淺析線性方程組的解法

1、線性方程組的求解方法目 錄摘要IAbstract.II第一章 緒論11.1引言11.2線性方程組解的求解方法的研究現(xiàn)狀11.3本文對線性方程組解法的研究結(jié)構(gòu)1第二章 線性方程組理論基礎(chǔ)12.1 線性方程組概念22.2 線性方程組的解的情況分析22.3 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)32.4非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)4第三章 線性方程組的數(shù)值解43.1 迭代法43.1.1 Jacobi方法43.2.2 高斯-賽德爾方法6第四章 全文總結(jié)和展望84.1 全文總結(jié)84.2 未來展望8參考文獻(xiàn)10致謝11 線性方程組的求解方法學(xué)生： 指導(dǎo)教師：摘要：本文在對線性方程組解的結(jié)構(gòu)的研究背景與意義分析的基礎(chǔ)上，對線性

2、方程組的求解方法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了介紹，之后針對線性方程組展開了研究，包括線性方程組的概念、線性方程組的求解方法以及線性方程組的作用等，在對線性方程組有了全面的認(rèn)識(shí)后，基于線性方程組解的結(jié)構(gòu)展開了研究，包括線性方程組解的基本定理，齊次和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)形式，以及齊次和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，我們用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩陣定理和迭代法中的收斂性討論線性方程組的數(shù)值解法，并用高斯-賽德爾方法進(jìn)行驗(yàn)證。得到線性方程組的數(shù)值解的一般方法。最后，對全文進(jìn)行了總結(jié)和展望。關(guān)鍵詞：線性方程組;數(shù)值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-賽德爾方法THE METHOD OF CA

3、LCULATING THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS Student: Supervisor:Abstract：This article introduced the research status of the solving methods of linear equations solution based on the analysis of the research background and significance of the structure of linear equations solution and then started a stu

4、dy on linear equations,including the basic concept of linear equations solution, structure and structure forms of homogeneous and non-homogenous linear equation solutions.Similar triangles matrix theorem, the most commonly used method in Jacobi of iteration method, and convergence of iteration metho

5、d were used to discuss the numerical solution of linear equations and then, gauss-seidel method were used to validate its outcome so that we got the common way to get the numerical solution of linear equations. the article got a conclusion and a prospect tonthe resaerch and relevant methods.Key word

6、：Linear equations; numerical solution; iterative method; Jacobi method; Gauss - Seidel method13第一章 緒論1.1 引言隨著科技和社會(huì)的不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)領(lǐng)域也得到了極大的發(fā)展，很多大量的科學(xué)技術(shù)，通過化簡和處理，最后幾乎都演變成線性方程組的求解，線性方程組的求解，就是一次方程組的求解，通過將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換成線性方程組，大大簡化了問題的難度，因此，大量的學(xué)者將目光投向?qū)€性方程組進(jìn)行研究，分析線性方程組解的結(jié)構(gòu)形式，并對線性方程組的求解方法進(jìn)行剖析和處理，目前，線性方程組已經(jīng)應(yīng)用于矩陣?yán)碚摗W氏理論、多項(xiàng)式

7、理論、線性空間等多個(gè)領(lǐng)域，因此，對線性方程組的求解方法，不僅有助于數(shù)學(xué)和計(jì)算領(lǐng)域的發(fā)展，也為未來更復(fù)雜、更先進(jìn)的計(jì)算提供了理論基礎(chǔ)。1.2 線性方程組解的求解方法的研究現(xiàn)狀線性方程組從提出至今，已經(jīng)擁有很悠久的歷史，世界上對線性方程組研究最早的國家是我國，我國的九章算術(shù)早于公元一世紀(jì)就提出了用于求解三元線性方程組的“方程術(shù)”法，也是我國最早的數(shù)學(xué)方面的著作；于公元263年，我國的劉徽在九章算術(shù)的基礎(chǔ)上，提出了九章算術(shù)注，拓展和更正了九章算術(shù)，并提出了求解線性方程組的“互乘消除法”和“配分比例法”，大大簡化了線性方程組的解法，西方的線性方程組的研究，是由德國的萊布尼茲提出了線性方程組系數(shù)行列式開

