本第二章-2控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型

1、本課程討論的主要內(nèi)容：系統(tǒng)系統(tǒng)輸入輸出 ？穩(wěn)定性快速性準確性第一節(jié)第一節(jié) 控制系統(tǒng)的運動微分方程控制系統(tǒng)的運動微分方程第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化第四節(jié)第四節(jié) 考慮擾動的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)考慮擾動的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 為了分析某一物理系統(tǒng)的特性，就必須對為了分析某一物理系統(tǒng)的特性，就必須對這個系統(tǒng)建立這個系統(tǒng)建立數(shù)學表達式數(shù)學表達式。如果將物理系統(tǒng)在。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學表達式描述信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學表達式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)

2、學模型數(shù)學模型。 可見，分析和設計系統(tǒng)，首先的任務就可見，分析和設計系統(tǒng)，首先的任務就是要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。是要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。 經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學模型主要以傳傳遞函數(shù)遞函數(shù)為基礎。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學模型主要以狀態(tài)空間方程狀態(tài)空間方程為基礎。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程微分方程又是最基本的數(shù)學模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎。靜態(tài)數(shù)學模型：靜態(tài)條件（變量各階導數(shù)為零）下描述變量之間關系的代數(shù)方程。反映系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)狀態(tài)有關屬性變量之間關系的數(shù)學模型。動態(tài)數(shù)學模型：描述變量各階導數(shù)之間關系的微分方程。描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。 常用的數(shù)學模型：

3、微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程等。本質(zhì)：是表示輸入和輸出關系的數(shù)學關系式。 機械系統(tǒng)：牛頓力學定律機械系統(tǒng)：牛頓力學定律電學系統(tǒng)電學系統(tǒng)：基爾霍夫電壓電流定律、電容、：基爾霍夫電壓電流定律、電容、電感電路，運算放大器原理，晶體管原理電感電路，運算放大器原理，晶體管原理等。等。機電系統(tǒng)機電系統(tǒng)：電動機的特性方程。：電動機的特性方程。（一）知識回顧：（一）知識回顧： 牛頓第二定律：牛頓第二定律：22d xdvFmammdtdt 胡克定律胡克定律 ：FkxFk 阻尼定律：阻尼定律： Fcx Fc 在機械系統(tǒng)中，線性粘性阻尼是最常用在機械系統(tǒng)中，線性粘性阻尼是最常用的一種阻尼模型。阻尼力的一種阻尼模

4、型。阻尼力F的大小與運動質(zhì)的大小與運動質(zhì)點的速度的大小成正比，方向相反，點的速度的大小成正比，方向相反，c為粘為粘性阻尼系數(shù)，其數(shù)值須由振動試驗確定。性阻尼系數(shù)，其數(shù)值須由振動試驗確定。 轉動慣量定理：轉動慣量和質(zhì)量一樣，是回轉物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性，用字母J表示。轉動慣量，分析實際情況中的作用相當于牛頓運動平動分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。 轉動慣量定理：其中, M是扭轉力矩（扭矩也叫轉矩） J是轉動慣量, 是角加速度22ddMJJJdtdt 阻性元件：阻性元件： 感性元件：感性元件： 容性元件：容性元件：RRUiR1LLiu dtLCCduiCdt 基爾霍夫電壓定理

5、：電網(wǎng)絡中的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和。 運算放大器：其信號輸入輸出功率很小，增益很大，通常位于電路的前端。 兩個重要特征：同相端和反相端電壓相等（虛短）；同相端和反相端的輸入電流近似為零（虛斷） 在沒有外接元件的情況下，運算放大器就是個比較器，同相端電壓高的時候，會輸出近似于正電壓的電平，反之也一樣只有在外接電路的時候，構成反饋形式，才會使運放有放大，翻轉等功能 電樞控制式直流電動機電樞控制式直流電動機電動機轉矩電動機轉矩：反電動勢：反電動勢：l （二）建立數(shù)學模型的一般步驟 確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學定

