重視數(shù)學思想方法

1、淺談?wù)n改中的數(shù)學思想方法摘要：數(shù)學思想是指人們對數(shù)學理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認識，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體化形式，實際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通?；旆Q為“數(shù)學思想方法”。常見的數(shù)學四大思想為：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合。數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂和精髓，如何在中學數(shù)學教材中體現(xiàn)數(shù)學思想方法，不失時機的向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法是一個十分重要的問題。本文著重探討高中數(shù)學內(nèi)容中所蘊含的數(shù)學思想方法，并對實驗教材與普通教材在數(shù)學思想方法處理方面進行比較。通過比較我們看到，中學數(shù)學實驗教材中更突出了數(shù)學思想和數(shù)學方法，體現(xiàn)了知識教學和能力培養(yǎng)的統(tǒng)一。并且我們必須重視數(shù)學

2、思想方法，深化數(shù)學教材改革，讓學生學會用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題，切實實現(xiàn)素質(zhì)教育的要求。關(guān)鍵詞：數(shù)學思想方法，數(shù)學教材一、問題提出數(shù)學思想是分析、處理和解決數(shù)學問題的根本方法，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，數(shù)學方法是分析、處理和解決數(shù)學問題的策略，因此數(shù)學思想方法應(yīng)與整個表層只是的學習融為一體，才能使我們逐步掌握有關(guān)的深層知識：所以摸清同學們將我們在數(shù)學學習中經(jīng)常用到的數(shù)學思想方法中（如：集合思想、轉(zhuǎn)化思想和對應(yīng)思想：數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想：函數(shù)、方程的思想，代定系數(shù)法、配方法）進行總結(jié)。數(shù)學思想方法是以具體數(shù)學內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到

3、數(shù)學的真諦，學會數(shù)學的思考和解決問題，并對人們學習和應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的思維活動起著指導和調(diào)控的作用。日本數(shù)學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應(yīng)用數(shù)學，那么作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用。所以突出數(shù)學思想方法教學，是當代數(shù)學教育的必然要求，也是數(shù)學素質(zhì)教育的重要體現(xiàn)，如何在中學數(shù)學教材中體現(xiàn)數(shù)學思想方法也是一個十分重要的問題2001年我國新一輪基礎(chǔ)教育課程改革已正式啟動,此次基礎(chǔ)教育數(shù)學課程改革的特點之一就是把數(shù)學思想方法作為課程體系的一

4、條主線。已經(jīng)有不少文章探討初中數(shù)學教材中的數(shù)學思想方法，但對高中數(shù)學教材中蘊含的數(shù)學思想方法探討較少。事實上，高中數(shù)學教材的改革也已經(jīng)開始醞釀，目前高中普遍使用的數(shù)學教材是人教社2000年版的全日制普通高級中學教科書（試驗修定本）數(shù)學（下稱普通教材），也有部分高中根據(jù)學生的情況選用了原國家教委的中學數(shù)學實驗教材（試驗本必修數(shù)學）（下稱實驗教材）?？梢哉f在素質(zhì)教育推動下，與舊數(shù)學教材相比這兩套新教材在內(nèi)容、結(jié)構(gòu)編排上都有了很大變化，都體現(xiàn)了新的數(shù)學教育觀念，而在原國家教委的中學數(shù)學實驗教材中尤其突出了數(shù)學思想和數(shù)學方法，體現(xiàn)了知識教學和能力培養(yǎng)的統(tǒng)一。本文就著重探討高中數(shù)學內(nèi)容中所蘊含的數(shù)學思想

5、方法，并對實驗教材與普通教材在數(shù)學思想方法處理方面進行比較。二、高中數(shù)學應(yīng)該滲透的主要數(shù)學思想方法1、 數(shù)學思想與數(shù)學方法數(shù)學思想與數(shù)學方法目前尚沒有確切的定義，我們通常認為，數(shù)學思想就是“人對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，它在認識活動中被反復(fù)運用，帶有普遍的指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想”。就中學數(shù)學知識體系而言，中學數(shù)學思想往往是數(shù)學思想中最常見、最基本、比較淺顯的內(nèi)容，例如：模型思想、極限思想、統(tǒng)計思想、化歸思想、分類思想等。數(shù)學思想的高層次的理解，還應(yīng)包括關(guān)于數(shù)學概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認識

