第2章 2.3 2.3.2　拋物線的幾何性質(zhì)(二)

1、.2.3.2拋物線的幾何性質(zhì)二學(xué)習(xí)目的：1.掌握直線與拋物線位置關(guān)系的判斷.2.掌握直線與拋物線相交時(shí)與弦長(zhǎng)相關(guān)的知識(shí).3.掌握直線與拋物線相關(guān)的求值、證明問(wèn)題自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知直線與拋物線的位置關(guān)系及斷定位置關(guān)系公共點(diǎn)斷定方法相交有兩個(gè)或一個(gè)公共點(diǎn)k0或聯(lián)立直線與拋物線方程，得到一個(gè)一元二次方程，記判別式為相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)0相離無(wú)公共點(diǎn)0根底自測(cè)1考慮辨析1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)有且只有一條直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)2過(guò)拋物線內(nèi)一點(diǎn)只有一條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)3過(guò)點(diǎn)0,1作直線，使它與拋物線y24x僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條提示1過(guò)拋物線上一點(diǎn)與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線與拋物線

2、有一個(gè)公共點(diǎn)232點(diǎn)A2,3在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，那么直線AF的斜率為AB1CDC由點(diǎn)A2,3在y22px的準(zhǔn)線x上得p4，F(xiàn)2,0，kAF，應(yīng)選C.3過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，那么|AB|_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122172】8|AB|22318.合 作 探 究攻 重 難直線與拋物線的位置關(guān)系拋物線的方程為y24x，直線l過(guò)定點(diǎn)P2，1，斜率為k，k為何值時(shí)，直線l與拋物線y24x：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？解由題意，設(shè)直線l的方程為y1kx2由方程組*可得ky24y42k10. 1當(dāng)k0時(shí)，由方

3、程得y1.把y1代入y24x，得x.這時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).2當(dāng)k0時(shí)，方程的判別式為162k2k1由0，即2k2k10，解得k1，或k.于是，當(dāng)k1，或k時(shí)，方程只有一個(gè)解，從而方程組*只有一個(gè)解這時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)由0，得2k2k10，解得1k.于是，當(dāng)1k，且k0時(shí)，方程有兩個(gè)解，從而方程組*有兩個(gè)解這時(shí)，直線l與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)由0，解得k.于是，當(dāng)k時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，從而方程組*沒(méi)有解這時(shí)，直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)綜上，我們可得當(dāng)k1，或k，或k0時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1k，且k0時(shí)，直線l與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，直線l與拋物線沒(méi)有公

4、共點(diǎn)規(guī)律方法直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等價(jià)于直線方程、拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個(gè)數(shù).注意直線斜率不存在和得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況.跟蹤訓(xùn)練1如圖235，過(guò)拋物線y2x上一點(diǎn)A4,2作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值圖235證明設(shè)kABkk0，直線AB，AC的傾斜角互補(bǔ)，kACkk0，AB的方程是ykx42.由方程組消去y后，整理得k2x28k24k1x16k216k40.A4,2，BxB，yB是上述方程組的解4xB，即xB.以k代換xB中的k，得xC，kBC.直線BC的斜率為定值.與拋物線有關(guān)的中點(diǎn)弦問(wèn)題探究問(wèn)題比照橢圓的“中點(diǎn)弦問(wèn)題，考

5、慮與拋物線有關(guān)的“中點(diǎn)弦問(wèn)題的解題策略有哪些？提示1點(diǎn)差法：將兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，作差由k求斜率，再由點(diǎn)斜式求解2傳統(tǒng)法：設(shè)直線方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，消去x或y得關(guān)于y或x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得兩根之和即為中點(diǎn)縱或橫坐標(biāo)的2倍，從而求斜率A，B為拋物線E上不同的兩點(diǎn)，假設(shè)拋物線E的焦點(diǎn)為1,0，線段AB恰被M2,1所平分1求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；2求直線AB的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122173】思路探究用“點(diǎn)差法解1由E的焦點(diǎn)為1,0，可設(shè)拋物線方程為y22px，且1，p2，拋物線方程為y24x.2設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，由M2,1為線段AB的中點(diǎn)可知直線A

6、B斜率存在且不為零，設(shè)直線AB斜率為k.由A，B為拋物線上不同兩點(diǎn)得得k2，直線AB方程為y12x2，即2xy30.母題探究：1.變換條件假設(shè)本例中條件“線段AB恰被M2,1所平分改為“線段AB恰被M1,1所平分，問(wèn)這樣的直線AB是否存在？假設(shè)存在，求出直線AB的方程，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解由拋物線的焦點(diǎn)為1,0，所以1，p2，故拋物線方程為y24x.假設(shè)AB斜率存在，即AB不垂直于x軸，故可設(shè)AB所在直線的方程為y1kx1k0設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，由消去x整理得ky24y44k0，164k44k0恒成立，又由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2，根據(jù)M為AB的中點(diǎn)，所以2，k2，所以所求直線方程