6、律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程； 消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關系的微分方程； 標準化：右端輸入，左端輸出，導數(shù)降冪排列例例1 兩級兩級RC濾波網(wǎng)絡濾波網(wǎng)絡（1）明確系統(tǒng)的輸入和輸出）明確系統(tǒng)的輸入和輸出1u輸入輸入2u輸出輸出1u2u（2）列出各環(huán)節(jié)的微分方程）列出各環(huán)節(jié)的微分方程1112111()i RiidtuC2221i dtuC222122111()i Ri dtii dtCC已知：輸入、系統(tǒng)已知：輸入、系統(tǒng)未知：輸出未知：輸出三個未知量三個未知量三個方程三個方程1112111()i RiidtuC2221i dtuC222122111()i Ri d

7、tii dtCC222duiCdt 1122212112221i Ri Ruudui RR Cuudt 22212112222122111111iRui d tid tCCd uCRui d tCud tCC2222122111212212211()CR uuiCuCCiCC R uCCu21122121222221211221121222221()()CCRRuCCRuRCuuuCCRRuCRCRuRCuuu22212112222122111111iRui d tid tCCd uCRui d tCud tCC2222122111212212211()CRuuiCuCCiCCRuCCu211

8、22121222221211221121222221()()CC R R uCCR uR CuuuCC R R uC RCR uR Cuuu例例2直流電動機直流電動機(1) 輸入：輸入：au輸出：輸出：(2) 列方程：列方程：aadadiLi RkudtLm aLdJMMdtk iMau1()aLmiJMk11aLmmiJMkk11LdLammmmRRLJLMJkMukkkk22LammdamamLdMddT TTC uC TC Mdtdtdt1,mamdmdmdTLRJTTCCRk kkJ其中，其中，11LdLammmmRRLJLMJkMukkkk11aLLmdmddmdmduRRLJJLM

9、Mk kk kkk kk k例例3例例4求輸入為力 ，輸出位移 ( )f t( )y tx2()fkyxmy12()k xkyx212kxykk12112fk xmykfkymykk2112kmykyfkk輸入位移 輸出位移 ( )ix t( )ox tA在A點力平衡：x221()()()ioiookxxc xxc xxB在B點力平衡：11()ok xc xx111oc xk xc x消去中間變量 難輸入 輸出( )f t2( )y t2212122()fc yc yym y121111()c yykym y中間變量 消除困難1y 如圖所示為汽車懸掛系統(tǒng)原理圖 當汽車在道路上形勢時，輪胎的垂直

10、位移是一個運動激勵，作用在汽車的懸掛系統(tǒng)上。該系的運動由質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉動組成。建立在垂直方向上的運動的簡化數(shù)學模型。設汽車輪胎的垂直位移為輸入量，車體垂直運動為輸出量。 圖所示是組合機床動力滑臺銑平面時的情況。當切削力變化時，滑臺可能產(chǎn)生振動，從而降低被加工工件的表面質(zhì)量。 為了分析這個系統(tǒng)，首先將動力滑臺連同銑刀抽象成質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)。（三）、非線性系統(tǒng)數(shù)學模型的線性化可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的 線性系統(tǒng)系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：223232(1)32

11、4(2)263(3)5564yxd ydydxyxdtdtdtd yd ydyyxdtdtdt2222(4)33(5)yxxyxd ydyyxdtdt(6)( )( )( )( )( )nn 1n 2oooonn 1n 210onn 1n 2d x tdx tdx tdx taaaaa x tdtdtdtdt ( )( )( )( )( )mm 1m 2iiiimm 1m 210imm 1m 2d x tdx tdx tdx tbbbbb x tdtdtdtdt 式中，式中，nm; an、bm均為系統(tǒng)結構參數(shù)所決定的定均為系統(tǒng)結構參數(shù)所決定的定常數(shù)常數(shù) 。（。（n，m=0、1、2、3） 設線性

12、定常系統(tǒng)輸入為設線性定常系統(tǒng)輸入為x(t) ，輸出為，輸出為y(t) ，描述，描述系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 : 機械控制系統(tǒng)的動態(tài)性能往在是用非線機械控制系統(tǒng)的動態(tài)性能往在是用非線性微分方程來表示的，而非線性的微分方性微分方程來表示的，而非線性的微分方程式無一般解法；為研究分析問題的方便，程式無一般解法；為研究分析問題的方便，常根據(jù)實際工程問題的情況將其進行線性常根據(jù)實際工程問題的情況將其進行線性化處埋，改非線性微分方程式為某參考點化處埋，改非線性微分方程式為某參考點附近的增量線性微分方程式。附近的增量線性微分方程式。實例：單擺運動線性化解：根據(jù)牛頓第二定律：補充補

