GeoGebra2圓錐曲線詳解全文

1、GeoGebra 數學繪圖教室(2) 圓錐曲線臺北縣立錦和高中 陳禾凱在教到圓錐曲線這一章時，課本通常會介紹兩種方法來畫拋物線、橢圓、及雙曲線，第一種是以同心圓作圖紙來描點，第二種是根據定義來畫。本文簡介利用數學繪圖軟件GeoGebra的個人教學經驗，提供中學數學教師教學之參考。一 同心圓作圖紙(1)拋物線的作圖紙：畫出一組同心圓及一組并行線。先在原點畫出一點輸入x= -1 (注意GeoGebra左邊的代數字段會顯示a:x=-1)輸入指令sequenceLine(i，0)，a，i，1，10 可以畫出和a 平行的直線輸入指令sequencecircleA，i，i，1，10，可以畫出以為圓心的同心

2、圓(2)橢圓及雙曲線的作圖紙：畫出兩組同心圓先畫出，兩點輸入指令sequencecircleA，i，i，1，20，可以畫出以A為圓心的同心圓輸入指令sequencecircleB，i，i，1，20，可以畫出以B為圓心的同心圓畫出以上圖形之后，滾動鼠標上的滾輪來調整圖形的大小，再用把圖擺到適當的位置，點選【檔案-輸出-繪圖區(qū)到剪貼簿】，然后打開ord，按Ctrl+V即可將所畫好的圖貼上去。在課堂上發(fā)給同學們，在同心圓紙上描點鉤勒出圓錐曲線軌跡點。二 根據定義來畫甲拋物線定義: d(P，L)=d(P，F) 依據拋物線的定義作圖，點P到焦點F與到準線等距，i.e. d(P，L)=d(P，F)以y2=

3、4x為例，準線為L:x+1=0，焦點F為(1，0）繪圖步驟1. 先畫出準線L及焦點F2. 在準線L上任選一點A，和焦點F連起來，畫出一條線段AF 3. 畫出線段AF的中垂線M4. 畫出和過A點且和準線L垂直的直線N5. 標出M， N兩條線的交點P6. 要看P點的軌跡可以 (1)在P上按鼠標右鍵， 點選 顯示移動痕跡 (2)或是用，在點及點各點選一下7. 以鼠標拉動準在線的A點， 觀察 P點的軌跡由以上的作圖可知拋物線的性質線段AF的中垂線是切線 反過來說以切線為對稱軸，焦點F的對稱點在準在線思考一下此題和拋物線的關系：求與圓C: x2+y2-8x+12=0及L:x+2=0均相切之圓心軌跡為何?

4、(-動畫教學-)乙橢圓 定義 : 橢圓上的點到兩焦點的距離和為定值以為例 即畫 的圖形繪圖步驟1. 畫出名稱為F1，F2的兩焦點(-3，0)， (3，0)2. 以F1為圓心，半徑為2a=10畫一圓3. 圓周上任選一點，標示為A4. 連接5. 作的中垂線 L6. 作，L兩線的交點，標示為P7. 要看P點的軌跡可以 (1)在P上按鼠標右鍵， 點選 顯示移動痕跡 (2)或是用，在點及點各點選一下8. 以鼠標拉動A點， 觀察 P點的軌跡思考一下此題和橢圓的關系：圓C1: (x+1)2+y2=1圓C2 (x-1)2+y2=81若動圓C與C1外切，與C2內切則動圓C之圓心的軌跡方程式(-動畫教學-)丙雙曲

5、線 定義 : 雙曲線上的點到兩焦點的距離差為定值以為例 即畫 繪圖步驟1. 畫出名稱為F1，F2的兩焦點(-5，0)，(5，0) 2. 以F1為圓心， 半徑為2a=6畫一圓3. 圓周上任選一點， 標示為A4. 畫出直線及線段5. 作的中垂線 L (線段才有中垂線)6. 作及L兩線的交點，標示為P7. 要看P點的軌跡可以 (1)在P上按鼠標右鍵， 點選 顯示移動痕跡 (2)或是用，在點及點各點選一下8. 以鼠標拉動A點， 觀察 P點的軌跡思考一下此題和雙曲線的關系：圓C1: (x+2)2+y2=1圓C2:(x-3)2+y2=4 若動圓C與C1,C2(1)均內切(2)均外切則動圓C之圓心的軌跡方程

6、式(-動畫教學-)三、參數式繪圖參考全任重教授網站之圖形甲、拋物線 y=x2之圖形繪圖步驟已知為頂點L: y=-1 為準線1. 取準在線一點B, 畫直線BA 2. 過A作直線和BA垂直, 交準線 于C 3. 過C作直線和準線L垂直, 交 BA于D D的軌跡即為拋物線 y=x2乙、橢圓繪圖步驟 大圓小圓半徑分別為a, b A(a cos , a sin) 在大圓上 B(b cos , b sin) 在小圓上 過A作鉛直線, 過B作水平線 兩線交點為 P(a cos , b sin) P的軌跡即為橢圓丙、雙曲線繪圖步驟 BF為大圓切線交X軸于F(a sec,0) DE為小圓切線, E點為 (b,

7、b tan) 過F作鉛直線, 過E作水平線 兩線交點為 P(a sec , b tan) P的軌跡即為雙曲線(-動畫教學-)四、數學題目中的圖形甲、拋物線<94年指考數甲>有一條拋物線位于坐標平面之上半面，并與 X 軸、直線 y=x-1 直線  y= -x-1 相切。下列敘述何者正確：A.此拋物線的對稱軸必為 Y 軸。 B.若此拋物線對稱軸為 Y 軸，則其焦距為 1。 C.此拋物線的頂點必在 X 軸上。 D.有不只一條拋物線滿足此條件。畫圖要用到拋物線的性質：焦點對切線的對稱點落在準在線。先來個小小的計算：設為焦點，對于三切線的對稱點分別為因三點共線（都在準在線）由行列式

