二重積分的計(jì)算

1、第二節(jié) 二重積分的計(jì)算這一節(jié)我們來(lái)討論如何進(jìn)行二重積分的計(jì)算，很顯然用其定義來(lái)計(jì)算是很復(fù)雜的 一、矩形上的二重積分的計(jì)算為了方便我們先給出矩形上的二重積分的計(jì)算的方法.定理 12. 4 若函數(shù)f(x,y)是矩形=a,b×c,d上的可積函數(shù). 若對(duì)每一個(gè)xa,b積分 存在, 則h(x) 在a,b上可積, 并有等式,它也記為. 這個(gè)表達(dá)式稱為二次積分或二次累次積分,也簡(jiǎn)稱為累次積分.證明 在a,b中插入若干個(gè)分點(diǎn) , 并記 xi= xi- xi-1 , (i=1,2,.,n), 當(dāng)令x =maxxi | i=1,2,.,n ,要證: .再在c,d中插入若干個(gè)分點(diǎn) ,yj= yj - yj

2、-1 , (j=1,2,.,m), 那么, 直線y= yj (j=0,1,2,.,m), x= xi (i =0,1,2,.,n) 將D分成m n個(gè)小矩形Dij= xi-1 , xi ×yj-1 , yj (i =1,2,.,n, j=1,2,.,m). 當(dāng)記, ,因此, 注意到,此式的左右兩端正是f(x,y)在矩形上以此分劃的Darboux小和及大和.再令令y =maxyi | i=1,2,.m , =x +y , 由可積性知,.又有兩邊夾易得, 即有, 那么 h(x) 在a,b上可積, 并有等式 .同樣我們可得定理 12. 5 若函數(shù)f(x,y)是矩形=a,b×c,d上

3、的可積函數(shù). 若對(duì)每一個(gè)yc,d積分 存在, 則g(y) 在c,d上可積, 并有等式, 這時(shí)它也記為(也是二次積分或累次積分). 引理 若函數(shù)f(x,y)是矩形=a,b×c,d上的連續(xù)函數(shù), 那么 和 分別是c,d和a,b上的連續(xù)函數(shù).當(dāng)然也是相應(yīng)區(qū)間上的可積函數(shù). 證明 只證g(y) 是c,d上的連續(xù)函數(shù). 由條件知, f(x,y)在a,b×c,d上一致連續(xù), 所以,任意>0, 存在 >0, 對(duì)任意(x1, y1), (x2, y2)a,b×c,d,只要, 有 , 所以任意y1, y2c,d, 當(dāng) |y1 - y2|<, .故g(y) 在c,d

4、上的一致連續(xù).由此可得定理 12.6 若函數(shù)f(x,y)是矩形=a,b×c,d上的連續(xù)函數(shù). 則. 即可交換順序 . 這個(gè)結(jié)論的可以放寬為: f(x,y)是矩形=a,b×c,d上的可積函數(shù), 對(duì)每一個(gè)yc,d積分存在, 對(duì)每一個(gè)xa,b積分 y也存在,.這時(shí)定理 12.6 結(jié)論仍然成立, 即.二、一般區(qū)域上的二重積分計(jì)算y首先我們來(lái)討論是下面一種比較特殊的區(qū)域時(shí)的情況，然后討論一般情形設(shè)其中是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，這樣的區(qū)域D ，我們稱之為型區(qū)域(當(dāng)然可求面積)如圖12-2-1所示dx=v(y)x=u(y)cxO圖 12-2-2圖 12-2-1當(dāng)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)， （如圖12

5、-2-2）稱為y型區(qū)域 . 定理 12.7 設(shè)函數(shù)f(x,y)是有界閉區(qū)域上的可積函數(shù)，U= a,b×c,d包含D. 那么當(dāng)令 , 那么是U上的可積函數(shù). 并且 .事實(shí)上在D上可積,在U-D上也可積 . 由性質(zhì)知在U上的可積.定理 12.8 設(shè)為型區(qū)域, f(x,y)是上的連續(xù)函數(shù)，那么 證明 令 U= a,b×c,d包含D. 由定理12.7 注意到,當(dāng)固定x時(shí), 若, =0,;若,. 所以,顯然 . 例1 計(jì)算二重積分，其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域解 區(qū)域如圖12-2-3所示，可以將它看成一個(gè)-型區(qū)域，圖 12-2-3即 所以 也可以將看成是型區(qū)域，于是有上面的例子可以看

