 2.T:4第2_直線l與拋物線圍成的封閉圖形面積為11(1+)改=(X-Lx3)| %=!.sJL 乙v故選：C.【點評】本題考查封閉圖形的面積，考查直線方程，解題的關(guān)鍵是確定直線的方 程，求出積分區(qū)問，確定被積函數(shù).r2x-y+l>0 ,8. (5分)設(shè)關(guān)于x, y的不等式組,工+M0，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(xo, yo),滿足X0-2y0=2,求得m的取值范圍是()A三 B丁)C. '. J，D 一 二JJD02z-

15、y+l>0 ,【分析】先根據(jù)約束條件，升MO,畫出可行域.要使可行域存在，必有I y-m>0m< - 2m+1,要求可行域包含直線y=1-x - 1上的點，只要邊界點(-m, 1 - 2m)在直線y=x- 1的上方，且（-m, m）在直線y=Lx- 1的下方，從而建立關(guān)于 22m的不等式組，解之可得答案.r2x-y+l>0 ,【解答】解：先根據(jù)約束條件，.畫出可行域,y=Lx- 1上的點，只2要使可行域存在，必有 m<-2m+1,要求可行域包含直線要邊界點（-m, 1 - 2m）在直線y=x-1的上方，且（-m, m）在直線yx- 1的下方,22故得不等式組m-1

16、解之得：m<3【點評】平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關(guān)鍵 是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分 析圖形，找出滿足條件的點的坐標(biāo)，即可求出答案.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9. （5分）在極坐標(biāo)系中，點（2, j）到直線P sin 0 =2E離等于 1 . U【分析】先將點的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)， 極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后用 點到直線的距離來解.【解答】解：在極坐標(biāo)系中，點（2 ,卷）化為直角坐標(biāo)為（相，1）,直線p sin 8例直角坐標(biāo)方程為y=2,（V3, D,至U y=2的距離1,即為點（2 , 工）到

17、直線P sin 8 =2距離1,6故答案為：1.【點評】本題關(guān)鍵是直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想.10. （5分）若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20, a3+a5=40,貝U公比q= 2 ;前n項 和 Sn= 2n+1-2 .r 3ai q+ai q =20【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和已知即可得出, I L ,解出即可二 40z n 7 1得到a1及q,再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出s二上二1.n qT【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,a2+a4=a2 （1+q2） =20®a3+a5=a3 （1+q2） =40一兩個式子相除，可得到一=二二2 a2 20

18、即等比數(shù)列的公比q=2, 將q=2帶入中可求出a2=4貝U a1= / =2 q 2.數(shù)列an時首項為2,公比為2的等比數(shù)列.:數(shù)歹”an的前 n 項和為：&=，L）=?x=2n+1 - 2.q-12-1故答案為：2, 2n+1-2.【點評】熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前n項和公式是解題的關(guān)鍵.11. （5分）如圖，AB為圓。的直徑，PA為圓。的切線，PB與圓O相交于D, 若 PA=3, PD: DB=9: 16, WJ PD_i_, AB= 4 .【分析】由PD: DB=9: 16,可設(shè)PD=9k DB=16x利用切割線定理可得 P/2=PD?PB 即可求出x,進(jìn)而得到PD

19、, PB. AB為圓。的直徑，PA為圓。的切線，利用切線 的性質(zhì)可得AB± PA再利用勾股定理即可得出 AB.【解答】 解：由PD: DB=9 16,可設(shè)PD=9x, DB=16x.PA為圓。的切線，,. PA2=PD?PB32=9x? （9x+16x）,化為,.x=l. 255 . PD=9x= , PB=25x=5 5AB為圓。的直徑，PA為圓。的切線，. AB±PA二 I； = v：=4故答案分別為也4.5【點評】熟練掌握圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵.12. （5分）將序號分別為1, 2, 3, 4, 5的5張參觀券全部分給4人，每人至 少1張，如

20、果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是96 .【分析】求出5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2 張參觀券連號的組數(shù)，然后分給 4人排列即可.【解答】解：5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數(shù) 為：1和2, 2和3, 3和4, 4和5,四種連號，其它號碼各為一組，分給 4人， 共有4X尺=96種.故答案為：96.【點評】本題考查排列組合以及簡單的計數(shù)原理的應(yīng)用，正確分組是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力.13. （5分）向量W, b, 3在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 c-X a+|I b （% 代R）,貝哈=4 .【分析】以向量：、Z

21、的公共點為坐標(biāo)原點，建立如圖直角坐標(biāo)系，得到向量 彳、E、3的坐標(biāo)，結(jié)合題中向量等式建立關(guān)于 入N的方程組，解之得 入。2且N二-1,即可得到上的值.2人【解答】解：以向量短了的公共點為坐標(biāo)原點，建立如圖直角坐標(biāo)系 可得 0= ( 1, 1), b= (6, 2) , c= ( - 1, - 3).T二-'+6禹，解之得入=2且卜=工1-3=+2 PL2因此， =二=4T故答案為：4【點評】本題給出向量彳用向量；、E線性表示，求系數(shù) 卜小的比值，著重考查 了平面向量的坐標(biāo)運算法則和平面向量基本定理及其意義等知識，屬于基礎(chǔ)題.14. （5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCA A1B1C1

