第2章 2.5　圓錐曲線的共質(zhì)

1、.2.5圓錐曲線的共同性質(zhì)學(xué)習(xí)目的：1.理解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的準(zhǔn)線方程的方法重點2.能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題難點自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1圓錐曲線的共同性質(zhì)：圓錐曲線上的點到一個定點F和到一條定直線lF不在定直線l上的間隔 之比是一個常數(shù)e.這個常數(shù)e叫做圓錐曲線的離心率，定點F就是圓錐曲線的焦點，定直線l就是該圓錐曲線的準(zhǔn)線2圓錐曲線離心率的范圍：1橢圓的離心率滿足0e1，2雙曲線的離心率滿足e1，3拋物線的離心率滿足e1.3橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線方程：根據(jù)圖形的對稱性可知，橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓或雙曲線，

2、準(zhǔn)線方程都是x.根底自測1判斷正誤：1到定點F與定直線l的間隔 之比為常數(shù)的點的軌跡是圓錐曲線2離心率e1時不表示圓錐曲線3橢圓的準(zhǔn)線為x焦點在x軸上，雙曲線的準(zhǔn)線為x焦點在x軸上【解析】1.定點F不在定直線l上時才是圓錐曲線2.當(dāng)e1時表示拋物線是圓錐曲線3.雙曲線的準(zhǔn)線也是x.【答案】1232離心率為，準(zhǔn)線為x4的橢圓方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902149】【解析】由題意知a2，c1，b23，橢圓方程為1.【答案】1合 作 探 究攻 重 難求焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程求以下曲線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：1x2y22；24y29x236；3x24y0；43x23y22.思路探究把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，確定

3、焦點的位置、利用公式求解【自主解答】1化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：1.焦點在x軸上，a22，b22，c24，c2.焦點為2,0，準(zhǔn)線方程為x1.2化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：1.焦點在y軸上，a29，b24，c.焦點坐標(biāo)為0，準(zhǔn)線方程為y.3由方程x24y知，曲線為拋物線，p2，開口向下，焦點為0，1，準(zhǔn)線為y1.4化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式1，a2，b2，c，故焦點為.準(zhǔn)線方程為y.規(guī)律方法1圓錐曲線方程求焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的一般思路是：首先確定圓錐曲線的類型，其次確定其標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后確定相關(guān)的參數(shù)值a，b，c或p，最后根據(jù)方程的特征寫出相應(yīng)的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程2注意：橢圓、雙曲線有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線，

4、應(yīng)區(qū)別對待跟蹤訓(xùn)練1求以下圓錐曲線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：13x24y212；22x2y24. 【導(dǎo)學(xué)號：95902150】【解】1化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：1.焦點在x軸上，a24，b23，c21，c1.焦點坐標(biāo)為1,0，準(zhǔn)線方程為x4.2化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：1.焦點在x軸上，a22，b24，c26，c.焦點坐標(biāo)為，0，準(zhǔn)線方程為x.利用圓錐曲線的定義求間隔 雙曲線1上有一點P，它到右準(zhǔn)線的間隔 為，求它到左焦點的間隔 思路探究首先斷定點P在雙曲線的左支還是右支上，然后利用性質(zhì)把到準(zhǔn)線的間隔 轉(zhuǎn)化為到焦點的間隔 求解【自主解答】雙曲線1的左準(zhǔn)線和右準(zhǔn)線分別為x和x，假設(shè)點P在雙曲線的左支上，那么點P到右

5、準(zhǔn)線的最小間隔 為3，故點P不可能在左支上，而在右支上，所以點P到右焦點的間隔 為e，再根據(jù)雙曲線的定義知PF1PF26，即PF16PF26.即點P到左焦點的間隔 為.規(guī)律方法解決這類圓錐曲線上點到焦點和準(zhǔn)線的間隔 問題的一般思路有兩種：1先利用統(tǒng)一定義進(jìn)展曲線上點到焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線間隔 之間的互相轉(zhuǎn)化，再利用對應(yīng)的圓錐曲線定義進(jìn)展曲線上點到兩不同焦點間隔 之間的轉(zhuǎn)化來解決；2把思路1的兩步過程交換先后順序來解決.跟蹤訓(xùn)練2橢圓1上有一點P，它到橢圓的左準(zhǔn)線的間隔 為，求點P到橢圓的右焦點的間隔 【解】橢圓1中，a225，b216，那么a5，c3，故離心率為e.由圓錐曲線的性質(zhì)得點P到橢圓的左焦

