第1章 1.2 第2課時(shí)　角度問題

1、.第2課時(shí)角度問題學(xué)習(xí)目的：1.能靈敏運(yùn)用正弦定理及余弦定理解角度問題重點(diǎn)2.會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題難點(diǎn)3.能根據(jù)題意畫出幾何圖形易錯(cuò)點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1方位角從指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目的方向線所成的程度角如點(diǎn)B的方位角為如圖1­2­18所示方位角的取值范圍：0°360°.圖1-2-182方向角從指定方向線到目的方向線所成的小于90°的程度角，如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.根底自測1判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1假設(shè)P在Q的北偏東44°，那么Q在P

2、的東偏北44°方向2如圖1­2­19所示，該角可以說成北偏東110°.圖1­2­193方位角與方向角其本質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目的點(diǎn)之間的位置關(guān)系，其范圍均是.4假設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°方向，且ACBC，那么點(diǎn)A在點(diǎn)B北偏西15°方向解析1錯(cuò)誤因假設(shè)P在Q的北偏東44°，那么Q應(yīng)在P的南偏西44°.2錯(cuò)誤因本圖所標(biāo)角應(yīng)為方位角，可以說成點(diǎn)A的方位角為110°.3錯(cuò)誤因?yàn)榉较蚪堑姆秶鸀?°90°，而方位角的范圍為0&#

3、176;360°.4正確答案1×2×3×42某次測量中，A在B的南偏東34°27，B在A的【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12232045】A北偏西34°27B北偏東55°33C北偏西55°33D南偏西55°33A如下圖3兩座建筑A，B與規(guī)劃測量點(diǎn)C的間隔 相等，A在C的北偏東40°，B在C的南偏東60°，那么A在B的A北偏東10°B北偏西10°C南偏東10°D南偏西10°B如圖，因?yàn)锳BC為等腰三角形，所以CBA180°80°50°，6

4、0°50°10°.即北偏西10°.4某人從A處出發(fā)、沿北偏西60°行走2 km到達(dá)B處，再沿正東方向行走2 km到達(dá)C處，那么A、C兩地的間隔 為_km.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12232046】2如下圖，ABC30°，又AB2，BC2，由余弦定理得AC2AB2BC22AB×BCcosABC1242×2×2×4，AC2，所以A、C兩地的間隔 為2 km.合 作 探 究·攻 重 難角度問題1如圖1­2­20，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的間隔 相等，燈塔A在觀察站南偏西40

5、6;，燈塔B在觀察站南偏東60°，那么燈塔A在燈塔B的圖1­2­20A北偏東10°B北偏西10°C南偏東80°D南偏西80°2有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長為6 m，下底長為10 m，高為2m，那么此攔水壩斜坡的坡比和坡角分別是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12232047】A.，60°B，60°C.，30°D，30°思路探究1兩座燈塔A，B與觀察站C的間隔 相等，說明A與B有何大小關(guān)系？燈塔B在觀察站南偏東60°，說明CBD是多少度？2本小題關(guān)鍵是理解坡比與坡角的意義解析1由條件及

6、圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2如下圖，橫斷面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，那么AE2 m，tan DAE，DAE60°.答案1D2B規(guī)律方法測量角度問題畫示意圖的根本步驟：跟蹤訓(xùn)練1在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停頓轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20 km/h；水的流向是正東，流速是20 km/h，假設(shè)不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|_，大小為_k

7、m/h.60°20如圖，AOB60°，由余弦定理知OC2202202800cos 120°1 200，故OC20，COY30°30°60°.求航向的角度某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處得悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，間隔 為10 n mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12232048】思路探究此題中所涉及的路程在不斷變化，但艦

8、艇和漁輪相遇時(shí)所用時(shí)間相等，先設(shè)出所用時(shí)間t，找出等量關(guān)系，然后解三角形解如下圖，根據(jù)題意可知AC10，ACB120°，設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為t h，并在B處與漁輪相遇，那么AB21t，BC9t，在ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，所以212t210281t22×10×9t×，即360t290t1000，解得t或t舍去所以艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為 h.此時(shí)AB14，BC6.在ABC中，根據(jù)正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8°或CAB158.2°舍去即

