三角函數(shù)恒等變換教材分析

1、北師大版必修四“三角函恒等變換”教材分析本章學習的主要內容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及運用這些公式進行簡單的恒等變換。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結合點上。 通過本章的學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，使學生體會三角恒等變換的工具性作用，學會它們在數(shù)學中的一些應用。由本章的章頭語所介紹的,三角恒等變換既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學后繼內容和高等數(shù)學的基礎三角恒等變換是實踐中經(jīng)常使用的工具在力學、物理、電氣工程、機械制造、圖像處理，及其他科學研究和工程實踐中經(jīng)常會用到這些公式三角函數(shù)恒等變形的教學

2、內容是在三角函數(shù)的教學內容基礎上的，進一步研究單角的三角函數(shù)之間以及單角的三角函數(shù)與復角的三角函數(shù)之間的關系他包括同角三角函數(shù)的基本關系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式、半角公式等經(jīng)驗證明通過這一部分知識等教學，對于培養(yǎng)學生等運算能力、推理能力和邏輯思維能力起較大作用知識結構簡單的三角恒等變形同角三角函數(shù)的基本關系式兩角差的余弦公式和（差）角公式倍角公式一、課程標準要求理解同角三角函數(shù)的基本關系式：，掌握用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；理解以兩角差的余弦公式導出的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系；能運

3、用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的應用二、教學目標三角恒等變換作為三角的一個重要內容，它是代數(shù)運算的一個重要組成部分，在數(shù)學和其他領域中具有重要的作用1) 知識與技能2) 以上述課標為準進行學習3) 過程與方法通過公式的推導，提高學生恒等變形能力和邏輯推理能力；通過公式的靈活運用，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法4) 情感、態(tài)度、價值觀目標使學生體會“聯(lián)想轉化、數(shù)形結合、分類討論”的數(shù)學思想；培養(yǎng)學生大膽猜想、敢于

4、探索、勇于置疑、嚴謹、求實的科學態(tài)度三、教學安排本章包含3節(jié)，教學時間約7課時，具體分配如下(僅供參考)：31同角三角函數(shù)的基本關系(約2課時) 32 兩角和與差的三角函數(shù)(約2課時)33 二倍角的正弦、余弦、正切(約2課時)復習小結 約1課時四、教學重點和難點1、教學重點本章的重點分別為：同角三角函數(shù)的關系式；兩角和與差的正弦、余弦公式及其推導；以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎，推導二倍角正弦、余弦和正切公式；掌握三角函數(shù)模型應用基本解題思想和步驟:2、教學難點本章的難點為三角公式的靈活運用五、內容分析三角恒等變換的學習以代數(shù)變換與同角三角函數(shù)式的變換的學習為基礎，和其他數(shù)學變換一樣，它

5、包括變換的對象，變換的目標，以及變換的依據(jù)和方法等要素。本章變換的對象要由只含一個角的三角函數(shù)式拓展為包含兩個角的三角函數(shù)式，因此建立起一套包含兩個角的三角函數(shù)式變換的公式就是本章的首要任務，也是3.1節(jié)的中心內容一.同角三角函數(shù)的基本關系a) 教學目標:知識與技能:能借助單位圓中的三角函數(shù)線,推出同一個角的正弦、余弦和正切之間的關系，理解兩個基本關系式并能簡單應用過程與方法培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想，方程的思想，轉化的思想情感與態(tài)度通過公式的推導和應用，培養(yǎng)學生嚴謹規(guī)范的思維品質和辯證唯物主義觀點.b) 本節(jié)的重點與難點重點:公式的推導和應用.難點:公式在解題中的靈活應用和對學生思維靈活性的培養(yǎng)

6、.c) 本節(jié)流程d) 習題分析例1. 一題多變，讓學生發(fā)散思維，進一步理解基本關系式。以分層次的問題引導學生的思維層層深入，特別是變式，滲透方程組的思想,使學生的思維得到升華。例2. 套用公式,加深角的正弦、余弦和正切之間的關系的理解.例3. )熟悉變形公式的使用,證明的方法思想化繁為簡證明要有方向感目標意識二 、兩角和與差的三角函數(shù)2 .1兩角差的余弦函數(shù)a) 教學目標：知識目標：通過讓學生猜想、探索、發(fā)現(xiàn)并推導"兩角差的余弦公式"；了解單角與復角的三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系；通過變式訓練，加深對兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力，提高學生的數(shù)學素質。能

7、力目標：運用兩角差的余弦公式，會進行簡單的求值、化簡、證明；體會化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想在數(shù)學當中的運用；提高學生分析問題、解決問題的能力。b) 本節(jié)的重點與難點重點:公式的推導和應用.難點:公式在解題中的靈活應用和對學生思維靈活性的培養(yǎng)2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)c) 教學目標：1.知識與技能能夠推導兩角差的余弦公式；能夠利用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；能夠運用兩角和的正、余弦公式進行化簡、求值、證明；揭示知識背景，引發(fā)學生學習興趣；創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度，強化學生的參與意識.2.過程與方法通過創(chuàng)設情境：通過向量的手段證明兩角差的余弦