22、D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC的距離的最小值為羋5【分析】如圖所示，取BiG的中點F,連接EF, ED,利用線面平行的判定即可 得到CiC/平面DiEF,進(jìn)而得到異面直線 DiE與CiC的距離.【解答】解：如圖所示，取BiG的中點F,連接EF, ED, . CC / EF,又 EF?平面 DiEF, CG?平面 DiEF,.CC/平面 DiEF. 直線GC上任一點到平面DiEF的距離是兩條異面直線 DiE與CC的距離.過點Ci作GMDiF, 平面 DiEF1平面 AiBiCiDi. GM，平面 DiEF.過點M作MP/ EF交DiE于點P,則MP/ GC.取CiN=

23、MP,連接PN,則四邊形MPNG是矩形.可得NP，平面DiEF,在 RtDiGF 中，GM?DiF=DCi?GF,得C/= /乂1 一電. V22+l25 點P到直線CC的距離的最小值為攣.5故答案為-53【點評】熟練掌握通過線面平行的性質(zhì)即可得到異面直線的距離是解題的關(guān)鍵.三、解答題共6小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟15. （i3分）在 ABC中，a=3, b=2旄，/ B=2/A.(I )求cosA的值；(H)求c的化【分析】(I)由條件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值.(n)由條件利用余弦定理，解方程求得 c的值，再進(jìn)行檢驗，從而得出結(jié)論.【解答】解：(I)由條件在

24、 ABC中，a=3, b=2V6, / B=2/A,利用正弦定理可得&二b ,即 邑二2詆=_絆_sinA sinB sinA sin2A 2sinAcosA解得 cosA=L§-. 3(H)由余弦定理可得 a2=b2+c2 2bc?cosA,即 9=(2«)2+c2 - 2X2泥 x cX返 3即 c2- 8c+15=0.解方程求得c=5,或c=3.當(dāng) c=3 時，此時 a=c=3,根據(jù)/ B=2/ A,可得 B=90°, A=C=45, ABC是等腰直角三角形，但此時不滿足 a2+c2=b2,故舍去. 222222當(dāng) c=5 時,求得 cosB=&qu

25、ot; + )J, cosA=b 4.一3=/A 2ac 32bc 3cos2A=2cosA - l=cosB,B=2A,滿足條件.J綜上,c=5.【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的應(yīng)用，注意把c=3舍去，這是解題的易錯點，屬于中檔題.16. (13分)如圖是預(yù)測到的某地 5月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空 氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污 染，某人隨機選擇5月1日至5月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留 2天0 I日？日3日4日5日6日7日*日9日10日11日1?印5日14日知空丐M量指數(shù)(I)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概

26、率；(n)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求 X的分布列與數(shù)學(xué)期望(田)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)【分析】(I)由圖查出13天內(nèi)空氣質(zhì)量指數(shù)小于100的天數(shù)，直接利用古典概 型概率計算公式得到答案；(H)由題意可知X所有可能取值為0, 1, 2,得出P (X=0), P (X=1), p (x=2) 及分布列與數(shù)學(xué)期望；(田)因為方差越大，說明三天的空氣質(zhì)量指數(shù)越不穩(wěn)定，由圖直接看出答案.【解答】解：設(shè)Ai表示事件 此人于5月i日到達(dá)該地”(i=1, 2,，13)依據(jù)題意 P (Ai)=+，AQAj=? (iwj)(I)設(shè)B表示事件 此人到達(dá)當(dāng)日

27、空氣質(zhì)量優(yōu)良”，則P (B) 哈(3分)JL O(H) X的所有可能取值為0, 1, 2RddP (X=0)喂，P (X=1)*，P (X=2)暇(6 分) jL O10JL J，- X的分布列為(8分)X的數(shù)學(xué)期望為E (X) 喑(11分)JL。(13分)(田)從5月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.【點評】本題考查了正確理解題意及識圖的能力、古典概型的概率計算、隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望與方差，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法及審題與計算的能 力.17. (14分)如圖，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AAiGC是邊長為4的正方形.平面 ABC，平面 AA1C1C, AB=3, BC=5

28、(I )求證：AA，平面ABC;(H)求證二面角A1-BC-B1的余弦值；(m)證明：在線段BG上存在點D,使得AD±A1B,并求型-的值.【分析】(I)利用AA1C1C是正方形，可得AA1，AC,再利用面面垂直的性質(zhì)即可 證明；(II)利用勾股定理的逆定理可得 AB±AC.通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個 平面的法向量的夾角即可得到二面角；(III)設(shè)點D的豎坐標(biāo)為t, (0<t<4),在平面BCCBi中作DEL BC于E,可得D(t,t),利用向量垂直于數(shù)量積得關(guān)系即可得出.【解答】(I)證明：: AA1C1C是正方形， AA11AC.又平面ABC1平面AA

