0921數(shù)學(xué)教學(xué)方法在物理中的應(yīng)用

1、 數(shù)學(xué)教學(xué)方法在物理中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的重要工具，借助數(shù)學(xué)方法可使一些復(fù)雜的物理問(wèn)題顯示出明顯的規(guī)律性，能達(dá)到打通關(guān)卡、長(zhǎng)驅(qū)直入地解決問(wèn)題的目的中學(xué)物理考試大綱中對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題的能力作出了明確的要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題”的能力對(duì)這一能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問(wèn)題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)可以說(shuō)，任何物理問(wèn)題的分析、處理過(guò)程，都是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過(guò)程本專(zhuān)題中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差

2、(比)數(shù)列求和法等一、極值法數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問(wèn)題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等1利用三角函數(shù)求極值yacos bsin (cos sin )令sin ，cos 則有：y(sin cos cos sin )sin ()所以當(dāng)時(shí)，y有最大值，且ymax2利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)：yax2bxca(x2x)ca(x)2(其中a、b、c為實(shí)常數(shù))，當(dāng)x 時(shí)，有極值ym(若二次項(xiàng)系數(shù)a>0，y有極小值；若a<0，y有極大值)3均值不等式對(duì)于兩個(gè)大于零的變量a、b，若其和ab為一定值p，則當(dāng)ab時(shí)，其積ab取得極大值 ；對(duì)于三個(gè)大于

3、零的變量a、b、c，若其和abc為一定值q，則當(dāng)abc時(shí)，其積abc取得極大值 二、幾何法利用幾何方法求解物理問(wèn)題時(shí)，常用到的有“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)”、“兩點(diǎn)間直線(xiàn)距離最短”、“直角三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性”等相關(guān)知識(shí)，如：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類(lèi)問(wèn)題，物體的變力分析時(shí)經(jīng)常要用到相似三角形法、作圖法等與圓有關(guān)的幾何知識(shí)在力學(xué)部分和電學(xué)部分的解題中均有應(yīng)用，尤其在帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)類(lèi)問(wèn)題中應(yīng)用最多，此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)往往在圓心與半徑的確定上，確定方法有以下幾種1依切線(xiàn)的性質(zhì)確定從已給的圓弧上找兩條不平行的切線(xiàn)和對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，過(guò)切點(diǎn)作切線(xiàn)的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心

4、，圓心與切點(diǎn)的連線(xiàn)為半徑2依垂徑定理(垂直于弦的直徑平分該弦，且平分弦所對(duì)的弧)和相交弦定理(如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng))確定如圖81所示圖81由EB2CE·EDCE·(2RCE)得：R也可由勾股定理得：R2(RCE)2EB2解得：R以上兩種求半徑的方法常用于求解“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”這類(lèi)習(xí)題中三、圖象法中學(xué)物理中一些比較抽象的習(xí)題常較難求解，若能與數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合，再恰當(dāng)?shù)匾胛锢韴D象，則可變抽象為形象，突破難點(diǎn)、疑點(diǎn)，使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化圖象法是歷年高考的熱點(diǎn)，因而在復(fù)習(xí)中要密切關(guān)注圖象，掌握?qǐng)D象的識(shí)別、繪制等方法1物理圖象

5、的分類(lèi)整個(gè)高中教材中有很多不同類(lèi)型的圖象，按圖形形狀的不同可分為以下幾類(lèi)(1)直線(xiàn)型：如勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的st圖象、勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的vt 圖象、定值電阻的UI圖象等(2)正弦曲線(xiàn)型：如簡(jiǎn)諧振動(dòng)的xt圖象、簡(jiǎn)諧波的yx 圖象、正弦式交變電流的et圖象、正弦式振蕩電流的it 圖象及電荷量的qt 圖象等(3)其他型：如共振曲線(xiàn)的Af圖象、分子力與分子間距離的fr圖象等下面我們對(duì)高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧，以期對(duì)物理圖象有個(gè)較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和歸納圖象函數(shù)形式特例物理意義yc勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的vt圖象做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度是恒矢量ykx勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的st圖象初速度v00的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的vt圖