6、到，計(jì)算二重積分的關(guān)鍵是區(qū)域，要注意的是區(qū)域的區(qū)別,同時(shí)還要考慮被積函數(shù)定理 12.9 設(shè)為型區(qū)域, f(x,y)是上的連續(xù)函數(shù)，那么 如果既不是-型區(qū)域也不是y-型區(qū)域,如圖12-2-4 我們可以將分劃成若干個(gè)x-型區(qū)域和y-型區(qū)域的并.圖 12-2-4例計(jì)算二重積分，其中是有拋物線及所圍成的有界閉區(qū)域解：如圖12-2-4，區(qū)域可以看成是型區(qū)域，它表示為，所以D2D1 我們也可以將看成是兩個(gè)型區(qū)域的并集如圖1-2-5，其中圖 12-2-5所以積分可以寫為兩個(gè)二次積分的和即最后可以算出同樣的結(jié)果，當(dāng)然這樣計(jì)算可能要麻煩一點(diǎn)所以識(shí)別區(qū)域很重要，還有一點(diǎn)要注意的是，有的區(qū)域盡管既是型的，又是型的，

7、但是在計(jì)算時(shí)候,可能將它看成其某中一種時(shí)，計(jì)算不出來(lái)比如下面的例子 例計(jì)算二次積分分析：直接按照這個(gè)順序是計(jì)算不出來(lái)的，盡管的原函數(shù)是存在的，但是還是無(wú)法求出其表達(dá)式我們可以考慮將這個(gè)積分先化為二重積分，再換成另外一種二次積分來(lái)計(jì)算解 ，其中是如圖1-2-6所示的區(qū)域，將它看成是-型區(qū)域，有，所以圖 12-2-6上面例子的方法常稱為交換積分次序. 可以看出，有時(shí)候計(jì)算時(shí)需要交換二次積分的積分次序，而使得計(jì)算簡(jiǎn)單，有時(shí)候如不交換次序,是難以計(jì)算出結(jié)果設(shè)，如果f(x) 和g(y)分別在a,b和c,d上可積, 則f(x)g(y)在D上可積,并有讀者可以自己驗(yàn)證上面的結(jié)論例計(jì)算，其中解：由上面的討論，

8、有例求由曲面與所圍的體積解：此立體如圖1-2-7 所示，它的體積可以看成是一個(gè)圓柱體體積減去一個(gè)曲頂柱體體積圓柱體的體積是曲頂柱體的頂是，底為區(qū)域所以其體積為圖 12-2-7所以此立體體積為在這里積分的計(jì)算盡管可以計(jì)算出來(lái)，但是是比較復(fù)雜的，在這里沒(méi)有寫出，我們將在后面用其它的方法來(lái)計(jì)算這個(gè)二次積分 本節(jié)最后將給出前面積分運(yùn)算的幾何解釋.當(dāng)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)且時(shí)，二重積分表示的是以為底，以為頂?shù)那斨w的體積如圖1-2-8所示它的體積可以通過(guò)計(jì)算這個(gè)二重積分得到圖 12-2-9圖 12-2-8我們下面通過(guò)另外的一種途徑來(lái)求其體積 我們采用的方法是定積分的微元法以為積分變量，其變化區(qū)間為；

9、求在的一個(gè)小的子區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的曲頂柱體的體積，這是一個(gè)小的曲頂柱體，將它近似為一個(gè)截面已知的立體的體積接下來(lái)就是計(jì)算這個(gè)截面面積將對(duì)于任意的，用平面去截曲頂柱體得到截面，即它在平面上的投影是一個(gè)如圖2-所示的曲邊梯形其面積為一般地，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，有截面面積于是區(qū)間所對(duì)應(yīng)的小曲頂柱體體積為，所以曲頂柱體的體積為這樣的積分實(shí)際上是積分兩次，即先對(duì)積分，再對(duì)積分，即二次積分也記為習(xí)題 12-21.求下列函數(shù)的二重積分, ,這里D=0,1×0,1.1) ;2) ;3) ;2. 設(shè)f(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù),證明. 3.求下列二重積分 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , 是由原點(diǎn)為中心2為半徑的圓周所圍的有界區(qū)域; 6) , 是由(0,0),(1,2)和(0,3)為頂點(diǎn)的三角形所圍的有界區(qū)域; 7)，其中D是矩形區(qū)域：|x|1， |y|1；8)，其中D是軸、軸與直線所圍成閉區(qū)域， 9)，其中D是矩形閉區(qū)域：0x1，0y1；10) ， 其中D是頂點(diǎn)分別為（0，0），（,0）和(,)的三角形閉區(qū)域4.交換下列的積分順序 1) ; 2) ; 3