第2章 2.6 2.6.3　曲線的交點(diǎn)

1、.2.6.3曲線的交點(diǎn)學(xué)習(xí)目的：1.掌握求兩條曲線的交點(diǎn)的方法，會(huì)判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)重點(diǎn)2.領(lǐng)會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，掌握求弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)的有關(guān)問(wèn)題難點(diǎn)3.直線與圓錐曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論易錯(cuò)點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知教材整理兩條曲線的交點(diǎn)與相交弦長(zhǎng)閱讀教材P65的部分，完成以下問(wèn)題1兩條曲線的交點(diǎn)對(duì)于曲線C1：f1x，y0和曲線C2：f2x，y0，1P0x0，y0是C1與C2的公共點(diǎn)2求兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是求方程組的實(shí)數(shù)解2弦長(zhǎng)公式設(shè)直線l的方程為ykxb，l與圓錐曲線交于Ax1，y1，Bx2，y2兩點(diǎn)，那么弦長(zhǎng)公式為AB|x1x2|y1y2|.3代

2、點(diǎn)法設(shè)直線l與圓錐曲線C：fx，y0交于Ax1，y1，Bx2，y2兩點(diǎn)，那么可將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程fx，y0，得兩式作差，變形，即可得到弦AB的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，這種研究問(wèn)題的方法稱為代點(diǎn)法，也稱點(diǎn)差法1判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1過(guò)橢圓上一點(diǎn)P的直線與該橢圓必有兩個(gè)公共點(diǎn)2過(guò)雙曲線上一點(diǎn)，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線只有一條3與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線必與拋物線相切4當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，假設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)方便求出，也可用兩點(diǎn)間間隔 公式求弦長(zhǎng)答案1×2×3×42直線ymx1與橢圓x24y21有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么m2_.解析由得14m2x28

3、mx30.由題意得64m21214m20，解得m2.答案3曲線x22xyy220與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解析在曲線方程中，令y0，得x220，解得x±，那么曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為±，0答案±，04直線yx1與曲線x22y交于A，B兩點(diǎn)，那么AB_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392135】解析由得x22x20，設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x22，x1x22，由弦長(zhǎng)公式得AB·2.答案2合 作 探 究·攻 重 難曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題直線l：kxy20，雙曲線C：x24y24，當(dāng)k為何值時(shí)：1l與C無(wú)公共點(diǎn)；2l與C有唯一公共點(diǎn)；3l與C有兩個(gè)不同的公共

4、點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392136】精彩點(diǎn)撥直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是直線與圓錐曲線方程所組成的方程組解的個(gè)數(shù)，從而問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為由方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)確定參數(shù)k的取值自主解答將直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，得14k2x216kx200. 當(dāng)14k20時(shí)，有16k2414k2·201654k21當(dāng)14k20且<0，即k<或k>時(shí)，l與C無(wú)公共點(diǎn)2當(dāng)14k20，即k±時(shí)，顯然方程只有一解當(dāng)14k20，0，即k±時(shí)，方程只有一解故當(dāng)k±或k±時(shí)，l與C有唯一公共點(diǎn)3當(dāng)14k20，且>0時(shí)，即<k<，且k±時(shí)

5、，方程有兩解，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)名師指津斷定直線與圓錐曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的步驟再練一題1拋物線的方程為y24x，直線l過(guò)定點(diǎn)P2,1，斜率為k，k為何值時(shí)，直線l與拋物線y24x只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？圖2­6­6解1當(dāng)k0時(shí)，直線l與x軸平行，易知與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)2當(dāng)k0時(shí)，聯(lián)立消去x，得ky24y42k10，164k×42k1當(dāng)0，即k1或時(shí)，直線l與拋物線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)>0，即1<k<且k0時(shí)，直線l與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)<0，即k<1或k>時(shí)，直線l與拋物線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)綜上，當(dāng)k1

6、或或0時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1<k<且k0時(shí)，直線l與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k<1或k>時(shí)，直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題斜率為2的直線經(jīng)過(guò)橢圓1的右焦點(diǎn)F1，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)精彩點(diǎn)撥先求出直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的間隔 公式，也可以從公式上考察A，B坐標(biāo)間的聯(lián)絡(luò)，進(jìn)展整體運(yùn)算自主解答直線l過(guò)橢圓1的右焦點(diǎn)F11，0，又直線的斜率為2.直線l的方程為y2x1，即2xy20.法一：由方程組得交點(diǎn)A0，2，B.那么AB.法二：設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，那么A，B的坐標(biāo)為方程組的公共解對(duì)方程組消去y，得3x

7、25x0，那么x1x2，x1x20，AB.法三：設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，聯(lián)立消去y，得3x25x0，那么x1，x2是方程3x25x0的兩根x1x2.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得AF1×5x1，F(xiàn)1B×5x2，那么ABAF1F1B×10x1x2×.名師指津弦長(zhǎng)的求法1求弦長(zhǎng)要分一般弦還是焦點(diǎn)弦，假設(shè)是一般弦，利用一般弦長(zhǎng)公式求解，假設(shè)是焦點(diǎn)弦，可利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.2弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率間的互求一般利用點(diǎn)差法較為簡(jiǎn)捷.再練一題2如圖2­6­7，橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條直線l經(jīng)過(guò)F1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，假

8、設(shè)直線l的傾斜角為45°，求ABF2的面積圖2­6­7解由橢圓的方程1知，a4，b3，c.由c知F1，0，F(xiàn)2，0，又直線l的斜率ktan 45°1，直線l的方程為xy0.設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，那么由法一：消去y，整理得25x232x320，x1x2，x1x2，AB.又點(diǎn)F2到直線l的間隔 d，SAB·d××.法二：消去x，整理得25y218y810，y1y2，y1y2.|y1y2|，SF1F2·|y1y2|×2×.直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題橢圓1ab0，過(guò)點(diǎn)Aa,0，B0，b的直線傾斜角