6、，任何一個數(shù)學分支理論的建立，都是數(shù)學思想的應(yīng)用與體現(xiàn)。所謂數(shù)學方法，是指人們從事數(shù)學活動的程序、途徑，是實施數(shù)學思想的技術(shù)手段，也是數(shù)學思想的具體化反映。所以說，數(shù)學思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學方法是外顯的，數(shù)學思想比數(shù)學方法更深刻，更抽象地反映了數(shù)學對象間的內(nèi)在聯(lián)系。由于數(shù)學是逐層抽象的，數(shù)學方法在實際運用中往往具有過程性和層次性特點，層次越低操作性越強。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數(shù)法等等?？傊?，數(shù)學思想和數(shù)學方法有區(qū)別也有聯(lián)系，在解決數(shù)學問題時，總的指導思想是把問題化歸為能解決的問題，而為實現(xiàn)化歸，常用如一般化、特殊化、類比、歸納、恒等變形等方法，這時又常稱用化

7、歸方法。一般來說，強調(diào)指導思想時稱數(shù)學思想，強調(diào)操作過程時稱數(shù)學方法。2、 高中數(shù)學應(yīng)該滲透的主要數(shù)學思想方法中學數(shù)學教育大綱中明確指出數(shù)學基礎(chǔ)知識是指：數(shù)學中的的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理及由數(shù)學基礎(chǔ)內(nèi)容反映出來的數(shù)學思想方法?？梢姅?shù)學思想方法是數(shù)學基礎(chǔ)知識的內(nèi)容，而這些數(shù)學思想方法是融合在數(shù)學概念、定理、公式、法則、定義之中的。在初中數(shù)學中，主要數(shù)學思想有分類思想、集合對應(yīng)思想、等量思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計思想和轉(zhuǎn)化思想。與之對應(yīng)的數(shù)學方法有理論形成的方法，如觀察、類比、實驗、歸納、一般化、抽象化等方法，還有解決問題的具體方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待

8、定系數(shù)、分析、綜合等方法。這些數(shù)學思想與方法，在義務(wù)教材的編寫中被突出的顯現(xiàn)出來。在高中數(shù)學教材中，一方面以抽象性更強的高中數(shù)學知識為載體，從更高層次延續(xù)初中涉及的那些數(shù)學思想方法的學習應(yīng)用，如函數(shù)與映射思想、分類思想、集合對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計思想和化歸思想等。另一方面，結(jié)合高中數(shù)學知識，介紹了一些新的數(shù)學思想方法，如向量思想、極限思想，微積分方法等。因為其中一些數(shù)學思想方法都介紹很多了，這里只談一下初等微積分的基本思想方法。無窮的方法，即極限思想方法是初等微積分的基本思想方法，所謂極限思想（方法）是用聯(lián)系變動的觀點，把考察的對象（例如圓面積、變速運動物體的瞬時速度、曲邊梯形面積等）看

9、作是某對象（內(nèi)接正n邊形的面積、勻速運動的物體的速度，小矩形面積之和）在無限變化過程中變化結(jié)果的思想（方法），它出發(fā)于對過程無限變化的考察，而這種考察總是與過程的某一特定的、有限的、暫時的結(jié)果有關(guān)，因此它體現(xiàn)了“從在限中找到無限，從暫時中找到永久，并且使之確定起來”（恩格斯語）的一種運動辨證思想，它不僅包括極限過程，而且又完成了極限過程?？v觀微積分的全部內(nèi)容，極限思想方法及其理論貫穿始終，是微積分的基礎(chǔ)。三、普通教材與實驗教材在數(shù)學思想方法處理方面的比較普通高中教育是與九年義務(wù)教育相銜接的高一層次基礎(chǔ)教育，在數(shù)學教材的編寫上，必須要注意培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實踐能力和終身學習的能力。與舊教材相比

10、，新的數(shù)學教材開始重視滲透數(shù)學思想方法，那么高中現(xiàn)行使用的普通教材與實驗教材在數(shù)學思想方法處理方面有何異同呢？因為內(nèi)容太多，下面只能粗略的作一比較。1、相同之處在于普通教材與實驗教材都多將數(shù)學思想方法的展示，融合在數(shù)學的定義、定理、例題中。例如集合的思想，就是通過集合的定義“把某些指定的對象集在一起就成為一個集合”，及通過用集合語言來表述問題，體現(xiàn)了集合思想方法來處理數(shù)學問題的直觀性，深刻性，簡潔性。對非常重要的數(shù)學思想方法也采用單獨介紹的方式，如普通教材與實驗教材都將歸納法列為一節(jié)，詳細學習。2、 不同之處在于（1）有些在普通教材中隱含方式出現(xiàn)的數(shù)學思想方法，在實驗教材中被明確的指