6、點的間隔 為e，再根據(jù)橢圓的定義得，P到右焦點的間隔 為2a10.利用圓錐曲線的定義求最值探究問題1根據(jù)橢圓雙曲線的共同性質(zhì)，橢圓雙曲線上一點P到其焦點F的間隔 PF，與點P到對應(yīng)準(zhǔn)線的間隔 d有什么關(guān)系？【提示】e，即PFdee為橢圓或雙曲線的離心率2設(shè)橢圓1內(nèi)一點A1,1，P為橢圓上一點，過P作橢圓的準(zhǔn)線x4的垂線，垂足為D，那么PAPD的最小值是什么？【提示】過A作直線x4的垂線交橢圓于P，垂足為D，那么PAPD最小，最小值為AD413.3設(shè)橢圓1外一點M1,3，F(xiàn)為其右焦點，P為橢圓上一點，P到橢圓的準(zhǔn)線x4的間隔 為PD，那么PAPD的最小值是什么？【提示】易知橢圓的離心率是e，由，

7、得PFPD，故PAPDPAPFAF3.即PAPD的最小值是3.橢圓1內(nèi)有一點M1,2，F(xiàn)是橢圓在y軸正半軸上的一個焦點，在橢圓上求一點P，使得MP3PF的值最小. 【導(dǎo)學(xué)號：95902151】思路探究因為橢圓離心率為，d為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的間隔 ，3PFd，將MP3PF轉(zhuǎn)化為MPd.【自主解答】設(shè)P點坐標(biāo)為x0，y0，P到F對應(yīng)準(zhǔn)線的間隔 為d，由方程知a29，a3，b28，c21，e，3PFd，MP3PFMPd.當(dāng)MP與準(zhǔn)線l垂直時MPd最小此時P點的橫坐標(biāo)為x01，將x01代入橢圓方程1，得y0.P點坐標(biāo)為，最小間隔 為2927.即MP3PF的最小值為7.規(guī)律方法求間隔 和的最小值的關(guān)鍵在于把

8、折線變成直線，此過程需借助于圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)展等價轉(zhuǎn)化，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合與等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.跟蹤訓(xùn)練3.如圖251所示，F(xiàn)是雙曲線1的左焦點，定點A的坐標(biāo)為3,1，P是雙曲線右支上的動點，那么PFPA的最小值為多少？圖251【解】由1知a2，c4，e2.設(shè)點M是點P在左準(zhǔn)線上的射影那么PM是P到左準(zhǔn)線x1的間隔 ，那么2.所以PFPM，所以PFPAPMPA.顯然當(dāng)A，P，M三點共線時，PFPA的值最小，即PFPA的最小值為點A到雙曲線左準(zhǔn)線的間隔 ：334.故PFPA的最小值為4.構(gòu)建體系 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1橢圓1的準(zhǔn)線方程是_【解析】由方程可知a23，b22，c21，c1，那么準(zhǔn)線方程為x3.【答案】x32在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1的一條準(zhǔn)線的方程為x3，那么實數(shù)a的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902152】【解析】由方程可得c，x3，解得a12或a3舍，故a12.【答案】123假設(shè)橢圓的焦點坐標(biāo)為1,0，準(zhǔn)線方程是x12，那么該橢圓的方程是_【解析】易知橢圓的焦點在x軸上，且c1，故準(zhǔn)線方程是xa212，那么b2a2c211，故橢圓方程是1.【答案】14橢圓1上一點P到其焦點的間隔 為2，那么點P到對應(yīng)的準(zhǔn)線的間隔 為_【解析】由題意知a2，c1，e，所以p到準(zhǔn)線的間隔 為24.【答案】45橢圓1上有一點P，它到橢圓的左