隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法PPT課件

1、2021/3/91Oct.21 Mon. Reviewv導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). .v反函數(shù)求導(dǎo)反函數(shù)求導(dǎo)2021/3/92v復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)xuxuff ).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)或或2021/3/93v高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))()()()(

2、)1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 2021/3/94nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式2021/3/953 3 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法隱函數(shù)和參

3、數(shù)方程求導(dǎo)法v隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)v參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)v導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用2021/3/96一一. . 隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)定義定義: :.)(0),(為為隱隱函函數(shù)數(shù)稱稱所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程xyyyxF .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題: :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). .2021/3/97.)0(sin)(sin. 3),()0(. 20si

4、n:. 1cos000222的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求的的切切線線方方程程；導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，并并求求它它在在所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求； xxyyxMRRyxyxyequationKeplerx 例例注意：注意： 。求導(dǎo)式充分簡(jiǎn)化表達(dá)式求導(dǎo)式充分簡(jiǎn)化表達(dá)式兩端求導(dǎo)時(shí)，始終兩端求導(dǎo)時(shí)，始終. 2);(. 1xyy 2021/3/98 1) 對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù)vuy 可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnln yy 1uv ln uvu )ln(uvuuvuyv vuuyv lnuuvv 1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:2021/3

5、/992) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,),(100 babaaxxbbaybax兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù) yln兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) yybalnxa xb baxaxxbbaybalnxa xb baxln lnlnxbalnlnaxb 2021/3/910又如又如, )()(4321 xxxxyuuu )ln( 21 yln對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) 21 yy)()(432121 xxxxy 41312111 xxxx兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)21 xxlnln 43 xxlnln 11x21 x31 x 41 x2021/3/911對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：

6、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好 求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)。數(shù)，再求導(dǎo)。隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). .2021/3/912例例4.4.解解: 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)2021

7、/3/913的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；求由方程確定的隱函數(shù)求由方程確定的隱函數(shù)例例yyxxy,5. 解解: :兩邊取對(duì)數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)，yxxylnln 再求導(dǎo)再求導(dǎo)yyxyxyxy lnln.)ln()ln(xxyxyyxyy 2021/3/914的二階導(dǎo)數(shù)。的二階導(dǎo)數(shù)。所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程例例)(. 6arctanxyyyxexy 122解解: :將方程化為：將方程化為：xyeyxarctan 2222222yxyyx 2211xyyxxyexy )(arctan22yxyyx x兩兩端端對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo)2021/3/915222xyyxyx yxyxy )(1yyxyyx 求導(dǎo)：

8、求導(dǎo)：式兩端關(guān)于式兩端關(guān)于再對(duì)再對(duì)x)(1yxyyy 21代入上式有：代入上式有：將將yxyxy .)()(3222yxyxy 2021/3/9161.1. 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu Nove. 6 Fri. Nove. 6 Fri. ReviewReview2021/3/917對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好 求，可以化為隱函數(shù)

9、求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)。數(shù)，再求導(dǎo)。2.2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). .2021/3/918二二. 參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則.,)()(定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得。由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得。2021/3/919dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ),()().(),(1xttxtytx 的

10、的反反函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)代代表表平平面面上上一一條條曲曲線線，)(嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)，連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)法法則則并并且且設(shè)設(shè)它它滿滿足足反反函函數(shù)數(shù)求求1( ),( ),yyt tx 于于是是看看做做復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)則則有有2021/3/920；，求，求例例dxdytytx )ln(arcsin.211解：解：dxdy)()(txty 221112ttt 22112ttt 2021/3/921222 2.(01)sin1( );xtttyydyyy xdx 例例設(shè)設(shè)由由方方程程確確定定函函數(shù)數(shù)，求求解解: 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得故故 xydd)cos)(ytt 11tyddtx

11、dd t 2yttycosdd 1222 tycos tydd0 )(dd12 ttxtyddtxdd2021/3/922；求求，可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，其其中中例例030)0()1()(. 3 ttdxdyffefytfx dxdy)()(tfeeftt 31330 tdxdy)()(003ff 解：解：3 2021/3/923;,)()(4.22dxydtytx求求例例 dxdy)()(tt 22dxyd dxdydxd解：解： )()(ttdxd dxdtttdtd )()( )()()()()()(tttttt21 )()()()()(ttttt3 )()(ddttxy 22,)()(tt x