8、公式，讓學生進一步體會向量作為一種有效手段的同時掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過誘導公式導出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講解例題，總結方法，鞏固練習.3.情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)的學習，使同學們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.d) 教學重、難點 重點: 公式的應用.難點: 兩角差的余弦公式的推導.e) 例題分析例題1的設計初見給出學生一種解決問題的無厘頭,在老師的引導下,更加加大學生的探索,對未知數(shù)據(jù)的分析和觀察動手實踐能力,在一定程度上是對所學的兩角和與差的正余弦公式的理解和應用.例題2的設計使得知識的理解與應用更深一

9、步,在理解掌握了三角函數(shù)值與角度范圍要求的前提下,判斷出所給出正余弦在角度范圍所對應的正余弦值,此處要求學生有對前知識的充分建構,有數(shù)學學習的思想嚴謹性和靈活性.課后思考交流cos=cos-cos cos=cos+cos以上兩式在學習本節(jié)后是容易出現(xiàn)的問題,針對此現(xiàn)象,為加深學生對兩角和差的余弦公式的理解,讓他們就此問題做深入討論,看在何時以上兩個錯誤公式能夠成立,何時是不成立的,由此深入理解,完全掌握本節(jié)內容2.3兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)、教學目標：1、知識與技能（1）能夠利用兩角和與差的正、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式；（2）能夠運用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明；（3）

10、揭示知識背景，引發(fā)學生學習興趣；（4）創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度，強化學生的參與意識.2、過程與方法借助兩角和與差的正、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式，讓學生進一步體會各個公式之間的聯(lián)系及結構特點；講解例題，總結方法，鞏固練習.3、情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)的學習，使同學們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.、教學重、難點 重點: 公式的應用.難點: 公式的推導.、學法與教學用具 學法：(1)自主性學習+探究式學習法：通過通過類比分析、探索、掌握兩角和與差的正切公式的推導過程。 (2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應

11、用情況，找出未掌握的內容及其存在的差距。教學用具:電腦、投影機、例題分析例3 要求學生熟練掌握公式，正切及恰當?shù)氖褂脙山呛团c差的正切公式，從第二個小題可以看出還要求學生注意兩個角，是有一定的取值范圍的，而并非所有的角都可以使用這個公式。例4要求學生巧妙的運用公式，將會得到意想不到的效果。如題中所給的1，巧妙的換成了tan45.同時要求學生具有逆向思維有這樣一種形式的式子我們也可以求一個角的正切值。例5則是在前兩個例題的基礎之上有了對這個公式有了更深一步的了解。較前兩個例題來說難度也加大了。這里把+/4轉化成了（+）-（-） 學習小結1必須在定義域范圍內使用上述公式。即：tana，tanb，ta

12、n(a±b)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能（也只需）用誘導公式來解；2注意公式的結構，尤其是符號。三 二倍角的三角函數(shù).1知識目標：了解二倍角公式的推導過程并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。二倍角公式在兩角和與差三角函數(shù)一章中占據(jù)著承上啟下的地位：既可以兩角和公式為基礎推出二倍角公式，又能在此基礎上得出版角公式。結合職教數(shù)學大綱，加強基礎，突出應用，針對中職生源，定為了解推導過程而非理解、掌握，僅使學生能構建公式之間的聯(lián)系。2能力目標：正確運用公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值，提高學生分析問題、解決問題的能力。根據(jù)理素質教育為基礎，以能力為本位的指導思想，在本節(jié)課中精心

13、配備一些例、習題，通過分析，引導幫助學生總結，提高分析、解決問題司機能力。三角函數(shù)式有三類基本題：化簡、求值、證明，本節(jié)只涉及兩類：化簡、求值。3德育目標：通過公式的推導，了解二倍角公式間及它們與和角公式間內在聯(lián)系，從而培養(yǎng)學生邏輯推理能力進行辯證唯物主義觀點教育。作為一名數(shù)學老師，不僅要傳授給學生數(shù)學知識，更重要的是傳授給學生數(shù)學思想，數(shù)學意識，因此本節(jié)課在教學中力圖培養(yǎng)學生邏輯推理能力和用聯(lián)系的觀點看待事物。二倍角公式是兩角和公式的特殊形式，體現(xiàn)了由一般到特殊的化歸思想；同時二倍角的“倍”是相對于“半”而言的，是相對的，在整個教學過程中自始至終要貫穿這一辯證思想。（三）、本著新課程標準，在

14、吃透教材的基礎上，我確立了如下的教學重點，難點。重點：二倍角三角函數(shù)公式及公式的應用難點：二倍角公式的逆用公式的正用符合學生認知規(guī)律，學生往往很容易學會，而逆用公式實際上是在原公式基礎上的一種逆向思維，學生不太容易接受，故設計為難點。這一節(jié)在適當?shù)臅r候對三角變換中的數(shù)學思想方法作了明確的總結。例如，在旁白中有“倍是描述兩個數(shù)量之間關系的，2 是 的二倍  是 的二倍，這里蘊含著換元的思想”等，都是為了加強思想方法而設置的。例題分析例2的旁邊有這樣一個注意：通過開平方求三角函數(shù)值時，一定要根據(jù)角所在的象限，確定三角函數(shù)值的符號。這樣我們就能很方便的判斷出正弦和正切的正負號了。例3則是在具體的圖形中運用公式，做此類題是要把圖畫出來更方便同學解題。例5 相當于半角公式，它是以例題的形式給出，這里強調根號前得符號由/2所在象限相應的三角函數(shù)值得符號來確定，如果/2所在象限無法確定，則應保留根號前面的正、負兩個符號。例6則是對半角公式的一個應用，這樣有