13、充 時間函數(shù)時間函數(shù)f(t)，當，當t0時，時， f(t)=0， t0時，時， f(t)的拉氏變換計為的拉氏變換計為Lf(t)或或F(s)，且定義為，且定義為 0( )( )( )stL f tF sf t edt ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )L x tX sL y tY sL m tM sL n tN sj虛數(shù)單位22s 1s21sate 1sa atte 21sa 表表2-1常用函數(shù)的拉氏變換對照表常用函數(shù)的拉氏變換對照表1!nns 1atbteeba 1sasb22ss (1 2 3)ntn ， (1 2 3)natt en ， 1!nnsa 1btatbeae

14、ba ssasb 111atbtbeaeabab 1s sasb22sin11ntnnet 2222nnnss 22sa 21(1)atatea 21ssa sinatet cosatet 22sasa 2221sin111arctanntnet 2222nnns ss 22211sin111arctanntnet 222nnsss 根據(jù)表格直接寫出結果 2222211( )1,1( ),11,sin,cosatatLtLtL tssL eL esasasLtLtss121212( )( )( )( )( )( )L ftftL ftL ftFsFs ( )( )()L k ftk Lftk

15、Fs ()( )asL f taeF s ( )()atL ef tF sa （實數(shù)或復數(shù)（實數(shù)或復數(shù)a ） 1()sL f atFaa ( )( )(0 )df tLsF sfdt 22(1)2( )( )(0 )(0 )d f tLs F ssffdt12(1)(2)(1)( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )nnnnnnnd f tLs F ssfsfsffdt ( )( )nnndf tLs F sdt 32325624d yd ydydxyxdtdtdtdt 解：利用線性定理和微分定理，可得解：利用線性定理和微分定理，可得 325( )6( )( )2 ( )4( )( )s

16、Y ss Y ssY sY ssX sX s 32(562) ( )(41)( )sssY ssX s 32( )41( )562Y ssX ssss 6.積分定理積分定理 ( 1)11( )( )(0 )Lf t dtF sfss ( 1)(0 )f(f tdt ）2(1)(2)22111( )()( )(0 )(0 )Lf tdtF sffsss (1)(2)()1( )()1111( )(0 )(0 ).(0 )nnnnnLf tdtF sfffssss 式中式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) 、 f (-n)(0+) 為式中為式中f(t)的的各重積分在各重積分在t=0

17、+時的值，如果這些初值為零，則有時的值，如果這些初值為零，則有 1( )( )nnLf t dtF ss 7初值定理初值定理 0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s 8 8終值定理終值定理 0( )lim( )lim( )tsff tsF s 20055( )lim( )lim( )lim22tssff tsF sss 例：已知例：已知 ，求，求f(t)的終值。的終值。 25( )(2)F ss ss 二、拉氏反變換及其計算方法二、拉氏反變換及其計算方法 （一）拉氏反變換的定義（一）拉氏反變換的定義11( )( )( )2rjstrjLF sf tF s e dsj 式中，式中

18、，r為大于為大于F(s)的所有奇異點實部的實常數(shù)。的所有奇異點實部的實常數(shù)。所謂奇異點，即所謂奇異點，即F(s)在該點不解析，也就是在該點不解析，也就是F(s)在該點及其鄰域不處處可導。在該點及其鄰域不處處可導。1111( )( )( )( )( )( )( )( )x tLXsy tLY sm tLMsn tLN s 已知象函數(shù)已知象函數(shù)F(s)，求出與之對應的原函數(shù)，求出與之對應的原函數(shù)f(t)就就稱為拉氏反變換，計作稱為拉氏反變換，計作1( )( )LF sf t( (二二).).拉氏反變換的計算方法拉氏反變換的計算方法1.查表法111211112222111() ,1 () ,11,s