29、1C1C,平面AB8平面AA1C1C=AC AA，平面 ABC.(II)解：由 AC=4, BC=5, AB=3. . AC2+AB2=Bd, , ABI AC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4), C (4, 0, 4),西二(4, -3, 4),西二(0, -3, 4),西二(0, 0, 4).設(shè)平面 ABC的法向量為五二(叼，eJ,平面BBG的法向量為三二(X2,y2, z2).，BC i=i-3%+4w i=0貝/一 _，令 yi=4,解得 xi=0, zi=3, 布二(0, 4, 3).門1二-3y +4勺=01n2'BC

30、i二4工2-3y?+4z2=0_t.，令 X2=3,解得 y2=4, Z2=0,4,0).n?BBi二虹2二01616卮 | 日 | V2W25 25,二面角Ai - BQ - Bi的余弦值為也.(III)設(shè)點D的豎坐標(biāo)為t, (0<t<4),在平面BCCB中作DEL BC于E,可得D(t, %-t)，t),標(biāo)二(3 !(*t), t), 77b=(0，3, 4), 41AD-LaTb， 標(biāo).不二 0, -0"k(4t) Tt =0，解得 t=".q工,.BC】CCt 25【點評】本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理、通 過建立空間直角坐標(biāo)

31、系利用法向量求二面角的方法、 向量垂直與數(shù)量積得關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力.18. (13分)設(shè)l為曲線C: yQ更在點(1,0)處的切線.(I )求l的方程；(H)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線l的下方.【分析】(I)求出切點處切線斜率，代入代入點斜式方程，可以求解；(n)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析出函數(shù)圖象的形狀，可得結(jié)論.【解答】解：(D 尸皿* _l-lnx丁 一 , xl 的斜率 k=y|x=1=1一. l的方程為y=x- 1證明：(H )令 f (x) =x (x 1) - lnx, (x> 0)曲線C在直線l的下方，即

32、f (x) =x (x-1) - lnx>0, 貝U f ' (x) =2x- 1 -工=(2什1)堡.XX，- f (x)在(0, 1)上單調(diào)遞減，在(1, +00)上單調(diào)遞增，又f (1) =0xC (0, 1)時，f (x) >0,即應(yīng)<x 1Xx (1, +oo)時，f (x) >0,即2m<x 1X即除切點(1,0)之外，曲線C在直線l的下方【點評】本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔.19. (14分)已知A, B, C是橢圓 W:號+/"上的三個點，O是坐標(biāo)原點. (I)當(dāng)點B是W

33、的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積； (II)當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形 OABC是否可能為菱形，并說明理 由.【分析】(I)根據(jù)B的坐標(biāo)為(2, 0)且AC是OB的垂直平分線，結(jié)合橢圓方 程算出A、C兩點的坐標(biāo)，從而得到線段 AC的長等于再結(jié)合OB的長為2 并利用菱形的面積公式，即可算出此時菱形OABC的面積；(II)若四邊形OABC為菱形,根據(jù)|OA=|Oq與橢圓的方程聯(lián)解，算出A、C的2橫坐標(biāo)滿足3_=r2 - 1,從而得到A、C的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù).再分兩種4情況加以討論，即可得到當(dāng)點 B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形.【解答】解：（I）二.四邊形

34、OABC菱形，B是橢圓的右頂點（2, 0）直線AC是BO的垂直平分線，可得 AC方程為x=1設(shè)A （1, t）,得11+七2口，解之得t=立 （舍負(fù)）42.A的坐標(biāo)為（1,與）,同理可得C的坐標(biāo)為（1,零）因止匕，|AC=&,可得菱形OABC的面積為S=-| AC| ?| BO| =73 ；2（II）二.四邊形 OABC為菱形，. |OA=|OC ,設(shè)|OA|=|OC=r （r>1）,得 A、C兩點是圓 x2+y2=r222與橢圓怛 一+r二的公共點，解之得 多=2 -144設(shè)A、C兩點橫坐標(biāo)分別為X1、X2,可得A、C兩點的橫坐標(biāo)滿足X1 =x2= ?不?噌2 _,或 X1 =

35、 ?F ?必2 _且 x2 = 2 對工2 _,當(dāng)X1=X2=警?不可時，可得若四邊形 OABC為菱形，則B點必定是右頂點（2, 0）;若 X1=?77且 X2=-竽？貝u X1+X2=o,可得AC的中點必定是原點O,因此A、0、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC綜上所述，可得當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形.【點評】本題給出橢圓方程，探討了以坐標(biāo)原點 O為一個頂點，其它三個頂點 在橢圓上的菱形問題，著重考查了菱形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì) 等知識，屬于中檔題.20. (13分)已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項an+1, an+2的最小值記為Bn, dn=An- Bn.(I )若an為2, 1 , 4, 3, 2, 1 , 4, 3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nCN , 0n+4=an),與出 d1, d2, d3, d4的值；(H)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=- d (n=1, 2, 3)的