8、化簡得故焦點是落在單位圓之上繪圖步驟1. 畫出焦點所在的圓x2+y2=1。2. 在圓上任取一點，命名為F。3. 分別以三條切線為對稱軸，找出焦點F的對稱點。4. 這三個對稱點共線，畫出這條線來，即為準線。5. 有了焦點及準線，即可把拋線畫出來。 (-動畫教學-)依據大考中心的研究結果顯示，當年的考生對此題的應答情形是慘不忍睹，究其原因是目前的高中數學教學偏重于代數計算，對于圓錐曲線的作圖法，課本雖有提及，但實際教學時也是匆匆?guī)н^。若是純粹用代數方法較難解出本題，理應結合代數計算及幾何繪圖知識，才能很快畫出符合題目條件的拋物線。乙、橢圓【Produs 性質】<93年數乙類似題>這是由

9、普羅德斯(Produs 410-485年)所提出的。在一直在線有P，Q，C三點，若P，Q沿著一個直角的兩個邊滑動， 則第3個點(即C點)的軌跡是一橢圓。特殊情形:若C和P，Q其中之一重合，C軌跡顯然為一線段。繪圖步驟1. 設PQ之長為a。2. 以原點為圓心，a為半徑，畫一圓。3. 圓上任取一點，過此點對軸及軸分別作垂線，所得的垂足即為，。（利用矩形的對角線相等性質）4. 設定一數值滑桿a1。5. 利用伸縮功能，a1為伸縮比例，作出PQ的伸縮點。6. 以鼠標拉動圓周上的點，觀察點的軌跡(-動畫教學-)拉動數值滑桿可改變點的位置，第一種是在之間，為、的內分點，另一種為在的延長線上，為外分點。再拉動

10、圓周上的點，可觀察點的軌跡。Van Schooten's軌跡問題： 在一個ABC中， 如A，B兩頂點沿著一個固定角的兩邊滑動，則第三個頂點C的軌跡是一橢圓。繪圖步驟1. 作，直線及在左下角任給之AB2. 以為圓心，為半徑畫圓3. 圓上任取一點，過作的并行線，交于4. 將，以為平移量平移至，此時5. 利用作6. 移動點則，分別在，上移動，取的軌跡可將ABC標簽改為ABC，原左下角之AB自動更名為A1B11證明1.過OAB作外接圓，令其圓心為M。 2.過C，M兩點作直線L。 3.L和OAB的外接圓交于兩點P，Q。 4.因線段PQ落在過，的直線上，在ABC固定的情形之下，圓內接四邊形APBQ

11、隨著圓的滾動,不改變其形狀，因此，弧PB的大小是固定的，故POB的大小為定值，又B在固定的OX軸上移動，故的軌跡為直線，同理可得的軌跡亦為直線。5.令直線OP為L1，直線OQ為L2，圓周角QOP為直角。 L1，L2為互相垂直之直線，P，Q分別在L1，L2上，C為直線PQ上的一點，滿足Produs 性質之條件。 故(1) C和Q不重合，C的軌跡為橢圓。 (2) C和Q重合，C的軌跡為線段。（線段可視為橢圓的退化情形）(-動畫教學-)Franciscus Van Schooten(1615-1660 年)是荷蘭數學家，于1657年論述這個有趣的問題。他巧妙的構建出兩條互相垂直的線，把問題轉換為Pr

12、odus的形式，可真令人拍案叫絕。丙、雙曲線1. P點與 (1, 0), (-1, 0)的夾角為,若+=90°, P點的軌跡為何種曲線 ?(摘自龍騰新天地)繪圖步驟因GeoGebra把度數的范圍定為0°360°之間，若=120°則=90°-=-30°，屏幕左邊的代數區(qū)會自動改為正同界角，即=330°，但這不影響圖的正確性1. 過(1,0)適當長為半徑作一圓。2. 圓上取一點3. 以量出和軸的夾角，命名為。4. 輸入=90°-5. 輸入過B(-1,0)的直線方程式y(tǒng)=tan() (x+1)6. 把上述兩線的交點標示為

13、P ，觀察點之軌跡。2.設過原點的直線L與x+y+1=0及x-y+1=0分別交于P,Q 兩點, 若P,Q之中點為M, 則M的軌跡為何種曲線?繪圖步驟1. 輸入x+y+1=0及x-y+1=0。2. 以原點為圓心，適當長為半徑，畫一圓，圓上任取一點，以直線表示過原點的直線L3. 標示出和兩線的交點P,Q。4. 畫出PQ的中點5. 觀察點之軌跡。(-動畫教學-)有了GeoGebra這個好用的數學軟件，今后學數學也可如同物理、化學一般，可以有實驗課，如上所畫出來的圖看起來是雙曲線，那到底是否真的是雙曲線，可就要靠紙筆好好的計算驗證一下。五、延伸閱讀：1. 利用標尺作圖找圓錐曲線的焦點師范大學陳創(chuàng)義教授2. 圓錐曲線師范大學陳創(chuàng)義教授3. 圓錐曲線_(宏2)師范大學陳創(chuàng)義教授4. 圓錐曲線作圖法舉例師范大學趙文敏教授5. 用同心圓來描繪圓錐曲線及切線的標尺作圖 竹南高中 吳明宗老師6. 圓錐曲線切線的標尺作圖 科學教育月刊 272期 內湖高中 劉紹正老師六、相關書籍及文章：1. 公切圓之圓心軌跡-用動態(tài)幾何軟件探討幾何性質 臺北市立師范學院 林保平 教授2.