12、ydd已知已知注意注意 :2021/3/924 ).cos1(),sin(tayttax如如.y 求求dxdyttcos1sin 2sin22cos2sin22ttt 2cott 22dxyddtdxdxdydtd )(.2sin414ta )cos1(/2csc212tat 2021/3/925例例5 5解解:.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)方向炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻求求其運(yùn)動(dòng)方程為其運(yùn)動(dòng)方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計(jì)空氣的阻力不計(jì)空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(0

13、0可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在tt2021/3/926)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時(shí)刻沿時(shí)刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 2021/3/927三三. . 由極坐標(biāo)確定的

14、函數(shù)求導(dǎo)由極坐標(biāo)確定的函數(shù)求導(dǎo).),(dxdy求求曲曲線線方方程程為為 .sin)(,cos)( yx：關(guān)關(guān)系系給給出出曲曲線線參參數(shù)數(shù)方方程程利利用用直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)與與極極坐坐標(biāo)標(biāo)然后利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。然后利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。2021/3/928例例. . 求螺線求螺線 r在對(duì)應(yīng)于在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程的點(diǎn)處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 sincosryrx cos sin xydd ddy ddx cossin sincos 當(dāng)當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)斜率斜率xykdd 2 2 2 , ),(20 M 切線方程為切線方程為22 xy2 2021/3/929四四. . 導(dǎo)

15、數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用1. 1. 切線與法線問題切線與法線問題1.sin24a 例例求求曲曲線線在在處處的的切切線線方方成成與與法法線線方方程程；極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程參數(shù)方程參數(shù)方程解解: :極坐標(biāo)化為參數(shù)方程：極坐標(biāo)化為參數(shù)方程： sinsinsin)(cossincos)(22ayax為參數(shù)，切線斜率為為參數(shù)，切線斜率為 4222222 cossincoscoscossinsincosaaaadxdy1 2021/3/930法線斜率為法線斜率為1 1，ayax224224 )(,)( 切切點(diǎn)點(diǎn)為為法線方程為法線方程為: :axay2222 . 0 yx即即2021/3/9312.1xy

16、 例例證證明明：雙雙曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線與與兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸圍圍成成的的三三角角形形的的面面積積等等于于常常數(shù)數(shù)；證明證明: :.,出面積出面積軸上的截距，即可求軸上的截距，即可求求出切線方程及它在求出切線方程及它在yx),(111yxxy上上一一點(diǎn)點(diǎn)任任取取 )(12111xxxyy 切線方程為：切線方程為：2110 xyxx 過過該該點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線斜斜率率為為)(11211xyxxy 2021/3/932，即即軸軸上上的的截截距距乘乘以以所所求求面面積積為為切切線線在在21, yxXY21)(112111121xyxxy )(11211111 yxxyx211121)

17、( yx2 軸上的截距為：軸上的截距為：切線在切線在yx,.1),1(111121xyYxyxX 2021/3/933恒為常數(shù)；恒為常數(shù)；切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)交點(diǎn)至切點(diǎn)的距離交點(diǎn)至切點(diǎn)的距離軸的軸的上任一點(diǎn)處的切線與上任一點(diǎn)處的切線與證明曲線證明曲線)()0 , 0(sin)cos2tan(ln. 3xtatayttax 證明證明: :，過過該該點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(11yx)()()()(txxtxtytyy1111 :,軸軸交交點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為得得到到切切線線與與令令xy0 )()()()(txxtytyytx1111 )()()()()(tytytxt

18、ytxx 0)()(11tydydxtx 2021/3/934)(tx ,sincostta2 01111cotcosxxytxat ,cos)(taty )()(tyxtxd21201 1222111tatatxtxsin)cos)()( a .tantdxdy 2021/3/935.,)()(變化率稱為相關(guān)變化率變化率稱為相關(guān)變化率這樣兩個(gè)相互依賴的這樣兩個(gè)相互依賴的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 2021/3/936)(, )(tyyt

19、xx 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題解法解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率2. 2. 相對(duì)變化率問題相對(duì)變化率問題.兩兩個(gè)個(gè)相相互互依依賴賴的的變變化化率率稱稱為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率2021/3/93712cm18cmhrH10cm例例. . 有裝滿水的正圓錐形漏斗，頂部直徑為有裝滿水的正圓錐形漏斗，頂部直徑為12cm12cm，深深18cm18cm，下接直徑為，下接直徑為10cm10cm的圓柱形水桶，當(dāng)漏的圓柱形水桶，當(dāng)漏斗水深為斗水深為12cm12cm時(shí)，水平面下降的速率為時(shí)，水平面下降的速率為1cm/s1cm/s，試求此時(shí)水桶的水平面上升的速率。試求此時(shí)水桶的水平