11、出來，并用以指導相關(guān)數(shù)學知識的展開。關(guān)于數(shù)學方法我們舉不等式證明方法的例子。實驗教材在不等式一章第三節(jié)“證明不等式”中詳細講述了不等式證明的方法，比較法、綜合法、分析法、反證法。普通教材中雖然也在不等式一章，列出第三節(jié)“不等式的證明”介紹比較法、綜合法、分析法，但對方法的分析不夠透徹，更象是為了解釋例題。比如在綜合法的介紹中，普通教材只講：“有時我們可以用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質(zhì)推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。”而在實驗教材更準確更詳細的介紹：“依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知的不等式，正確運用邏輯推理規(guī)律，逐步推導出所要證明的

12、不等式的方法，稱為綜合法。綜合法實質(zhì)上是“由因?qū)Ч钡闹苯诱撟C，其要點是：四已知性質(zhì)、定理、出發(fā)，逐步導出其“必要條件”，直到最后的“必要條件”是所證的不等式為止”。分析法的介紹也是這樣，在實驗教材中給出了分析法實質(zhì)是“執(zhí)果索因”的說明，這樣學生能清楚的領(lǐng)會綜合法、分析法的要義，會證不等式的同時學會了綜合法和分析法，而不僅是能證明幾個不等式。關(guān)于數(shù)學思想在實驗教材第一冊（下）研究性課題“函數(shù)學思想及其應(yīng)用”中，明確提出“把一個看上去不是明顯的函數(shù)問題，通過、或者構(gòu)造一個新函數(shù)，利用研究函數(shù)的性質(zhì)和圖象，解決給出的問題，就是函數(shù)思想”，并舉例用函數(shù)思想解決最值問題、方程、不等式問題，及一些實際應(yīng)

13、用的問題。其實普通教材在講函數(shù)時也在用運動、變化的觀點，分析研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)形式把這種數(shù)量關(guān)系進行刻劃并加以研究，但從未提函數(shù)思想方法。雖然實驗教材中只是以研究性課題的形式，對函數(shù)思想作以介紹和應(yīng)用探討，可這已經(jīng)是一種重視數(shù)學思想方法的信號，隨著今后素質(zhì)教育的推進，和實踐經(jīng)驗的積累，我想數(shù)學思想方法在數(shù)學教材中會有更明確的介紹。我們舉向量的例子。（2）實驗教材中還增加了一些數(shù)學思想方法的介紹。關(guān)于數(shù)學方法普通教材在第一冊第三章“數(shù)列”中只介紹了數(shù)列的概念、等差等比數(shù)列及其求和，而在實驗教材第二冊（下）的第十章“數(shù)列”中增加了第四節(jié)“數(shù)列應(yīng)用舉例”介紹了作差，將某些復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)化

14、為等差等比數(shù)列的方法。這在潛移默化中也滲透了轉(zhuǎn)化的思想。又如在第一冊（上）中，增加了研究性課題“待定系數(shù)法的原理、方法及初步應(yīng)用”，閱讀材料“插值公式與實驗公式”，雖然不是作為正式章節(jié)，但也體現(xiàn)了對數(shù)學思想方法的重視。再如數(shù)學歸納法普通教材介紹的相當簡略，而實驗教材詳細介紹了什么是歸納法，歸納法的結(jié)論是否一定正確，什么是數(shù)學歸納法歸納起始命題等問題，還舉了大量例子，切實注重讓學生真正理解方法。關(guān)于數(shù)學思想實驗教材中對向量，解析幾何的處理體現(xiàn)了將向量思想，幾何代數(shù)化思想的引入，并用這些數(shù)學思想方法來統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)數(shù)學知識的介紹。實驗教材在第六章“平面向量”開首就講：“代數(shù)學的基本思想方法是運用運算律去

15、系統(tǒng)地解答各種類型的代數(shù)問題；幾何學研究探索的內(nèi)容是空間圖形的性質(zhì)。在這一章中，我們首先要把表達“一點相對另一點的位置 ”的量定義為一種新型的基本幾何量我們稱之為向量，這樣，我們就可以用代數(shù)的方法研究平面圖形性質(zhì)，把各種各樣的幾何問題用向量運算的方法來解答。再看普通教材第五章“平面向量”的前提介紹：“，位移是一個既有大小又有方向的量，這種量就是我們本章報要研究的向量。向量是數(shù)學中的重要概念之一。向量和數(shù)一樣也能進行運算，而且用向量的有關(guān)知識更新還能有效地解決數(shù)學、物理、等學科中的很多問題。這一章里，我們將學習向量的概念、運算及其簡單的應(yīng)用?！憋@然實驗教材是從數(shù)學思想方法的高度來引入向量，這也使