8、始，開創(chuàng)了西方國家的線性方程組研究歷史，英國麥克勞林于18世紀(jì)就開始對線性方程組解結(jié)構(gòu)展開了研究，之后，瑞士克萊姆在1750年提出了Cramers Rule，為齊次線性方程組的求解奠定了基礎(chǔ)，1764年，法國貝祖通過對線性方程組解結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，采用消元法增加了高次方程組的求解，法國的范德蒙在1772年，提出了用二階子式及余式來展開行列式，巴黎的柯西在行列式方面做出了卓越的貢獻(xiàn)，包括柯西不等式、積分公式等，英國的凱萊和西爾維斯特于1860年，一起發(fā)明了代數(shù)型理論，采用矩陣來求解線性方程組，19世紀(jì)，德國的菲羅貝尼烏斯完善了方程組解及矩陣性質(zhì)的研究，目前，線性方程組已經(jīng)越來越成熟，并被應(yīng)用于矩陣?yán)?/p>

9、論、歐氏理論、多項(xiàng)式理論、線性空間等多個(gè)領(lǐng)域，從而使復(fù)雜的問題簡單化，方便問題的求解。1.3本文對線性方程組解法的研究結(jié)構(gòu)首先對線性方程組的概念進(jìn)行闡述，理解其定義；然后對線性方程組解的情況進(jìn)行分析，得出線性方程組解的結(jié)構(gòu)。將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換成線性方程組，大大簡化了問題的難度，對線性方程組解的結(jié)構(gòu)研究，有助于數(shù)學(xué)和計(jì)算領(lǐng)域的發(fā)展，已經(jīng)應(yīng)用于矩陣?yán)碚摗W氏理論、多項(xiàng)式理論、線性空間等多個(gè)領(lǐng)域。本文在對線性方程組的求解方法研究背景與意義分析的基礎(chǔ)上，對線性方程組的求解方法研究現(xiàn)狀進(jìn)行了介紹，之后針對線性方程組展開了研究，包括線性方程組的概念、線性方程的求解方法以及線性方程組的作用等，在對線性方程組有了

10、全面的認(rèn)識(shí)后，基于線性方程組解的結(jié)構(gòu)展開了研究，包括線性方程組解的基本定理，總結(jié)了齊次和非齊次線性方程組解的數(shù)值解法。最后，對全文進(jìn)行了總結(jié)和展望。第二章 線性方程組理論基礎(chǔ)2.1 線性方程組概念線性方程組指的是在一組含有未知分量的方程組中，所有的未知分量的次數(shù)都為1的方程組，如公式(1)所示。 (1)其中，等于，是一個(gè)的系數(shù)矩陣，等于，是一個(gè)個(gè)數(shù)值組成的矩陣，如果在中增加一列由組成的常數(shù)項(xiàng)列，則變成增廣矩陣，等于，是由個(gè)未知分量組成的矩陣，但所有未知分量的次數(shù)均為次。如果等于0，該方程組被稱為齊次方程組，如果B不等于0，該方程組則被稱為非齊次方程組。若將，帶入方程組中，各個(gè)方程組均成立，則稱

11、為方程組的一個(gè)解，一般非齊次線性方程組的解是唯一的，但是往往一個(gè)齊次方程組的解并不是唯一的，而是由若干或者無窮多個(gè)解構(gòu)成了方程組的解的集合，在進(jìn)行方程組的研究時(shí)，主要需要考慮的就是如何求解方程組，方程組何時(shí)有解，解的集合的構(gòu)成，以及解的結(jié)構(gòu)幾個(gè)方面。2.2 線性方程組的解的情況分析研究線性方程組的主要目的，就是為了求解線性方程組，矩陣?yán)碚?、歐氏理論、多項(xiàng)式理論、線性空間、最優(yōu)化問題求解、積分和微分等多個(gè)領(lǐng)域都涉及到線性方程組的求解問題，常用的求解線性方程組的方法有兩種，一種是直接消元法，另一種是迭代法。1. 消元法消元法就是通過對線性方程組中的未知分量，進(jìn)行逐步的消除，進(jìn)而減少線性方程組中未知

