正交多項式的性質(zhì)及在科學(xué)計算中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上正交多項式的性質(zhì)及在科學(xué)計算中的應(yīng)用摘要正交多項式是滿足一定條件的多項式族。正交多項式是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域熱點之一。許多數(shù)學(xué)理論的突破，如Bieberbach猜想的證明，數(shù)據(jù)擬合，數(shù)學(xué)物理、工程技術(shù)和函數(shù)逼近等領(lǐng)域的理論研究，都依賴于或應(yīng)用了正交多項式的重要成果?，F(xiàn)正交多項式被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理，工程技術(shù)，科學(xué)計算，回歸分析，概率分布等領(lǐng)域。因此，對于正交多項式的研究具有重要的意義和價值。本文首先給出了正交多項式的定義，其次對、的性質(zhì)進行了探討并對部分性質(zhì)進行了證明，最后對正交多項式在數(shù)據(jù)擬合，最佳平方逼近以及在概率分析中的應(yīng)用進行了討論。關(guān)鍵詞：正交多項式 數(shù)據(jù)擬合 最佳

2、平方逼近 概率分析專心-專注-專業(yè)The Character of Orthogonal Plynomial and its Application in Scientific ComputationAbstract Orthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory, such as proof

3、of the conjecture of Bieberbach, data fitting, mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used in mathematical physics, e

4、ngineering, scientific computing, regression analysis, probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value. Firstly, this paper gives the definition of orthogonal polynomials,.Moreover, it discusses on the Legendre polynomials, Chebyshev polyno

5、mials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial and proves some properties .Lastly, the orthogonal polynomial in data fitting, the best square approach and application in probability are discussed in this paper.Keywords: orthogonal polynomial, Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre po

6、lynomials, Hermite polynomial,data fitting,The best square approximation, probabilistic analysis目錄前言正交多項式在國家數(shù)學(xué)研究中是一個非?；钴S的領(lǐng)域，它與數(shù)學(xué)、物理以及其它科學(xué)領(lǐng)域都有著密切聯(lián)系。許多科學(xué)理論山的突破都應(yīng)用了正交多項式的重要成果。這些正交多項式是當(dāng)今數(shù)學(xué)研究中許多重要工作的有力支柱。另外在數(shù)學(xué)物理和工程技術(shù)的應(yīng)用中常常遇到特殊函數(shù)，如勒讓德、厄米爾、拉蓋爾、切比雪夫等多項式，它們都滿足正交關(guān)系。這些正交多項式不僅在應(yīng)用方面，而且在理論研究上也有重要的作用。隨著計算機的發(fā)展與普及，在

7、科學(xué)研究與工程設(shè)計諸方面，以及科學(xué)實驗之后，科學(xué)計算顯得越來越重要。“計算”本身是一個古老又現(xiàn)代的話題。在電子計算機出現(xiàn)以前，人們?yōu)榱恕坝嬎恪倍鴦?chuàng)造了許多工具。例如算盤，近代又研制了機械計算機。而早于這些計算機的出現(xiàn)，數(shù)值方法就已經(jīng)出現(xiàn)了。幾百年來，Newton，Gauss，Euler，Lagrange和Chebyshev等數(shù)學(xué)大師為其做出了杰出貢獻，盡管冠以這些數(shù)學(xué)家名字的許多理論與方法是后人逐步完善的。所以，任何關(guān)于科學(xué)計算的文章想擺脫他們是不可能的。因此，本文中仍研究了這些以名字命名的多項式。本文分為三章。第一章正交多項式，從整體上介紹正交多項式的性質(zhì)。第二章主要介紹了四種常見的正交多項

8、式。主要介紹了勒讓德多項式，切比雪夫多項式，拉蓋爾多項式以及額額米特多項式的性質(zhì)，并對部分性質(zhì)給出了證明。第三章主要介紹了正交多項式在科學(xué)計算中的應(yīng)用，主要介紹了在數(shù)據(jù)擬合中的應(yīng)用，在最佳平方逼近中的應(yīng)用以及在概率分析中的應(yīng)用。第1章 正交多項式1.1 積分型正交多項式的定義和性質(zhì)：若為上的權(quán)函數(shù)，且 （1-1-1）則稱與在上帶權(quán)正交。設(shè)在給定函數(shù)族且滿足 （1-1-2）則稱函數(shù)族為上帶權(quán)的正交函數(shù)族。特別地，當(dāng)時，則稱該函數(shù)系為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族。 例如，三角函數(shù)族 為上的正交函數(shù)族。 ，其他內(nèi)積=0.定義： 設(shè)是上首項系數(shù)的次多項式，為上的權(quán)函數(shù)，若多項式序列，滿足正交性（1-2），則稱為以為

