概率論與數(shù)理統(tǒng)計03-第三節(jié)-條件概率與全概率公式

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三節(jié) 條件概率與全概率公式先由一個簡單的例子引入條件概率的概念.內(nèi)容分布圖示 概念引入 條件概率的定義 例1 例2 乘法公式 例3 例4 例5 例6 全概率公式 例7 例8 例9 貝葉斯公式 例10 例11 例12 例13 例14 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題1-4內(nèi)容要點： 一、 條件概率的概念在解決許多概率問題時,往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率. 如在事件發(fā)生的條件下,求事件發(fā)生的條件概率,記作.定義1 設(shè)是兩個事件, 且, 則稱 (1)為在事件發(fā)生的條件下,事件的條件概率.相應(yīng)地，把稱為無條件概率。一般地，.注: 1. 用維恩圖表達(dá)(1)式.若事件

2、已發(fā)生,則為使也發(fā)生,試驗結(jié)果必須是既在中又在中的樣本點,即此點必屬于.因已知已發(fā)生,故成為計算條件概率新的樣本空間.2. 計算條件概率有兩種方法:a) 在縮減的樣本空間中求事件的概率，就得到；b) 在樣本空間中，先求事件和，再按定義計算。二、乘法公式由條件概率的定義立即得到: (2)注意到, 及的對稱性可得到: (3)(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率. 三、全概率公式 全概率公式是概率論中的一個基本公式。它使一個復(fù)雜事件的概率計算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。定理1 設(shè)是一個完備事件組,且則對任一事件,有注:

3、 全概率公式可用于計算較復(fù)雜事件的概率, 公式指出: 在復(fù)雜情況下直接計算不易時,可根據(jù)具體情況構(gòu)造一組完備事件, 使事件發(fā)生的概率是各事件發(fā)生條件下引起事件發(fā)生的概率的總和.四、貝葉斯公式利用全概率公式,可通過綜合分析一事件發(fā)生的不同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發(fā)生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題,即,一事件已經(jīng)發(fā)生,要考察該事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性. 例如,有三個放有不同數(shù)量和顏色的球的箱子,現(xiàn)從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.或問:該球取自哪號箱的可能性最大?定理2 設(shè)是一完備事件組,則對任一事件,有 貝葉斯公式注:

4、 公式中,和分別稱為原因的驗前概率和驗后概率.是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件是否發(fā)生)的情況下諸事件發(fā)生的概率.當(dāng)獲得新的信息(知道發(fā)生),人們對諸事件發(fā)生的概率有了新的估計. 貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化. 特別地,若取,并記, 則,于是公式成為例題選講： 條件概率例1 (講義例1) 一袋中裝有10個球, 其中3個黑球, 7個白球, 先后兩次從袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.解記為事件“第次取到的是黑球” (1)在已知發(fā)生, 即第一次取到的是黑球的條件下, 第二次取球就在

5、剩下的2個黑球、7個白球共9個球中任取一個, 根據(jù)古典概率計算, 取到黑球的概率為2/9, 即有(2)在已知發(fā)生, 即第二次取到的是黑球的條件下, 求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球發(fā)生在第二次取球之前, 故問題的結(jié)構(gòu)不像(1)那么直觀.我們可按定義計算更方便一些.由 例2 (講義例2) 袋中有5個球, 其中3個紅球2個白球. 現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個. 已知第一次取得紅球時, 求第二次取得白球的概率.解法1設(shè)表示“第一次取得紅球”, 表示“第二次取得白球”, 依題意要求縮減樣本空間中的樣本點數(shù), 即第一次取得紅球的取法為 其中, 第二次取得白球的取法有種, 所以也可以直接用公式(1)計算

6、, 因為第一次取走了一個紅球, 袋中只剩下4個球, 其中有兩個白球, 再從中任取一個, 取得白球的概率為2/4, 所以解法2設(shè)表示“第一次取得紅球”, 表示 “第二次取得白球”, 求在5個球中不放回連取兩球的取法有種, 其中, 第一次取得紅球的取法有種, 第一次取得紅球第二次取得白球的取法有種, 所以由定義得 乘法公式例3 (講義例3) 一袋中裝10個球, 其中3個黑球、7個白球, 先后兩次從中隨意各取一球(不放回), 求兩次取到的均為黑球的概率.分析：這一概率, 我們曾用古典概型方法計算過, 這里我們使用乘法公式來計算. 在本例中, 問題本身提供了兩步完成一個試驗的結(jié)構(gòu), 這恰恰與乘法公式的