12、分量的個(gè)數(shù)，從而將復(fù)雜的方程組化簡成為簡單的形式，進(jìn)而求得相應(yīng)的解。比如像下面的線性方程組就可以利用直接消元法來進(jìn)行線性方程組的求解，具體的求解步驟如下。 可以得到，將其化簡之后可以得到 可以得到 可以得到 從而解得,將z的值帶入到公式中，可以得到，在將和的值帶入到公式中，可以得到,因此，解得該線性方程組的解為以上就是通過消元法求解的線性方程組的一個(gè)實(shí)例，這種消元法往往使用于方程組個(gè)數(shù)較少、相對格式較簡單的形式，當(dāng)線性方程組較為復(fù)雜、未知分量及方程組個(gè)數(shù)較多時(shí)，往往利用矩陣，將線性方程組的增廣矩陣，通過使用行初等變換，來將其變換成行簡化階梯型矩陣，從而求得相應(yīng)的方程組解，但是，當(dāng)系數(shù)矩陣的階數(shù)

13、較大時(shí)，消元法需要較大的計(jì)算量，而且在使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行存儲(chǔ)時(shí)，也浪費(fèi)了大量的存儲(chǔ)空間。2. 迭代法迭代法也是常用的求解線性方程組的一種常用方法，由于具有程序簡單，存儲(chǔ)空小的優(yōu)點(diǎn)，非常適用于未知分量及方程組個(gè)數(shù)較多時(shí)的求解，迭代法就是通過某種極限過程來一步步的逼近線性方程組的解，通過逐次的迭代運(yùn)算，最終求得線性方程組的解，比如像線性方程組AX = b，我們可以將其變換成x = Bx + f的形式，之后，基于此，構(gòu)造如公式(8)的迭代格式。 其中，等于，代表迭代次數(shù)，假設(shè)是線性方程組的唯一解，則有，假設(shè))為隨機(jī)選取的初始向量，則根據(jù)公式可以構(gòu)成相應(yīng)的向量序列。這種求解的方法就是迭代法，但是只有在迭代

14、法收斂的情況下，才是線性方程組的唯一解，迭代法收斂需要滿足，只有在滿足這個(gè)條件的前提下，迭代法才收斂，否則迭代法發(fā)散。2.3 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)本節(jié)將對齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行研究，線性方程組根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的值可以分為齊次線性方程組和非齊次線性方程組，不論是齊次線性方程組，還是非齊次線性方程組，都有定義，這里，我們先借用公式，來進(jìn)行定理的描述。當(dāng)時(shí)，為齊次線性方程組，求的解可以組成一定的基礎(chǔ)解系，而且齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系一定是解空間里的一個(gè)極大線性無關(guān)組。定理：齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩。定理：假設(shè)齊次線性方程組有非零解，則該齊次線性方程組必有基礎(chǔ)解系，且解向量個(gè)

15、數(shù)為。定理：假設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的線性組合是的全部解。本文在對在齊次線性方程組解的相關(guān)性質(zhì)和定理研究的基礎(chǔ)上，對求解齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)時(shí)的步驟進(jìn)行分析，具體步驟如下：（1） 根據(jù)定理1和2，判斷齊次線性方程組是否有非零解和基礎(chǔ)解系，如果齊次線性方程組存在基礎(chǔ)解系，則假設(shè)為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（2） 查看齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，是否滿足是齊次線性方程組的一組解，是否彼此之間是線性無關(guān)的，是否齊次線性方程組的任意解都能通過基礎(chǔ)解系r來線性描述。（3） 如果可以滿足步驟和步驟的條件，則齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)形式為 2.4 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)本節(jié)將對非齊次