19、i n,cosatatLtLtLtssLeLesasasLtLtss2. 部分分式展開法 (利用逆變化的線性原理)121( )( )( )( )( )nnF sF sF sFsF s 11111121121( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnf tLF sLF sLF sLFsLF sf tf tftf t 111211112222111() ,1 () ,11,s i n,cosatatLtLtLtssLeLesasasLtLtss111211112222111() ,1 () ,11,s i n,c o sa ta tLtLtLtssLeLesasasLt

20、Ltss121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnnb sbsbsb sbB sF sA sa sasasa sa 1212101() ()()()()mmmmmmrijknb sbsbsb sbspspspspsp 11111112()()()()rrrrijknknBBBspspspsspspAAspsp 1,rknBAA為實數(shù)為實數(shù),稱稱留數(shù)留數(shù)留數(shù)的方法可分為下面三種情況研究。留數(shù)的方法可分為下面三種情況研究。11111112( )( )()()( )()()()()()()()()()()kkrrkkkrrkijknkkknB sF s spspA sBBBsp

21、spspspspspsspspspAAspspspsp ( )()( )()( )kkkkkspspB sAspF s spA s kAksp ksp kA例例1 1 求求53( )(1)(2)(3)sF ssss 31253( )(1)(2)(3)123AAAsF sssssss 31253(1)(1)(1)(1)(1)(2)(3)123AAAsssssssssss 32153(1)(1)(2)(3)23AAsAssssss 1s 令 225( 2)3( )(2)7(12)(32)sAF s s 335( 3)3( )(3)6(13)(23)sAF s s 115( 1)3( )(1)1(2

22、1)(31)sAF s s 查查表表： 1123176()()12376tttftLFsLssseee 176( )123F ssss 1123176( )()12376tttftLFsLssseee 11111112( )( )()()()()( )()()()()()()()()()()()()()()()()ijijrrijijijrrijijknijijknB sF s spspspspA sBBBspspspspspspspspspsspspspspAAspspspspspsp 12( )()()( )()()( )iiijijspspB ssspspF s spspA sisp i

23、sp 12s(2). 包含有共軛極點的情況包含有共軛極點的情況 12, 使上式使上式兩邊的實數(shù)部分相等兩邊的實數(shù)部分相等，得到一個方程。同樣，得到一個方程。同樣，使方程兩邊的虛數(shù)部分相等，使方程兩邊的虛數(shù)部分相等，得到另一個方程，根得到另一個方程，根據(jù)這兩個方程就可以確定據(jù)這兩個方程就可以確定和和。例例2 2 求求21( )(1)sF ss ss 21211( )(1)(0.50.866)(0.50.866)(0.50.866)(0.50.866)ssF ss sss sjsjsAsjsjs s0.5 j0.866s0.5 j0.8661()()12s ss 1212221222212120.

24、50.866( 0.50.866)0.50.866( 0.50.866)( 0.50.866)( 0.50.866)0.50.8660.50.8662 0.5 0.8660.50.8660.50.8660.50.8660.52 0.5 0.8660.8660.50jjjjjjjjjjjj .866由此得：由此得： 11 20 22121222121212120.50.8660.50.52 0.5 0.8660.8660.866130.50.5220.8660.8660.86611 2011(1)ssAss ss 10.50.5( )( )1cos0.8660.578sin0.866ttf tL

25、F setet 22222222211( )(1)(0.50.866)(0.50.866)1(0.50.866)(0.50.866)1(0.5)0.8660.50.51(0.5)0.8660.50.50.8661(0.5)0.8660.866 (0.5)0.866ssF ss sss sjsjssjsjsssssssssss (3). 包含有多重極點的情況包含有多重極點的情況 rB11111112()()()()rrrrijknknBBBspspspsspspAAspsp 121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnnb sbsbsb sbB sF sA sa sasasa

26、 sa 有r個多重極點1p 111111111111211111111( )( )()()( )()()()()()()()()()()()()rrrrrrrrrrijrrknknrrrrB sF s spspA sBBBspspspspspspsspspspAAspspspspBBBspspsp 1112111()()()()()()rrijrrknknspsspspspAAspspspsp 1sp 1sp 1111( )( )()()( )rrrspspB sF sspspBA s 1111111111111121111()()()()()()()()()()()()()()()()()r