9、權(quán)函數(shù)的上的正交多項式序列，稱為以為權(quán)函數(shù)的上的次正交多項式。 只要給定上的權(quán)函數(shù)，由利用逐個正交化可得正交多項式序列： （1-1-3）1.2 正交多項式的構(gòu)造：1.2.1 生成的集合 定義：設(shè)為中線性無關(guān)組，稱集合 為由生成的集合。結(jié)論：（1） （2） 是的特例。1.2.2、施密特正交化定理：（1） 設(shè)；（2） 是權(quán)函數(shù)，則由基可構(gòu)造以為權(quán)函數(shù)的正交多項式組使得為首項（即項）系數(shù)是1的次多項式，即 （1-2-1）其中系數(shù)證明： 用遞推法證明 （1）、令 (2）、構(gòu)造且選取使 （正交性），即選取 （3）、設(shè)已構(gòu)造，且滿足： （a）是首項系數(shù)為1的次多項式； （b）,當(dāng)由及組合構(gòu)造，選擇系數(shù)使，

10、即于是為具有權(quán)函數(shù)的正交多項式組，即。1.3 正交多項式的性質(zhì)：性質(zhì)1、是具有最高次項系數(shù)為1的次多項式。性質(zhì)2、任何次多項式均可表示為的線性組合。性質(zhì)3、當(dāng)時，且與任何一次數(shù)小于的多項式正交。性質(zhì)4、成立遞推關(guān)系 其中： （1-3-1） （1-3-2） 對區(qū)間為及權(quán)函數(shù)，求由正交化得到的正交多項式。解： 第2章 常用的正交多項式2.1、勒讓德（Legendre）多項式定義 次多項式稱為多項式，且有 （2-1-1）2.1.1 首項系數(shù) 的首項系數(shù)，若，則有 事實上， = 則 2.1.2 性質(zhì)性質(zhì)1 正交性 （2-1-2）證明： 當(dāng)時，不妨做次分部積分 = 當(dāng)時， 性質(zhì)2 奇偶性 性質(zhì)3 在內(nèi)部

11、有個互異的實零點。性質(zhì)4 遞推關(guān)系 （2-1-3） 可得 性質(zhì)5 在所有最高項系數(shù)為1的次多項式中，勒讓德多項式在上與零的平方誤差最小。證：設(shè)是任意一個最高項系數(shù)為1的多項式，可表示為 于是 證畢。2.1.3 Legendre微分方程 2.2、切比雪夫（）多項式2.2.1、第一類切比雪夫（Chebyshev）多項式（1）定義：當(dāng)區(qū)間為權(quán)函數(shù)時，由序列正交化得到的正交多項式就是第一類切比雪夫（Chebyshev）多項式。它可表示為 （2-2-1）若令當(dāng)在上變化時，對應(yīng)的在上變化，其可改寫成 具體表達式為 是首項系數(shù)為的次多項式。（2） 性質(zhì) 性質(zhì)1 遞推關(guān)系 這主要由三角恒等式 令，既得。性質(zhì)2

12、 對零的偏差最小。即在區(qū)間上所有最高項系數(shù)為1的一切次多項式中，與零的偏差最小，其偏差為證：由于 且點 是的切比雪夫交錯點，區(qū)間上在中最佳逼近多項式為即是與零的偏差最小的多項式。證畢。性質(zhì)3 的首項的系數(shù)為 性質(zhì)4 在上有個不同的點 輪流取得最大值1和最小值-1，稱為交錯點組。定理： 設(shè)是首項系數(shù)為1的切比雪夫多項式，則 （2-2-2）且 定理表明在所有首項系數(shù)為1的次多項式集合中，所以是中最大值最小的多項式，即 ： 求在上的最佳2次逼近多項式。解：最佳逼近多項式應(yīng)滿足 由上述定理知，當(dāng)即 當(dāng)時，與零偏差最小，故 就是在上的最佳2次逼近多項式。由于切比雪夫多項式是在區(qū)間上定義的，對于一般區(qū)間，

13、要通過變量替換變換到，可令 則可將變換到性質(zhì)5 切比雪夫多項式在區(qū)間上帶權(quán)正交，且 （2-2-3）令則于是 性質(zhì)6 只含的偶次冪，只含的奇次冪。性質(zhì)7 在區(qū)間上有個零點 （2-2-4）可用的線性組合表示，其公式為 其具體的表達式為 （3） 第一類chebyshev微分方程 2.2.2、第二類切比雪夫（Chebyshev）多項式（1） 定義： 在區(qū)間上帶權(quán)的正交多項式稱為第二類切比雪夫多項式，其表達式為 （2-2-5）由可得 即是上帶權(quán)的正交多項式族，還可得到遞推關(guān)系式 （2） 第二類Chebyshev微分方程 2.3、拉蓋爾(Laguerre)多項式2.3.1 定義：稱下面多項式為拉蓋爾（La