9、為，焦距為2.1求橢圓的方程；2直線過(guò)D1,0與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，假設(shè)2，求直線EF的方程；3是否存在實(shí)數(shù)k，直線ykx2交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過(guò)D1,0？假設(shè)存在，求出k的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392137】精彩點(diǎn)撥1根據(jù)直線的傾斜角求得a，b的關(guān)系式，又2c2，結(jié)合a2b2c2可得a2和b2，即得方程；2設(shè)出直線方程，利用2及韋達(dá)定理可求EF的方程；3假設(shè)存在，利用PDQD建立方程推導(dǎo)自主解答1由，a2b2c22，得a，b1，所以橢圓方程為y21.2設(shè)EF：xmy1m0，代入y21，得m23y22my20，設(shè)Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，由2，得y12y

10、2.由y1y2y2， y1y22y，得，m1或m1.直線EF的方程為xy10或xy10.3將ykx2代入y21，得3k21x212kx90.*記Px1，y1，Qx2，y2，那么x1x2，x1x2，PQ為直徑的圓過(guò)D1,0，那么PDQD，即x11，y1·x21，y2x11x21y1y20，又y1kx12，y2kx22，得k21x1x22k1x1x250，解得k，此時(shí)*方程0，存在k滿足題設(shè)條件名師指津存在性問(wèn)題的一般方法對(duì)于存在性問(wèn)題，一般是假設(shè)存在，利用條件進(jìn)展推導(dǎo)，如本例中的以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D，轉(zhuǎn)化為PDQD，假設(shè)存在，那么利用構(gòu)建的方程可解出未知數(shù)；假設(shè)不存在，那么推出矛盾.

11、再練一題3設(shè)雙曲線C：y21a>0與直線l：xy1相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B.1求雙曲線C的離心率e的取值范圍；2設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，假設(shè)，求a的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392138】解1將yx1代入雙曲線y21a>0中得1a2x22a2x2a20.所以解得0<a<，且a1.又雙曲線的離心率e，所以e>，且e.2設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，P0,1，因?yàn)?，所以x1，y11x2，y21由此得x1x2.由于x1，x2是方程1a2x22a2x2a20的兩根，且1a20，所以x2，x，消去x2，得.由a>0，解得a.直線與圓錐曲線的相交弦問(wèn)題探究問(wèn)題解決直線與圓錐曲

12、線的相交弦問(wèn)題要注意什么？提示1“設(shè)而不求的方法，假設(shè)直線l與圓錐曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，一般地，首先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)Ax1，y1，Bx2，y2，其中有四個(gè)參數(shù)x1，y1，x2，y2，它們只是過(guò)渡性符號(hào)，通常是不需要求出的，但有利于用根與系數(shù)關(guān)系等解決問(wèn)題，是直線與圓錐曲線位置關(guān)系中常用的方法2涉及圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般用弦長(zhǎng)公式AB|x1x2|·|y1y2|，弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，也可用定義來(lái)解決3解決與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題的常用方法：一是聯(lián)立方程用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解二是把端點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和直線的斜率橢圓1，過(guò)點(diǎn)P2,1作一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線方程精

13、彩點(diǎn)撥設(shè)出直線的斜率，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得關(guān)于x的方程，用根與系數(shù)的關(guān)系和弦中點(diǎn)坐標(biāo)，得斜率的方程，求解即可，也可用“點(diǎn)差法求解自主解答法一：由題意，弦所在直線存在斜率，設(shè)所求直線的方程為y1kx2，代入橢圓方程并整理，得4k21x282k2kx42k12160.又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1，x2是上面的方程的兩個(gè)根，所以x1x2，因?yàn)镻為弦AB的中點(diǎn)，所以2，解得k，所以所求直線的方程為x2y40.法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為Ax1，y1，Bx2，y2，因?yàn)镻為弦AB的中點(diǎn)，所以x1x24，y1y22，又因?yàn)锳，B在橢圓上，所以x4y16，x4y16，兩式

14、相減，得xx4yy0，即x1x2x1x24y1y2y1y20，所以，即kAB.所以所求直線的方程為y1x2，即x2y40.再練一題4過(guò)點(diǎn)P1,1的直線與橢圓1交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P，求AB所在的直線方程及弦長(zhǎng)AB.解設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，由A，B兩點(diǎn)在橢圓上得兩式相減得x1x2x1x22y1y2y1y20. 顯然x1x2，故由得kAB.因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以有x1x22，y1y22. 把代入得kAB，故AB的直線方程是y1x1，即x2y30.由消去y得3x26x10，x1x22，x1x2，AB··.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1過(guò)點(diǎn)0

15、,1且與拋物線y2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有_條解析點(diǎn)0,1在拋物線y2x的外部，過(guò)點(diǎn)0,1與拋物線相切的直線有兩條過(guò)點(diǎn)0,1平行于對(duì)稱軸的直線有一條，因此，只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有3條答案32直線xy10與拋物線yax2相切，那么a等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392139】解析由題意知a0.由消去y得ax2x10，該方程的判別式124×a×114a，令0，即14a0，解得a.答案3直線ykxk1與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)解析由于直線ykxk1kx11過(guò)定點(diǎn)1,1，而1,1在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交，故有2個(gè)交點(diǎn)答案24假設(shè)直線y2xb被曲線y24x截得的弦AB的長(zhǎng)為3，那么實(shí)數(shù)b等于_解析聯(lián)立方程得4x24b4xb20，*設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為Ax1，y1，Bx2，y2，那么由根與系數(shù)的關(guān)系，得故AB·|x1x2|··3.化簡(jiǎn)