27、rrrrrrrrrrrrijrrknknBsFsspspA sBBBspspspspBBspQsspsspspspspAAspspspspd 11111111111110()()()()()() ()()()()rrrrrrrrrBBspspspspFsspdsQsspQssp 1111111111211111111()() ()()()()()()()() ()()()()() ()()rrrrrrrrijrrknknrrrrrBsFsspspAsBBBspspspspsspspspAAspspspspBBspQsspspd 11111111111110()()()()() ()()()()

28、 ()rrrrrrrrrBBspspspspFsspdsQsspQssp 1111111111211111111()()()()()()()()()()()()()()()()()rrrrrrrrijrrknknrrrrrBsFsspspAsBBBspspspspsspspspAAspspspspBBspQsspspB 111111111111110()()()()()()()()()()rrrrrrrrrrBBspspdspspFsspd sQsspQssp 1sp1sp111( )()( )rrspdB sBspdsA s 111( )()!( )jrrjjspdB sBspjdsA s

29、111111( )()(1)!( )rrrspdB sBsprdsA s 11( )()( )rrspB sBspA s下面得到的就是下面得到的就是F(s)的拉普拉斯反變換：的拉普拉斯反變換： 11211212112( )( ).(1)!(2)!0nrrp trrrrp tptptrrnf tLF sAAttA tAerrBeBeB et （）11()nsp 的拉氏反變換是由下式的拉氏反變換是由下式11111()(1)!nP tntLespn 21( )(2)(3)F ss ss 21122( )(3)32AABBF sssss 22311( )(3)( 3)( 32)3sAF s s 213

30、314( )(3)(2)9ssddAF s sdsdss s 因而上式拉氏反變換為因而上式拉氏反變換為 23323311411( )(1986)1829318ttttttf teeteeete 22211( )(2)( 2)( 23)2sBF s s 12011( )2 318sBF ss 21191( )182(2)4(3)3(3)F sssss 將將A1、A2、B1、B2 代入前面方程得代入前面方程得 當全部初始條件為零時當全部初始條件為零時（輸入量施加于輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t t 0 0 時，輸出量及其各階導數(shù)也均為時，輸出

31、量及其各階導數(shù)也均為0 0），），輸出量輸出量 的拉氏變換的拉氏變換 與輸入量與輸入量 的拉氏變換的拉氏變換 之比叫做系統(tǒng)的傳遞函之比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)數(shù) 。 ( )ix t( )ox t( )iX s( )oXs( )G s( )( )( )oiXsG sX s 設線性定常系統(tǒng)輸入為設線性定常系統(tǒng)輸入為 ，輸出為，輸出為 ，描述系統(tǒng)的微分方程的一般形式為描述系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 : ( )( )( )( )nn 1ooonn 110onn 1d x tdx tdx taaaa x tdtdtdt ( )( )( )( )mm 1iiimm 110imm 1d x tdx tdx tbb

32、bb x tdtdtdt ( )ix t( )ox t11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnonooommmimiiia s X sa sX sasX sa X sb s X sbsX sbsX sb X s 兩邊拉氏變換11101110( ).( )( ).mmommnninnXsb sbsb sbG sX sa sasa sa 特征方程特征方程00(0)bGKa令傳遞函數(shù)分母等于零等到的方程稱為令傳遞函數(shù)分母等于零等到的方程稱為系系統(tǒng)的統(tǒng)的特征方程特征方程，特征根特征根。當當s=0時時 系統(tǒng)的系統(tǒng)的放大系數(shù)放大系數(shù)或或增益增益 從微分方程的角度看，此時相當于

33、所有的導從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數(shù)項都為零。數(shù)項都為零。K 系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。入的比值。二、幾個概念放大系數(shù)放大系數(shù) 111011101212.( ).mmmmnnnnmmnnb sbsb sbG sa sasa sabszszszaspspsp 12.0mmbszszsz 的根的根 1 2iszim，稱為傳遞函數(shù)的零點；稱為傳遞函數(shù)的零點； 12.0nnaspspsp 的根的根 1,2,ispin ，稱為傳遞函數(shù)的極點；稱為傳遞函數(shù)的極點；！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。！零點和極點的數(shù)值完全取