16、線性方程組解的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行研究，即時(shí)，非齊次線性方程組的解也可以組成一定的基礎(chǔ)解系，是的導(dǎo)出組，非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是它的導(dǎo)出組只有零解，非齊次線性方程組有無窮解的充要條件是它的導(dǎo)出組有無窮多個(gè)解。性質(zhì)：假設(shè)和是非齊次線性方程組的任意的兩個(gè)解，那么一定是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組的解向量。性質(zhì)：假設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，p是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組的任意的一個(gè)解，那么也一定是非齊次線性方程組的解。定理4：假設(shè)非齊次線性方程組有非零解，假設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，是非齊次線性方程組的導(dǎo)出方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則r的線性組合是非齊次線性方程組的全部解，其中，為任意的常數(shù)。

17、本文在對在非齊次線性方程組解的相關(guān)性質(zhì)和定理研究的基礎(chǔ)上，對求解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)時(shí)的步驟進(jìn)行分析，具體步驟如下： 通過定理得出的結(jié)論，根據(jù)非齊次線性方程組的增廣矩陣，進(jìn)行化簡和變換，最終變換成行最簡形階梯矩陣的形式。 根據(jù)第一步求出的行最簡階梯矩陣的形式，將其變換成有共同解的階梯形方程組。 根據(jù)第二步求出的同解的階梯形方程組，得出一個(gè)非齊次線性方程組的導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系和非齊次線性方程組的一個(gè)特解。根據(jù)第三步得出的結(jié)果，得出非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)形式，第三章 線性方程組的數(shù)值解3.1 迭代法高斯消元算法及其變形稱為求解矩陣問題的直接法。如沒有舍入誤差，他們通過有限步操作，產(chǎn)生完

18、全精確的解。相反，間接法產(chǎn)生一個(gè)理想的收斂于解的向量序列。當(dāng)?shù)玫降慕平饩哂心撤N特定的精確度或在一定的迭代次數(shù)之后計(jì)算就停止。間接法本質(zhì)上幾乎總是迭代的：反復(fù)應(yīng)用一個(gè)簡單的操作生成前面所提到的序列。對含有成千上萬個(gè)方程的大型線性方程組，迭代法從計(jì)算速度和計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)方面看來具有超過直接法的決定性有點(diǎn)。有時(shí)，當(dāng)精確度要求不嚴(yán)格的話，適當(dāng)?shù)牡螖?shù)就足以產(chǎn)生一個(gè)可接受的解。對稀疏方程組，迭代法通常是十分有效的。在稀疏問題中，A的非零元有時(shí)以稀疏格式存放；在其他情況，根本就不需要存儲(chǔ)A。后面的情況在偏微分方程數(shù)值解中是很普遍的。迭代法的另一個(gè)有點(diǎn)是他們通常都是穩(wěn)定的。為傳達(dá)一般的想法，我們描述兩個(gè)基本

19、的迭代法。3.1.1 Jacobi方法Jacobi方法是求解方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代的一種形式，不動(dòng)點(diǎn)迭代（FPI）的第一步是改寫方程組，求解未知量。Jacobi方法的第一步按下列標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行：求解第個(gè)方程以得到第個(gè)未知量；然后如不動(dòng)點(diǎn)迭代一樣，從某一初始估計(jì)開始進(jìn)行迭代。例1 應(yīng)用Jacobi方法解方程組通過求解第一個(gè)方程組得到，求解第二個(gè)方程組的到。使用初始估計(jì)，我們有 迭代兩個(gè)方程：繼續(xù)Jacobi迭代過程表明它收斂到解?，F(xiàn)在假設(shè)方程組按相反的次序給出。例2 應(yīng)用Jacobi方法解方程組解第一個(gè)方程得到第一個(gè)變量，解第二個(gè)方程得到。我們從開始，如前一樣迭代兩個(gè)方程，但結(jié)果卻大不相同：在這種情況下

