第3章 3.3 3.3.2　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(二)

1、.3.3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值二學(xué)習(xí)目的：1.理解函數(shù)最值的概念，理解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)絡(luò).2.會求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值重點(diǎn)、難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1函數(shù)yfx在閉區(qū)間a，b上的最值1獲得最值的條件：在閉區(qū)間a，b上函數(shù)yfx的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線2結(jié)論：函數(shù)yfx必有最大值和最小值，假設(shè)函數(shù)在a，b上是可導(dǎo)的，該函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)獲得2求可導(dǎo)函數(shù)yfx在a，b上的最值的步驟1求fx在開區(qū)間a，b內(nèi)所有極值點(diǎn)2計(jì)算函數(shù)fx在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值考慮：函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值就是最大值嗎？極小值就是最小值嗎？提示

2、不一定函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值不一定是最大值，還要與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，最大的即是最大值，同理，閉區(qū)間上的極小值也不一定是最小值根底自測1考慮辨析1函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值2函數(shù)fx只有一個(gè)極小值點(diǎn)，那么函數(shù)fx的極小值也是最小值3函數(shù)Fxfxgx的最小值大于0，那么fxgx提示12×不一定最小值也有可能在區(qū)間端點(diǎn)處獲得32函數(shù)yx1x2在0,1上的最大值為A.B.C.D.Ay13x20，x±.當(dāng)0x時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y0.所以當(dāng)x時(shí)，y極大值；當(dāng)x0時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y0.所以當(dāng)x時(shí)，ymax.3函數(shù)yx22x3在區(qū)間a,2上的最大值為，

3、那么a_. 【導(dǎo)學(xué)號：73122264】y2x2，令y0，得x1，所以函數(shù)在，1上單調(diào)遞增，在1，上單調(diào)遞減假設(shè)a>1，那么最大為faa22a3，解得a.假設(shè)a1，那么最大為f11234.合 作 探 究·攻 重 難求函數(shù)的最值求以下函數(shù)的最值：1fx2x312x，x1,3；2fxxsin x，x0,2思路探究解1fx2x312x，fx6x2126x22，令fx0，x220，x1，x2.當(dāng)x變化時(shí)，fx與fx的變化狀態(tài)如下表：x11，33fx0fx10818因?yàn)閒110，f318，f8，所以當(dāng)x時(shí)，fx獲得最小值8；當(dāng)x3時(shí)，fx獲得最大值18.2fxcos x，令fx0，又x0

4、,2，解得x或x.當(dāng)x變化時(shí)，fx，fx的變化狀態(tài)如下表：x02fx00fx0當(dāng)x0時(shí)，fx有最小值f00；當(dāng)x2時(shí)，fx有最大值f2.規(guī)律方法求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，在純熟掌握求解步驟的根底上，還須注意以下幾點(diǎn)：1對函數(shù)進(jìn)展準(zhǔn)確求導(dǎo)；2研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值；3比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小時(shí)，有時(shí)需要利用作差或作商，甚至要分類討論.跟蹤訓(xùn)練1求以下各函數(shù)的最值：1fx2x36x23，x2,4；2fxx33x26x2，x1,1【導(dǎo)學(xué)號：73122265】解1fx6x212x6xx2，令fx0，得x0或x2，當(dāng)x變化時(shí)，fx，fx的變化情況如下表x22,000,222,44fx0

5、0fx37極大值3極小值535當(dāng)x4時(shí)，fx取最大值35.當(dāng)x2時(shí)，fx取最小值37.2fx3x26x63x22x23x123，fx在1,1內(nèi)恒大于0，fx在1,1上為增函數(shù)故x1時(shí)，fx最小值12；x1時(shí)，fx最大值2.即fx的最小值為12，最大值為2.含參數(shù)的函數(shù)最值問題探究問題1在閉區(qū)間上函數(shù)的圖象連續(xù)不斷是函數(shù)有最值的充要條件嗎？提示閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值假設(shè)有惟一的極值，那么此極值必是函數(shù)的最值2函數(shù)最值與極值有何區(qū)別與聯(lián)絡(luò)？提示1函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的部分概念，函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念2函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間

6、的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)3極值只能在區(qū)間內(nèi)獲得，最值那么可以在端點(diǎn)處獲得函數(shù)fxexax2bx1，其中a，bR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)設(shè)gx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)gx在區(qū)間0,1上的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號：73122266】思路探究先求導(dǎo)，再求極值，最后分類討論來確定最值解因?yàn)閒xexax2bx1，所以gxfxex2axb，又gxex2a，因?yàn)閤0,1，1exe，所以：1假設(shè)a，那么2a1，gxex2a0，所以函數(shù)gx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，gxming01b.2假設(shè)<a<，那么1<2a<