34、決于系統(tǒng)的結構參數(shù)！零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)！零點、極點零點、極點零、極點分布圖零、極點分布圖傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)的零、極點零、極點分布圖：分布圖：將傳遞函數(shù)的零、極將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復平面上的點表示在復平面上的圖形。圖形。零點用零點用“O”表示表示極點用極點用“”表示表示12s 23s 3,41sj 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)分母多項式分母多項式中中s的最高冪數(shù)代表了的最高冪數(shù)代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如系統(tǒng)的階數(shù)，如s的最高冪數(shù)為的最高冪數(shù)為n則該系統(tǒng)為則該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。 說明在復數(shù)域內(nèi)，輸入信號乘以傳遞函數(shù)就是輸出信號。傳遞函數(shù)代表了系統(tǒng)對輸入和輸出的傳遞關系。 ( )(

35、)( )oiXsG sX s 系統(tǒng)階次系統(tǒng)階次( )( )( )oiXsG s Xs 323252267d yd ydydxyxdtdtdtdt43243226324d yd yd ydyyxdtdtdtdt 32( )67( )( )522Y ssG sX ssss 432( )4( )( )2632Y sG sX sssss 三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)環(huán)節(jié):具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。 任何復雜的系統(tǒng)總可歸結為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。 假設系統(tǒng)有b個實零點，c 對復零點，d 個實極點，e對復極點和v個零極點，由線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的

36、零、極點表達式 111011102112112222111( ).( )( ).121121111(1)(21)(1)(2mmommnninnbcilllildevjkkkjkbcillldiljkkjXsb sbsb sbG sX sa sasa saKT sT sT ssT sT sT sKT sT sT ssT sT s 11)ekkT s 比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：二階微分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：一般，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：實際系統(tǒng)中還存在純時間延遲現(xiàn)象，

37、輸出完全復現(xiàn)輸入，但延遲了時間此時因此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)1、比例環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)Proportional link輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。其運動方程為分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。兩邊取拉氏變換得兩邊取拉氏變換得21( )( )oiz n tz n t12( )0( )iou tu tRR2、慣性環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)凡運動方程為一階微分方程形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：式中K環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；T時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結構參數(shù)有關。如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)( )( ( )( )oiox tDK x t

38、x tdt3、微分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié) Differential link( )( )oix tTx t 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) 運動方程：運動方程：( )( )( )oiix tTx tx t 二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)22( )( )( )2( )iioid xtdx tx tTTx tdtdt 式中，式中，T為常數(shù)；為常數(shù)； 為阻尼比。為阻尼比。理想微分理想微分( )( )( )oiXsG sTsX s( )( )1( )oiXsG sTsX s22( )( )21( )oiXsG sT sTsX s 如：測速發(fā)電機無負載時式中 為電機常數(shù)。tK無源微分網(wǎng)絡 顯然，無源微分網(wǎng)絡包括有慣性環(huán)節(jié)和

39、 微分環(huán)節(jié)，稱為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當 |Ts|1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。微分電路iduiCdt1ouiR ioduuRCdt ( )( )( )oiUsG sRCsU s 4、積分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)Integral link輸出量正比于輸入量對時間的積分。運動方程為：傳遞函數(shù)為：式中，T積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。例例 如圖所示的油缸，其輸入為流量如圖所示的油缸，其輸入為流量q q，輸出為油，輸出為油缸活塞的位移缸活塞的位移x x，試寫出其傳遞函數(shù)。，試寫出其傳遞函數(shù)。 解：活塞的速度為解：活塞的速度為 /dx dtq A 所以位移所以位移 qxdtA 式中式中A A活塞的面積活塞的面積 對上式取拉氏變換，