7、為y12x1，即2xy10.當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意. 2變換條件、改變問(wèn)法假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在拋物線E上挪動(dòng)，求線段PM中點(diǎn)的軌跡方程解設(shè)Px0，y0，PM中點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得即p在拋物線y24x上，PM中點(diǎn)的軌跡方程為2y128x1規(guī)律方法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的根本方法是點(diǎn)差法、根與系數(shù)關(guān)系的方法，直線方程與拋物線方程聯(lián)立時(shí)，消y有時(shí)更簡(jiǎn)捷，此類問(wèn)題還要注意斜率不存在的情況，防止漏解.一般地，拋物線y22pxp0上兩點(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2及AB的中點(diǎn)Px0，y0，那么kAB，直線AB的方程為yy0 xx0.線段AB的垂直平分線的方程為yy0xx0.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜

8、率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法求解.拋物線的綜合運(yùn)用如圖236所示，直線l：y2x4交拋物線y24x于A，B兩點(diǎn)，試在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使PAB的面積最大，并求出這個(gè)最大面積 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122174】圖236思路探究解決此題的關(guān)鍵是弦AB為定值，將點(diǎn)P到直線AB的間隔 的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題求解在應(yīng)用配方法求最值時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍解由解得或由題圖可知A4,4，B1，2，那么|AB|3.設(shè)Px0，y0為拋物線AOB這段曲線上一點(diǎn)，d為點(diǎn)P到直線AB的間隔 ，那么：d|y0129|.2y04，y01290.d9y012從而當(dāng)y01時(shí)，dmax，Smax3.因此，當(dāng)點(diǎn)P的坐

9、標(biāo)為時(shí)，PAB的面積獲得最大值，最大值為.規(guī)律方法應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧1拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題用點(diǎn)差法較簡(jiǎn)便.2軸對(duì)稱問(wèn)題，一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系.3在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化.4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，常選擇一參數(shù)來(lái)表示要研究問(wèn)題中的幾何量，通過(guò)運(yùn)算找到定點(diǎn)、定值，說(shuō)明與參數(shù)無(wú)關(guān)，也常用特值探路法找定點(diǎn)、定值.跟蹤訓(xùn)練3如圖237所示，拋物線C：x24y，過(guò)點(diǎn)M0,2任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y

10、軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)DO為坐標(biāo)原點(diǎn)圖2371求證動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；2作C的任意一條切線l不含x軸，與直線y2相交于點(diǎn)N1，與1中的定直線相交于點(diǎn)N2，求證|MN2|2|MN1|2為定值，并求此定值證明1依題意可設(shè)直線AB的方程為ykx2，代入x24y，得x24kx2，即x24kx80.設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，那么有x1x28.直線AO的方程為yx，直線BD的方程為xx2.可得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為，注意到x1x28及x4y1，那么有y2.因此D點(diǎn)在定直線y2x0上2依題意得切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為yaxba0，代入x24y得x24axb，即x24ax4b0.由0得4a

11、216b0，化簡(jiǎn)整理得ba2.故切線l的方程可寫為yaxa2.分別令y2，y2得N1，N2的坐標(biāo)為：N1，N2，那么|MN2|2|MN1|2428，即|MN2|2|MN1|2為定值8.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1拋物線y212x截直線y2x1所得弦長(zhǎng)等于A.B2C.D15A令直線與拋物線交于點(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2由得4x28x10，x1x22，x1x2，|AB|.2直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的間隔 之和的最小值是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122175】A2 B3 C. D.A直線l2：x1恰為拋物線y24x準(zhǔn)線，P到l2的間隔 d2|PF|F

12、1,0為拋物線焦點(diǎn)，所以P到l1、l2間隔 之和最小值為F到l1間隔 2，應(yīng)選A.3點(diǎn)A4,0，M是拋物線y26x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A間隔 最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)1，設(shè)M，那么|MA|2yyy16y621515，當(dāng)且僅當(dāng)y6，即y1，x11時(shí)，|MA|取最小值，此時(shí)M1，4直線yxb交拋物線yx2于A、B兩點(diǎn)，O為拋物線的頂點(diǎn)，且OAOB，那么b的值為_(kāi)2由，得x22x2b0，228b0，設(shè)直線與拋物線的兩交點(diǎn)為Ax1，y1，Bx2，y2由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x22，x1x22b，于是y1y2x1x22b2，由OAOB知x1x2y1y20，故b22b0，解得b2或b0不合題意，舍去b2合適0.5拋物線y2x與直線l：ykx1相交于A，B兩點(diǎn)1求證：O