7、形式相應(yīng), 合理地利用問題本身的結(jié)構(gòu)來使用乘法公式往往是使問題得到簡化的關(guān)鍵.解設(shè)表示事件“第次取到的是黑球” 則表示事件“兩次取到的均為黑球”. 由題設(shè)知于是根據(jù)乘法公式, 有例4設(shè)袋中裝有只紅球, 只白球.每次自袋中任取一只球, 觀察其顏色然后放回, 并再放入只與所取出的那只球同色的球. 若在袋中連續(xù)取球四次, 試求第一, 二次取到紅球且第三, 四次取到白球的概率.解以表示事件 “第次取到紅球”, 則分別表示事件第三、四次取到白球. 所求概率為例5 (講義例4) 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時打破的概率為1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10, 若前兩次落

8、下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10. 試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以表示事件“透鏡第次落下打破”, 表示事件“透鏡落下三次而未打破”. 為 故有 例6 已知 ， 試求解由乘法公式, 因此 又因為 所以 從而 例7一袋中裝有10個球, 其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.解這一概率, 我們前面在古典概型中已計算過, 這里我們用一種新的方法來計算. 將事件 “第二次取到的是黑球” 根據(jù)第一次取球的情況分解成兩個互不相容的部分, 分別計算其概率, 再求和. 記為事件 “第一、二次取到的是黑球”, 則有由題設(shè)易知于是 全概率公式例8 (講義

9、例5)人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化, 往往會去分析影響股票價格的基本因素, 比如利率的變化. 現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%, 利率不變的概率為40%. 根據(jù)經(jīng)驗, 人們估計, 在利率下調(diào)的情況下, 該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下, 其價格上漲的概率為40%, 求該支股票將上漲的概率.解記為事件“利率下調(diào)”, 那么即為 “利率不變”, 記為事件“股票價格上漲”. 依題設(shè)知于是例9 某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06, 乙廠每箱裝120個, 廢品率為0.05, 求: (1)任取一箱，從中任

10、取一個為廢品的概率；(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放,求任取一個為廢品的概率.解記事件分別為甲、乙兩廠的產(chǎn)品, 為廢品, 則(1) 由全概率公式, 得 (2) 由全概率公式, 得 例10一袋中有10個球, 其中3個黑球, 7個白球, 從中先后隨意各取一球 (不放回),假設(shè)已知二次取到的球為黑球, 求 “第一次取到的也是黑球” 的概率.解設(shè) “第一次取到的是黑球” 這一事件為 “第二次取到的是黑球”這一事件為則問題歸結(jié)為求條件概率 根據(jù)貝葉斯公式, 有據(jù)題涉及例7的結(jié)果易知從而 例11 (講義例6)對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明, 當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時, 產(chǎn)品的合格率為98%, 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時, 其合格

11、率為55%. 每天早上機(jī)器開動時, 機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%. 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時, 機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?解設(shè)為事件“產(chǎn)品合格”, 為事件“機(jī)器調(diào)整良好”.所求的概率為這就是說, 當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格時, 此時機(jī)器調(diào)整良好的概率為0.97. 這里, 概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗概率.而在得到信息(即生產(chǎn)的第一件產(chǎn)品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做叫做后驗概率.例12 設(shè)某批產(chǎn)品中, 甲, 乙, 丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%, 35%, 20%, 各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%, 2%, 5%, 現(xiàn)從中任取一件,(1) 求取到的

12、是次品的概率;(2) 經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品, 求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.解記事件“該產(chǎn)品是次品”, 事件“該產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)的”, 事件“該產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn)的”, 事件“該產(chǎn)品是次品”. 由題設(shè), 知(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式(或條件概率定義), 得 例13 根據(jù)以上的臨床記錄，某種診斷癌癥的是眼睛有如下的效果:若以表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查, 設(shè)備試驗的人患有癌癥的概率為0.005, 即, 試求解由題設(shè), 有由貝葉斯公式, 得注:本題表明,雖然這兩個概率都比較高,但 即平均1000個具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人確患癌癥.例14 8支步槍中有5支已校準(zhǔn)過, 3支未校準(zhǔn). 一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時, 中靶的概率為 0.8; 用未校準(zhǔn)的槍射擊