40、并整對上式取拉氏變換，并整理，則得其傳遞函數(shù)為理，則得其傳遞函數(shù)為 ：1( )( )/( )G sX sQ sAs 注意：注意：位移對流量來說是積分環(huán)節(jié)，而速位移對流量來說是積分環(huán)節(jié)，而速度對流量來說，則是一個比例環(huán)節(jié)。因此度對流量來說，則是一個比例環(huán)節(jié)。因此對一個具體的物理系統(tǒng)而言，究竟是屬于對一個具體的物理系統(tǒng)而言，究竟是屬于那一個環(huán)節(jié)，要看確定出那一個環(huán)節(jié)，要看確定出輸入量與輸出量輸入量與輸出量后的傳遞函數(shù)而定。后的傳遞函數(shù)而定。 例例 如圖所示的無源網(wǎng)絡，輸入量為回路電流如圖所示的無源網(wǎng)絡，輸入量為回路電流i i, ,而而輸出量為輸出量為u uc c，試寫出其傳遞函數(shù)。，試寫出其傳遞函

41、數(shù)。 解：電容器充電電流解：電容器充電電流i與電容器兩端的電壓與電容器兩端的電壓uc關系為關系為 1cuidtc 進行拉氏變換得傳遞函進行拉氏變換得傳遞函數(shù)為數(shù)為 ( )1( )( )cUsG sI scs 含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，5、振蕩環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)Second-order link運動方程為：傳遞函數(shù)為：2( )2( )( )( )oooiT x tTx tx tKx t22( )( )( )21oiXsKG sX sT sTs式中，T振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，0 1K比例系數(shù)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標準形式為（K=

42、1）：稱為無阻尼固有角頻率。如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：6、延時環(huán)節(jié)、延時環(huán)節(jié)Delay link運動方程：傳遞函數(shù)：式中，為純延遲時間。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別： 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值； 延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時間內(nèi),沒有輸出，但t=之后，輸出等于之前時刻的輸入。小結環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。一、傳遞函數(shù)方框圖概念：一個系統(tǒng)可由若干個環(huán)節(jié)按照一定的關系組成，將這些環(huán)節(jié)以方

43、框表示，其間用相應的變量及信號流向聯(lián)系起來，就構成了系統(tǒng)的方框圖。實質(zhì)：是系統(tǒng)數(shù)學模型的一種圖解方法。如圖所示，圖中指向框圖單元的箭頭表示如圖所示，圖中指向框圖單元的箭頭表示輸入，從框圖出來的箭頭表示輸出，箭頭輸入，從框圖出來的箭頭表示輸出，箭頭上標明了相應的信號，上標明了相應的信號，G(s)表示其傳遞函數(shù)。表示其傳遞函數(shù)。 函數(shù)方框函數(shù)方框(一)方框圖的結構要素如圖如圖2-15 所示，比較點代表兩個或兩個以上所示，比較點代表兩個或兩個以上的輸入信號進行相加或相減的元件，或稱比較的輸入信號進行相加或相減的元件，或稱比較器。箭頭上的器。箭頭上的“+”或或“-”表示信號相加還是相表示信號相加還是相

44、減，相加減的量應具有相同的量綱。減，相加減的量應具有相同的量綱。 比較點比較點(相加點相加點)如圖如圖 所示，分支點表示信號引出和測量的位所示，分支點表示信號引出和測量的位置，同一位置引出的幾個信號，在大小和性置，同一位置引出的幾個信號，在大小和性質(zhì)上完全一樣。質(zhì)上完全一樣。 (二)系統(tǒng)方框圖的建立(1)建立系統(tǒng)(或入件)的原始微分方程；(2)對這些原始微分方程進行拉氏變換，并根據(jù)各拉氏變換式中的因果關系，繪出相應的方框圖；(3)按照信號在系統(tǒng)中傳遞、變換的過程(即流向)，依次將各傳遞函數(shù)方框圖連接起來(同一變量的信號通路連接在一起)，系統(tǒng)輸入量置于左端，輸出量置于右端，使得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方

45、框圖。兩級兩級RC濾波網(wǎng)絡濾波網(wǎng)絡1u2u列出各環(huán)節(jié)的微分方程列出各環(huán)節(jié)的微分方程1112111()i RiidtuC2221i dtuC222122111()i Ri dtii dtCC1 112111( ) ( )( )( )R I sI sIsU sC s2221( )( )IsUsC s222122111( )( ) ( )( )R IsIsI sIsC sC s二、方框圖等效簡化法則二、方框圖等效簡化法則1.串聯(lián)連接串聯(lián)連接 各環(huán)節(jié)一個個順序連接稱為串聯(lián)各環(huán)節(jié)一個個順序連接稱為串聯(lián)1121( )( )( )( ).( )( )( )( )( )Y sY sY sG sG s GsX