6、象(若v00，則縱截距不為零)純電阻電路的IU圖象表示物體的位移大小隨時(shí)間線(xiàn)性增大表示物體的速度大小隨時(shí)間線(xiàn)性增大表示純電阻電路中I隨導(dǎo)體兩端的電壓U線(xiàn)性增大yakx勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的vt圖象閉合電路中的UI圖象(UEIr)表示物體的速度大小隨時(shí)間線(xiàn)性減小表示路端電壓隨電流的增大而減小y·x(雙曲線(xiàn)函數(shù))由純電阻用電器組成的閉合電路的UR圖象(UR)在垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)的XCzt71tifBP導(dǎo)軌上，自由導(dǎo)體棒在一恒定動(dòng)力F的作用下做變加速運(yùn)動(dòng)的vt圖象表示純電阻電路中電源的端電壓隨外電阻而非線(xiàn)性增大將達(dá)到穩(wěn)定速度vmykx2(拋物線(xiàn)函數(shù))小燈泡消耗的實(shí)際功率與外加電壓的PU 圖象位移與時(shí)

7、間的st圖象(sat2)表示小燈泡消耗的實(shí)際功率隨電壓的增大而增大，且增大得越來(lái)越快表示位移隨時(shí)間的增大而增大，且增大得越來(lái)越快xyc(雙曲線(xiàn)函數(shù))機(jī)械在額定功率下，其牽引力與速度的關(guān)系圖象(PFv)表示功率一定時(shí)，牽引力與速度成反比yAsin t交流電的et圖象(eEmsin t)表示交流電隨時(shí)間變化的關(guān)系2物理圖象的應(yīng)用(1)利用圖象解題可使解題過(guò)程更簡(jiǎn)化，思路更清晰利用圖象法解題不僅思路清晰，而且在很多情況下可使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，起到比解析法更巧妙、更靈活的獨(dú)特效果甚至在有些情況下運(yùn)用解析法可能無(wú)能為力，但是運(yùn)用圖象法則會(huì)使你豁然開(kāi)朗，如求解變力分析中的極值類(lèi)問(wèn)題等(2)利用圖象描述物理

8、過(guò)程更直觀從物理圖象上可以比較直觀地觀察出物理過(guò)程的動(dòng)態(tài)特征(3)利用物理圖象分析物理實(shí)驗(yàn)運(yùn)用圖象處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種方法，這是因?yàn)樗司哂泻?jiǎn)明、直觀、便于比較和減少偶然誤差的特點(diǎn)外，還可以由圖象求解第三個(gè)相關(guān)物理量，尤其是無(wú)法從實(shí)驗(yàn)中直接得到的結(jié)論3對(duì)圖象意義的理解(1)首先應(yīng)明確所給的圖象是什么圖象，即認(rèn)清圖象中比縱橫軸所代表的物理量及它們的“函數(shù)關(guān)系”，特別是對(duì)那些圖形相似、容易混淆的圖象，更要注意區(qū)分例如振動(dòng)圖象與波動(dòng)圖象、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的 st 圖象和vt圖象、電磁振蕩中的it圖象和qt圖象等(2)要注意理解圖象中的“點(diǎn)”、“線(xiàn)”、“斜率”、“截距”、“面積”的物理意義點(diǎn)：

9、圖線(xiàn)上的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)研究對(duì)象的一個(gè)狀態(tài)要特別注意“起點(diǎn)”、“終點(diǎn)”、“拐點(diǎn)”、“交點(diǎn)”，它們往往對(duì)應(yīng)著一個(gè)特殊狀態(tài)如有的速度圖象中，拐點(diǎn)可能表示速度由增大(減小)變?yōu)闇p小(增大)，即加速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻，而速度圖線(xiàn)與時(shí)間軸的交點(diǎn)則代表速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻線(xiàn)：注意觀察圖線(xiàn)是直線(xiàn)、曲線(xiàn)還是折線(xiàn)等，從而弄清圖象所反映的兩個(gè)物理量之間的關(guān)系斜率：表示縱橫坐標(biāo)上兩物理量的比值常有一個(gè)重要的物理量與之對(duì)應(yīng)，用于求解定量計(jì)算中所對(duì)應(yīng)的物理量的大小以及定性分析變化的快慢如 vt 圖象的斜率表示加速度截距：表示縱橫坐標(biāo)兩物理量在“邊界”條件下物理量的大小由此往往可得到一個(gè)很有意義的物理量如電源的UI圖