16、后面內(nèi)容的學習可以以此為線索，體現(xiàn)了知識的內(nèi)在統(tǒng)一。實驗教材在第六章“平面向量”之后，緊接著設(shè)置了第七章“直線和圓”，從第七章的內(nèi)容提要中我們看出這樣設(shè)計是有良苦用心的。內(nèi)容提要如下：“人們對于事物的認識和理解，總是要經(jīng)過逐步深化的過程和不斷推進的階段。對于空間的認識和理解，就是先有實驗幾何，然后推進到推理幾何，理推進到解析幾何。在第六章，我們引進了平面向量，并且建立了向量的基本運算結(jié)構(gòu)，把平面圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為得量的運算和運算律，從而奠定了空間結(jié)構(gòu)代數(shù)化的基礎(chǔ)；再通過向量及其運算的坐標表示，實現(xiàn)了從推理幾何到解析幾何的轉(zhuǎn)折。解析幾何是用坐標方法研究圖形，基本思想是通過坐標系，把點與坐標、曲

17、線與方程等聯(lián)系起來，從而達到形與數(shù)的結(jié)合，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行研究和解決?！辈⑶以诤竺嬷本€的方程、直線的位置關(guān)系點到直線的距離幾節(jié)中都自然而然的延續(xù)了向量的思想和方法，使直線的學習連慣、完整、深刻。而普通教材將第一冊（下）的第五章設(shè)為“平面向量”，在第二冊（上）的第七章才設(shè)置“直線和圓的方程”，中間隔了不等式一章，并且在內(nèi)容上，也沒有將向量與直線方程聯(lián)系起來，關(guān)于法向量、點直線點法式方程都沒有講，只是隨后設(shè)置了“向量與直線”的閱讀材料簡單介紹法向量、直線間的位置關(guān)系。四、重視數(shù)學思想方法，深化數(shù)學教材改革1、在知識發(fā)生過程中滲透數(shù)學思想方法這主要是指定義、定理公式的教學。一是不簡單下定

18、義。數(shù)學的概念既是數(shù)學思維基礎(chǔ)，又是數(shù)學思維的結(jié)果。概念教學不應(yīng)簡單地給出定義，而是應(yīng)引導學生感受或領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學思想方法。二是定理公式介紹中不過早下結(jié)論，可能的話展示定理公式的形成過程，給教師、學生留有參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)和推導過程的機會。、在解決問題方法的探索中激活數(shù)學思想方法 注重解題思路的數(shù)學思想方法分析。在例題、定理證明活動中，揭示其中隱含的數(shù)學思維過程，才能有效地培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思想方法。如運用類比、歸納、猜想等思想，發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論，學會用化歸思想指導探索論證途徑等。 增強解題的數(shù)學思想方法指導。解題的思維過程都離不開數(shù)學思想的指導，可以說，數(shù)

19、學思想指導是開通解題途徑的金鑰匙。將解題過程從數(shù)學思想高度進行提煉和反思，并從理論高度敘述數(shù)學思想方法，對學生真正理解掌握數(shù)學思想方法，產(chǎn)生廣泛遷移有重要意義。    、在知識的總結(jié)歸納過程中概括數(shù)學思想方法，以數(shù)學思想方法為主線貫穿相關(guān)知識   概括數(shù)學思想方法可以從某個概念、定理、公式和問題教學中縱橫歸納，反過來也可以以數(shù)學思想方法統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)知識，  古人云:“師者,傳道授業(yè)解惑也!”作為數(shù)學教師不僅要傳授給學生數(shù)學知識,更重要的是傳授給學生數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法是數(shù)學科的靈魂,它反映在數(shù)學教學內(nèi)容里面,體現(xiàn)在解決問題

20、的過程之中,它是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。只有運用數(shù)學思想方法,才能把數(shù)學知識和技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力。因此,向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學思想方法,是數(shù)學教學改革的新視角,是進行數(shù)學素質(zhì)教育的突破口。 ，數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂和精髓，我們在中學數(shù)學教材中，應(yīng)努力體現(xiàn)數(shù)學思想方法，不失時機的向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法，學生方能在運用數(shù)學解決問題自覺運用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題，這也是素質(zhì)教育的要求。參考文獻：王傳增   初中數(shù)學教學中的數(shù)學思想方法教        教學與管理            2001年4月李艷秋   發(fā)揮義務(wù)教材特點，培養(yǎng)學生數(shù)學素