46、sX sY s 前一框圖的輸出為后一框圖的輸入。前一框圖的輸出為后一框圖的輸入。G1(s)、G2(s)為為各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，綜合后總的傳遞函數(shù)為：各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，綜合后總的傳遞函數(shù)為： 由串聯(lián)環(huán)節(jié)所構成的系統(tǒng)，當前后方框之由串聯(lián)環(huán)節(jié)所構成的系統(tǒng)，當前后方框之間無負載效應時，它的總傳遞函數(shù)等于個間無負載效應時，它的總傳遞函數(shù)等于個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。當系統(tǒng)由當系統(tǒng)由n個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，總傳遞函個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，總傳遞函數(shù)為：數(shù)為：1( )( )niiG sG s 式中式中Gi(s)第第i個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(i=1，2，n )凡有幾個環(huán)節(jié)的輸入相同，

47、輸出相加或相減的凡有幾個環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出相加或相減的連接形式稱為并聯(lián)。圖連接形式稱為并聯(lián)。圖2-18為兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)，為兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)，共同的輸入為共同的輸入為X(s)，總輸出為，總輸出為: 總的傳遞函數(shù)為總的傳遞函數(shù)為1212( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y sY sY sG sG sGsX sX sX s 2.并聯(lián)連接并聯(lián)連接并聯(lián)環(huán)節(jié)所構成的總傳遞函數(shù)，等于各個并聯(lián)環(huán)節(jié)所構成的總傳遞函數(shù)，等于各個并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和（或差）。并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和（或差）。推廣到推廣到n個環(huán)節(jié)并聯(lián)，其總的傳遞函數(shù)等于個環(huán)節(jié)并聯(lián)，其總的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和，即各并

48、聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和，即 1( )( )niiG sG s 式中式中Gi(s)第第i個并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)個并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(i=1，2，n )反饋信號與輸入信號相加的稱為反饋信號與輸入信號相加的稱為“正反饋正反饋”，與，與輸入信號相減的稱為輸入信號相減的稱為“負反饋負反饋”。 G (s) H (s) ()()1()()GssGs Hs X (s) X (s) Y (s) Y (s) B (s) E (s) + 圖圖 2 -1 9 反反 饋饋 連連 接接 ( )( )( ) ( )Y sX sB s G s ( )( )( )B sY s H s 3. 反饋連接反饋連接( )( )( )(

49、) ( )Y sX sY s H s G s( )( )( ) ( )( ) ( )Y sY s H s G sX s G s(1( ) ( ) ( )( ) ( )H s G s Y sX s G s( )( )( )( )( )1( ) ( )1( ) ( )BY sG sG sGsX sH s G sH s G s( )( )( )( )1( )( )BY sG sGsX sG s H s 在前向通路中，所有經(jīng)過的環(huán)節(jié)的乘積。在前向通路中，所有經(jīng)過的環(huán)節(jié)的乘積。可由下式計算：可由下式計算：1( )( )niiG sG s 常用的幾個術語常用的幾個術語前向通道前向通道信號沿箭頭方向從輸入直到輸出，并且每一路徑不要重復的通道。前向通道傳遞函數(shù)前向通道傳遞函數(shù) H(s)稱為反饋回路傳遞函數(shù)，它是信號沿稱為反饋回路傳遞函數(shù)，它是信號沿著輸出端進入，而回到輸入端時所有經(jīng)過的著輸出端進入，而回到輸入端時所有經(jīng)過的環(huán)節(jié)乘積，即環(huán)節(jié)乘積，即 1( )( )mijH sH s 反饋回路傳遞函數(shù)：反饋回路傳遞函數(shù)：G(s)H(s)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可表示稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可表示為為 11( )( )( )( )nmiiijG s H sG sH s （2-62） 注意注意 ：開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)和和開環(huán)系