初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案

1、年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1. 設(shè)，則 （ A ）A.24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的兩倍，且AB7，AC8，則BC（ C ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)為 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為 （ B ）A. B. . C. . D. .5如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A

2、作半圓的切線AE，則CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個(gè)數(shù)是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1已知是實(shí)數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則的最小值是_.2 設(shè)D是ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE/BC交AC于點(diǎn)E，作DF/AC交BC于點(diǎn)F，已知ADE、DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為_.3如果實(shí)數(shù)滿足條件，則_4已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì)共有_7對(duì).第二試 （A）一、（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B，與

3、軸的交點(diǎn)為C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.（1）證明：P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).（2）如果AB恰好為P的直徑且，求和的值.解 （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，.設(shè)P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)A×OBOC×OD，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1). （2）因?yàn)锳BCD，如果AB恰好為P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即. 又，所以，解得. 二（本題滿分25分）設(shè)CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是ADC、BDC的內(nèi)心，AC3，BC4，求.解

4、 作EAB于E，F(xiàn)AB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因?yàn)镋為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，所以.連接D、D，則D、D分別是ADC和BDC的平分線，所以DCDADCDB45°，故D90°，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件： 證明：以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.證法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 證法2 結(jié)合式，由式可得，變形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.結(jié)合式可

5、得或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 第二試 （B）一、（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二、（本題滿分25分） 已知ABC中，ACB90°，AB邊上的高線CH與ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F求證：EFAB. 解 因?yàn)锽N是ABC的平分線，所以.又因?yàn)镃HAB，所以，因此. 又F是QN的中點(diǎn)，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓. 又，所以FCFH，故點(diǎn)F在CH的中垂線上. 同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試 （C）一、（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二、（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同. 三、（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件： 是否存在以為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90&#