10、象反映了UEIr的函數(shù)關(guān)系，兩截距點(diǎn)分別為(0，E)和面積：有些物理圖象的圖線(xiàn)與橫軸所圍的面積往往代表一個(gè)物理量的大小如vt圖象中面積表示位移4運(yùn)用圖象解答物理問(wèn)題的步驟(1)看清縱橫坐標(biāo)分別表示的物理量(2)看圖象本身，識(shí)別兩物理量的變化趨勢(shì)，從而分析具體的物理過(guò)程(3)看兩相關(guān)量的變化范圍及給出的相關(guān)條件，明確圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圖線(xiàn)斜率、圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的“面積”的物理意義四、數(shù)學(xué)歸納法在解決某些物理過(guò)程中比較復(fù)雜的具體問(wèn)題時(shí)，常從特殊情況出發(fā)，類(lèi)推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的利用數(shù)學(xué)歸納法解題要注意書(shū)寫(xiě)上的規(guī)范，以便找出其中的規(guī)律五、微元法利

11、用微分思想的分析方法稱(chēng)為微元法它是將研究對(duì)象(物體或物理過(guò)程)進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，再?gòu)闹谐槿∧骋晃⑿卧M(jìn)行討論，從而找出被研究對(duì)象的變化規(guī)律的一種思想方法微元法解題的思維過(guò)程如下(1)隔離選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃鳛檠芯繉?duì)象微元可以是一小段線(xiàn)段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個(gè)小體積、小質(zhì)量或一小段時(shí)間等，但必須具有整體對(duì)象的基本特征(2)將微元模型化(如視為點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)等)，并運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律求解這個(gè)微元與所求物體之間的關(guān)聯(lián)(3)將一個(gè)微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對(duì)各微元的求解結(jié)果進(jìn)行疊加，以求得整體量的合理解答六、三角

12、函數(shù)法三角函數(shù)反映了三角形的邊、角之間的關(guān)系，在物理解題中有較廣泛的應(yīng)用例如：討論三個(gè)共點(diǎn)的平衡力組成的力的三角形時(shí)，常用正弦定理求力的大小；用函數(shù)的單調(diào)變化的臨界狀態(tài)來(lái)求取某個(gè)物理量的極值；用三角函數(shù)的“和積公式”將結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)等七、數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問(wèn)題都具有過(guò)程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過(guò)程均不是原來(lái)的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)隨著物理過(guò)程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化該類(lèi)問(wèn)題求解的基本思路為：(1)逐個(gè)分析開(kāi)始的幾個(gè)物理過(guò)程；(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式(這是解題的關(guān)鍵)；(3)最后分析整個(gè)物理過(guò)程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律求解無(wú)窮數(shù)列的求和，

13、一般是無(wú)窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用等差：Snna1d(d為公差)等比：Sn(q為公比)八、比例法比例計(jì)算法可以避開(kāi)與解題無(wú)關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進(jìn)行計(jì)算，使解題過(guò)程大為簡(jiǎn)化應(yīng)用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系，要清楚公式的物理意義和每個(gè)量在公式中的作用，以及所要討論的比例關(guān)系是否成立同時(shí)要注意以下幾點(diǎn)(1)比例條件是否滿(mǎn)足物理過(guò)程中的變量往往有多個(gè)，討論某兩個(gè)量間的比例關(guān)系時(shí)要注意只有其他量為常量時(shí)才能成比例(2)比例是否符合物理意義不能僅從數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)看物理公式中各量的比例關(guān)系，要注意每個(gè)物理量的意義(如不能根據(jù)R 認(rèn)定電阻與電壓成正比)(3)比例是否存在討論某公式中兩個(gè)量的比例關(guān)系時(shí)，要注意其他量是否能認(rèn)為是不變量如果該條件不成立，比例也不能成立(如在串聯(lián)電路中，不能認(rèn)為P 中P與R成反比，因?yàn)镽變化的同時(shí)，U也隨之變化而并非常量)許多物理量都是用比值法來(lái)定義的，常稱(chēng)之為“比值定義”如密度，導(dǎo)體的電阻R，電容器的電容 C，接觸面間的動(dòng)摩擦因