14、guerre）多項式 （2-3-1）2.3.2 拉蓋爾多項式的性質(zhì)性質(zhì)1 是的次多項式，其首項系數(shù)為 性質(zhì)2 是上帶權(quán)的正交多項式系，滿足正交關(guān)系 （2-3-2） 用乘 得 用乘 用乘 兩式相減 分部積分 = 性質(zhì)3 滿足遞推公式 （2-3-3）2.3.3 拉蓋爾微分方程 2.4、艾爾米特（Hermite）多項式2.4.1 定義 稱下面的多項式為艾爾米特（Hermite）多項式 （2-4-1）2.4.2 性質(zhì) 性質(zhì)1 是的次多項式，其首相系數(shù)為 性質(zhì)2 是上帶權(quán)的正交多項式系，有 （2-4-2） 設(shè)為定義在上的函數(shù)，且滿足（1） 在任何有限區(qū)間內(nèi)都是分段光滑的函數(shù)；（2） 則必能展成如下形式的

15、級數(shù) 在連續(xù)處有 在不連續(xù)處有 其中 性質(zhì)3 滿足遞推公式 （2-4-3）2.4.3 微分方程 ， 第3章 正交多項式在科學(xué)計算中的應(yīng)用3.1、正交多項式在數(shù)據(jù)擬合中的應(yīng)用3.1.1、正交多項式最小二乘法擬合原理 不要求擬合函數(shù)經(jīng)過所有點，而只要求在給定點上殘差按照某種標(biāo)準(zhǔn)達到最小，通常采用歐式范數(shù)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。這就是最小二乘法擬合。根據(jù)作為給定節(jié)點及權(quán)函數(shù),造出帶權(quán)函數(shù)正交的多項式。注意,用遞推公式表示，即 （3-1-1）這里的是首項系數(shù)為1的次多項式，根據(jù)的正交性，得 （3-1-2） 根據(jù)公上式逐步求的同時，相應(yīng)計算系數(shù) （3-1-3）并逐步把 累加到中去，最后就可得到所求的擬合函數(shù)曲線

16、（3-1-4）： 給定一組實驗數(shù)據(jù)如下：1.22.84.35.46.87.92.111.528.141.972.391.4利用正交多項式求最小二乘擬合函數(shù).解 根據(jù)圖3-1，可取冪函數(shù) 作擬合函數(shù)，其中為待定參數(shù)。令 求使 （是正實數(shù)的集合）。由極值必要條件得方程組 這是關(guān)于的非線性方程組.我們也可以將問題轉(zhuǎn)化為線性問題求解，對兩邊取對數(shù)有 令 ， 上式化為 由可得到相應(yīng)的有如下數(shù)據(jù)表：0.07920.44720.63350.73240.83250.89760.32221.06071.44871.62221.85911.9609可得如下法方程組： 解得 從而 即為所求。比較擬合值、實驗值并算出

17、個點的誤差如下表：1.22.84.35.46.87.92.111.528.141.972.391.42.09911.57427.47243.47369.17593.576-0.0010.074-0.6281.573-3.1252.176 需要指出的是，擬合一組數(shù)據(jù)可以采用不同的函數(shù)，然后按誤差大小或問題的實際背景決定是否使用計算的結(jié)果或改變擬合函數(shù)。3.1.2、算法實現(xiàn)流程圖開始讀取點集x,y和n數(shù)據(jù)YNsize(x)=size(y)提示x,y維數(shù)不匹配利用x點集數(shù)據(jù)構(gòu)造范德蒙德系數(shù)矩陣V調(diào)用QR分解函數(shù)求的多項式系數(shù)輸出多項式系數(shù)P結(jié)束算法計算 input output step1 set

18、step2 for set step3 for do steps 49 step4 set step5 for set step6 if then do step 79 step7 set step8 for set step9 set step10 output(); stop.過程：clearx = 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y=1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60x1=0.5:0.05:3.0;p=mypolyfit(x,y,2)y1=p(3)+p(2)*x1+p(1)*x1.2;plot(x,y,'*

19、')hold onplot(x1,y1,'r')3.2正交多項式在最佳平方逼近中的應(yīng)用3.2.1、最佳平方逼近 函數(shù)的最佳平方逼近是內(nèi)積空間最佳逼近的一個特殊情況。設(shè)表示在區(qū)間上的關(guān)于權(quán)函數(shù)平方可積的函數(shù)空間 其中為權(quán)函數(shù)。設(shè)引入內(nèi)積 內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)為 中的最佳逼近問題是：設(shè)對求，使對于任何，都有 這時稱為在區(qū)間關(guān)于權(quán)函數(shù)的最佳平方逼近，簡稱為最佳平方逼近。由內(nèi)積空間最佳逼近理論知，這時求的正規(guī)方程組為 （3-2-1）一般方法：設(shè)函數(shù)列在上線性無關(guān)，則在上的最佳平方逼近為尋求一個，使其滿足 （3-2-2）是上的權(quán)函數(shù)。稱為最佳平方逼近基函數(shù)。系數(shù)由法方程組 = （3-2