20、Jacobi方法失敗了，是因?yàn)榈l(fā)散了。由于Jacobi方法不總能成功，所以有必要了解在什么條件下它能成功。其中一個(gè)重要的條件由下列定義給出：定義1：若對每隔則稱矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)的。也就是說，每個(gè)主對角元在絕對值上要比其它所有元素的絕對值和更大。定理1：若矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，則為非奇異矩陣；對每個(gè)向量及每個(gè)初始估計(jì)，應(yīng)用于上的Jacobi方法收斂到（唯一的）解。定理1說明，若A是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，則應(yīng)用于方程組上的Jacobi方法對每個(gè)初始估計(jì)均為收斂到一個(gè)解。在例1中，系數(shù)矩陣首先是，因?yàn)椋仕菄?yán)格對角占優(yōu)的。在這種情況下，收斂性的到了保證。另一方面，在例2中，將Jacobi方法用于矩

21、陣，這個(gè)矩陣 不是對角占優(yōu)的，不存在這樣（收斂性）的保證。注意到嚴(yán)格對角占優(yōu)只是一個(gè)充分條件，當(dāng)沒有這個(gè)條件時(shí)，Jacobi方法仍可收斂。3.2.2 高斯-賽德爾方法與Jacobi方法密切相關(guān)的一種迭代叫做高斯-賽德爾方法。高斯-賽德爾方法與Jacobi方法之間僅有的差別是，前者在每一步用到最新校正過的未知量的值，即便校正發(fā)生在當(dāng)前步?；氐嚼?，我們看到高斯-賽德爾方法像這樣：注意高斯賽德爾與Jacobi之間的差別：的定義用到而不是。我們看到了用Jacobi方法得到解的方法，但這兒相同的步數(shù)會(huì)有稍微高的精度。若高斯-賽德爾方法是收斂的，它經(jīng)常比Jacobi方法收斂的更快。例3 考察方程組應(yīng)用高

22、斯-賽德爾迭代。初始向量.解 借助尺度化，方程組變?yōu)槲覀儼堰@個(gè)方程組記為.在高斯-賽德爾算法中,Q取A的下三角部分，包括對角線。所確定的迭代公式是或由此，解下三角方程組得到。此例中有關(guān)的公式是通過計(jì)算得到下列迭代，其中是正確的：第四章 全文總結(jié)和展望4.1 全文總結(jié)線性方程組的求解，已經(jīng)有很悠久的歷史，伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，通過使用計(jì)算機(jī)，可以將很多復(fù)雜的問題，最終都轉(zhuǎn)換成線性方程組，大大簡化了問題的難度，有助于數(shù)學(xué)和計(jì)算領(lǐng)域的發(fā)展，已經(jīng)應(yīng)用于矩陣?yán)碚?、歐氏理論、多項(xiàng)式理論、線性空間等多個(gè)領(lǐng)域。因此，對線性方程組的求解過程及解的方法進(jìn)行研究具有很好的意義。本文在對線性方程組解結(jié)構(gòu)的研究背

23、景與意義分析的基礎(chǔ)上，對線性方程組解的方法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了介紹，之后針對線性方程組展開了研究，包括線性方程組的概念、線性方程的接的結(jié)構(gòu)以及線性方程組的作用等，在對線性方程組有了全面的認(rèn)識(shí)后，基于線性方程組接的方法展開了研究，包括線性方程組解的基本定理，齊次和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)形式，以及齊次和非齊次線性方程組解的方法的求解步驟和條件。最后，對全文進(jìn)行了總結(jié)，并對線性方程組的未來發(fā)展進(jìn)行了展望。4.2 未來展望目前，線性方程組已經(jīng)成為解決各種問題的基礎(chǔ)研究，線性方程組的求解方法已經(jīng)應(yīng)用到矩陣?yán)碚?、歐氏理論、多項(xiàng)式理論、線性空間等多個(gè)領(lǐng)域。往往可以將復(fù)雜的問題簡單化，通過結(jié)合計(jì)算機(jī)來進(jìn)行計(jì)算，提高了運(yùn)算的速度和復(fù)雜程度，但是，如今的社會(huì)