9、艦艇航行的方位角為45°21.8°66.8°.所以艦艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近漁輪規(guī)律方法1.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的根底上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和間隔 ，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.2.在解三角形問題中，求某些角的度數(shù)時(shí)，最好用余弦定理求角.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在0，上是單調(diào)遞減的，而正弦函數(shù)在0，上不是單調(diào)函數(shù)，一個(gè)正弦值可以對應(yīng)兩個(gè)角.但角在上時(shí)，用正、余弦定理皆可.跟蹤訓(xùn)練2某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60°相距201 n mile的

10、海面上有一臺(tái)風(fēng)中心，影響半徑為20 n mile，正以每小時(shí)10 n mile的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且1 h后開場影響基地持續(xù)2 h求臺(tái)風(fēng)挪動(dòng)的方向. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12232049】解如下圖，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B，開場影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為D，那么B，C，D在一直線上，且AD20，AC20.由題意AB201，DC20，BC1·10.在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90°，ADC45°.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.BAC30°，又B位于A南偏東60°，60

11、6;30°90°180°，D位于A的正北方向，又ADC45°，臺(tái)風(fēng)挪動(dòng)的方向?yàn)橄蛄康姆较蚣幢逼?5°方向答：臺(tái)風(fēng)向北偏西45°方向挪動(dòng)求解速度問題探究問題1某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)，從A到B，方位角是50°，間隔 是4 km，從B到C，方位角是80°，間隔 是8 km，從C到D，方位角是150°，間隔 是6 km，試畫出示意圖提示如下圖：2在探究1中，假設(shè)投遞員想在半小時(shí)之內(nèi)，沿小路直接從A點(diǎn)到C，那么此人的速度至少是多少？提示如探究1圖，在ABC中，ABC50°180°80

12、76;150°，由余弦定理得AC，那么此人的最小速度為v8km/h3在探究1中假設(shè)投遞員以24 km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問在C點(diǎn)此人能否與投遞員相遇？提示投遞員到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t1小時(shí)30分鐘，追投遞員的人所用時(shí)間由探究2可知t20.55 小時(shí)33分鐘；由于30<3310，所以此人在C點(diǎn)不能與投遞員相遇如圖1­2­21所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時(shí)的速度勻速行駛圖中的箭頭方向?yàn)槠囆旭偡较?，汽車開動(dòng)的同時(shí)，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的間隔 為5公里、間隔 公道路的垂

13、直間隔 為3公里的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少公里？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12232050】圖1­2­21思路探究根據(jù)圖形構(gòu)造三角形利用余弦定理建立速度與時(shí)間的函數(shù)求解解作MI垂直公路所在直線于點(diǎn)I，那么MI3，OM5，OI4，cosMOI.設(shè)騎摩托車的人的速度為v公里/小時(shí)，追上汽車的時(shí)間為t小時(shí)，由余弦定理得vt25250t22×5×50t×，即v22 50025900900，當(dāng)t時(shí)，v獲得最小值為30，其行駛間隔 為vt公里故騎摩托車的人至少

14、以30公里/小時(shí)的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了公里規(guī)律方法解決實(shí)際問題應(yīng)注意的問題：1首先明確題中所給各個(gè)角的含義，然后分析題意，分析與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步.2將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖1­2­22，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處1n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，間隔 A處2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船圖1­2­22此時(shí)，走私船正以10 n

15、 mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？解設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，那么有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC12222·1·2·cos 120°6，BC，且sinABC·sinBAC·.ABC45°.BC與正北方向垂直CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30°.即

16、緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1臺(tái)風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向挪動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40 km處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12232051】A0.5 hB1 hC1.5 hD2 hB2一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，那么水柱的高度是A50 mB100 mC120 mD150 m

17、A設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C圖略，那么在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，h2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即h50h1000，即h50，故水柱的高度是50 m3兩燈塔A和B與海洋觀測站C的間隔 都等于a km，燈塔A在觀測站C的北偏東20°，燈塔B在觀測站C的南偏東40°，那么燈塔A與燈塔B的間隔 為_km.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12232052】a由題意知ACB120°，ACBCa，由余弦定理，得AB2a2a22a×a×cos

18、120°3a2，ABa.4一輪船從A點(diǎn)沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東10°的方向行駛10海里至海島C，假設(shè)此輪船從A點(diǎn)直接沿直線行駛至海島C，那么此船沿_方向行駛_海里至海島C.北偏東40°10在ABC中，ABC110°10°120°.又ABBC，故CABACB30°，AC10.故此船沿著北偏東70°30°40°方向行駛了10海里到達(dá)海島C.5如圖1­2­23，某海輪以60海里/時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，