20、-3）即 = （3-2-4）確定。 求在區(qū)間上的最小二乘一次式。 解 設(shè)在區(qū)間上的最小二乘一次式，則按照方程，注意有 因之，正規(guī)方程組為 解得 ， 故 其誤差 但對上述得的一次多項式，逼近的一致范數(shù) 大于相應(yīng)的最佳一次一致逼近誤差0. 3.2.2、正交多項式的最佳平方逼近在正則方程，中，如果取以為權(quán)的正交多項式，則系數(shù)矩陣元素和自由項滿足 （3-2-5）利用的正交性，當(dāng)時，。于是，正則方程的系數(shù)矩陣呈對角線型，可直接解未知量 （3-2-6）回避了求解病態(tài)系數(shù)矩陣的線性方程組。其次，上式的左端與有關(guān)，而右端表達式與無關(guān)，只是下表的取值范圍在。因此，用代替仍有 于是，在計算出來之后，只需計算和就可

21、以得到。當(dāng)逼近多項式的次數(shù)預(yù)先不能確定時，使用上式對計算十分方便。省略的上標(biāo)，得 可以得到正交多項式的三項遞推關(guān)系 （3-2-7） 計算式中 得正交多項式的最佳平方逼近公式 （3-2-8） 用勒讓德展開求在上的最佳平方逼近多項式（?。┙猓?先計算： 由（3-2-8）可算出 于是可得 且 在上按勒讓德多項式展開求三次最佳平方逼近多項式。 由勒讓德多項式展開公式得： ，其中 由得由得由得由得因此所求三次最佳平方逼近多項式為 3.2.3、最佳平方逼近的MATLAB實現(xiàn)通過實例來說明在MATLAB環(huán)境下，對正交多項式進行最佳平方逼近。 給定函數(shù)，對比多項式擬合的一般方法和最佳平方逼近方法其MATLAB

22、程序代碼如下：function fp0=zhengjiao(W,a,b,f,n)syms x;B=zeros(n+1,1);for i=1;n+1B(i)=int(f*W*x(i-1),x,a,b);end A=zeros(n+1); for i=1;n+1 for j=i;n+1; A(i,j)=int(x(i+j-2)*W,x,a,b); end end for j=1;n+1 for i=j+1;n+1 A(i,j)=A(j,i); end end C=AB; fp0=0;for i=1;n+1 Fp0=fp0+C(i)*x(i-1);endfp0; ffp0=sym2poly(fp0)

23、E0=int(f-fp0)2*W,x,a,b);s=double(E0)t=a:(b-a)/20:b;z=subs(f,x,a:(b-a)/20:b);zz=subs(fp0,x,a:(b-a)/20:b);plot(t,z,b)hold onplot(t,zz,*)3.3正交多項式在概率分析中的應(yīng)用3.3.1、矩與概率分布的關(guān)系定理：假設(shè)矩存在，并且對于對概率分布的特征函數(shù)有可積，那么，由特征函數(shù)泰勒展開的有限項經(jīng)傅里葉逆變換得到的對于存在，且當(dāng)時關(guān)于一致地有 （3-3-1）此處為正態(tài)分布，為一個只依賴于矩而不依賴于和的實多項式。此定理表明：概率密度函數(shù)可用高階矩的展開式逼近，而且展開式為正

24、態(tài)分布乘一修正系數(shù)，所以，可以展開為帶權(quán)的多項式。的前兩項為 （3-3-2）其中，為艾爾米特正交多項式。3.3.2、極限狀態(tài)函數(shù)的矩已知極限狀態(tài)函數(shù)為隨機向量的概率密度函數(shù)為，則的各階原點矩為 （3-3-3）將極限狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化，采用作為新的極限狀態(tài)函數(shù)，則其各階原點矩與中心距相同， 這里的為偏度系數(shù)，為峰度系數(shù)。如果為某些特定的分布類型，可將其視為權(quán)函數(shù)，采用相應(yīng)類型的高斯積分點，效率和精度較高。正如正態(tài)分布、指數(shù)分布、均勻分布，權(quán)函數(shù)類型為，可分別選擇相應(yīng)的高斯積分點。3.3.3、極限狀態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)的正交多項式逼近設(shè)權(quán)函數(shù)為，相應(yīng)區(qū)間上的正交多項式為 (3-3-4)式中為確定常數(shù)。由正交多項式性質(zhì)，有 (3-3-5)用帶權(quán)的正交多項式逼近極限狀態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)，函數(shù)為 (3-3-6)式中，為待定系數(shù)，由下式確定