7、;e，于是當(dāng)0<x<ln2a時(shí)，gxex2a0，當(dāng)ln2ax1時(shí)，gxex2a0，所以函數(shù)gx在區(qū)間0，ln2a上單調(diào)遞減，在區(qū)間ln2a，1上單調(diào)遞增，gxmingln2a2a2aln2ab.3假設(shè)a，那么2ae，gxex2a0，所以函數(shù)gx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，gxming1e2ab.綜上所述，當(dāng)a時(shí)，gx在區(qū)間0,1上的最小值為gxming01b；當(dāng)a時(shí)，gx在區(qū)間0,1上的最小值為gxmingln2a2a2aln2ab；當(dāng)a時(shí)，gx在區(qū)間0,1上的最小值為gxming1e2ab.母題探究：1.變換條件假設(shè)a1，b2，求函數(shù)gx在區(qū)間0,1上的最小值解因?yàn)閍1，b2，gxf

8、xex2x2，又gxex2，令gx0，因?yàn)閤0,1，解得xln 2，當(dāng)xln 2時(shí)，函數(shù)取極小值，也是最小值，故gxmingln 222ln 2242ln 2.2改變條件和問法當(dāng)b0時(shí)，假設(shè)函數(shù)gx在區(qū)間0,1上的最小值為0，求a的值解當(dāng)b0時(shí)，因?yàn)閒xexax21，所以gxfxex2ax，又gxex2a，因?yàn)閤0,1，1exe，所以：1假設(shè)a，那么2a1，gxex2a0，所以函數(shù)gx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，gxming01，不符合題意；2假設(shè)<a<，那么1<2a<e，于是當(dāng)0<x<ln2a時(shí)，gxex2a0，當(dāng)ln2a<x<1時(shí)，gxex2a0

9、，所以函數(shù)gx在區(qū)間0，ln2a上單調(diào)遞減，在區(qū)間ln2a，1上單調(diào)遞增，gxmingln2a2a2aln2a0，解得a不符合題意，舍去；3假設(shè)a，那么2ae，gxex2a0，所以函數(shù)gx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，gxming1e2a0，解得a.綜上所述，a.規(guī)律方法對參數(shù)進(jìn)展討論，其本質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況.假設(shè)導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，那么函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處獲得；假設(shè)導(dǎo)函數(shù)可能等于0，那么求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值.提醒：由fx0得到根x0，是否在a，b內(nèi)不明確時(shí)要分類討論.函數(shù)最值的應(yīng)用函數(shù)fxxln x.1假設(shè)函數(shù)gxfxax在區(qū)間e2，

10、上為增函數(shù)，求a的取值范圍；2假設(shè)對任意x0，fx恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)m的最大值解1由題意得gxfxaln xa1，函數(shù)gx在區(qū)間e2，上為增函數(shù)，當(dāng)xe2，時(shí)，gx0，即ln xa10在e2，上恒成立，a1ln x，令hxln x1，當(dāng)xe2，時(shí)，ln x2，hx，3，a的取值范圍是3，22fxx2mx3，即mx2xln xx23，又x0，m，令tx2ln xx，tx1，令tx0得x1或3舍當(dāng)x0,1時(shí)，tx<0，tx在0,1上單調(diào)遞減，當(dāng)x1，時(shí)，tx>0，tx在1，上單調(diào)遞增txmint14，mtxmin4，即m的最大值為4.規(guī)律方法1“恒成立問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常用的解決“恒

11、成立問題的方法.一般地，可采用別離參數(shù)法進(jìn)展轉(zhuǎn)化.fx恒成立fxmax；fx恒成立fxmin.對于不能別離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可.2此類問題特別要小心“最值能否獲得到和“不等式中是否含等號的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否獲得“.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)fxln x，gxfxfx1求gx的單調(diào)區(qū)間和最小值；2求a的取值范圍，使得gagx<對任意x>0成立. 【導(dǎo)學(xué)號：73122267】解1由題設(shè)知fx的定義域?yàn)?，fx，所以gxln x，所以gx.令gx0，得x1，當(dāng)x0,1時(shí)，gx<0，故0,1是gx的單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)x1，時(shí)，gx>0，故1，是gx的單調(diào)遞增區(qū)

12、間因此x1是gx在0，上的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g11.2因?yàn)間agx<對任意x>0成立，即ln a<gx對任意x>0成立由1知，gx的最小值為1，所以ln a<1，解得0<a<e，即a的取值范圍為0，e當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1函數(shù)yxsin x，x的最大值是A1B.1C D1C在上y1cos x0，yxsin x為增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，ymax.2假設(shè)函數(shù)fxx33xa在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為M，N，那么MN的值為 A2B4 C18D20Dfx3x23，令fx0得x±1.當(dāng)0x<1時(shí)，fx<0；當(dāng)1<x3時(shí)，fx>0.那么f1最小，又f0a，f318a，又f3>f0，最大值為f3，即Mf3，Nf1MNf3f118a2a20.3函數(shù)y在0,2上的最大值為_【導(dǎo)學(xué)號：73122268】y.令y0，得x10,2f1，f00，f2，fxmaxf1.4函數(shù)fxx3x22x5，對任意x1,2都有fxm，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_由題意知只要fxmi