直線與圓錐復習歸納

1、 橢圓與雙曲線常見題型歸納一. “曲線方程+直線與圓錐曲線位置關系”的綜合型試題的分類求解1.向量綜合型例1.在直角坐標系中，點到兩點的距離之和為4，設點的軌跡為,直線與交于兩點。（）寫出的方程; （）若，求的值。例1. 解:（）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓它的短半軸，故曲線C的方程為（）設，其坐標滿足 消去y并整理得，故若，即而，于是，化簡得，所以例2設、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;（）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍解：（）解法一：易知所以，設，則

2、因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或例3 設、分別是橢圓的左、右焦點，（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;（）若C為橢圓上異于B一點，且，求的值；（）設P是該橢圓上的一個動點，求的周長的最大值. 例3解：（）易知，所以,設,則 因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值 （）設C（）， 由得，又 所以有解得 （）因為|P|PB|4|PF2|PB|4|BF2|周長4|BF2|B|8所以

3、當P點位于直線BF2與橢圓的交點處時，周長最大，最大值為8例4已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(1) 求雙曲線C的方程；(2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。解：（）設雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為（）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即 設，則而于是 由、得 故k的取值范圍為例5已知橢圓（ab0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為（1）求橢圓的方程（2）已知定點E（-1，0），若直線ykx2（k0）與橢圓交于C、D兩點問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由解析：

4、（1）直線AB方程為：bx-ay-ab0依題意解得橢圓方程為4分（2）假若存在這樣的k值，由得設，、，則8分而要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CEDE時，則，即10分將式代入整理解得經驗證，使成立綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E13分2“中點弦型”例6.已知橢圓，試確定的值，使得在此橢圓上存在不同兩點關于直線對稱。解：設，的中點，而相減得即，而在橢圓內部，則即例7.已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率，焦距為（I）求該雙曲線方程.（II）是否定存在過點，）的直線與該雙曲線交于，兩點，且點是線段 的中點？若存在，請求出直線的方程，若不存在，說明理由.例7.（1）（

5、2）設，直線：，代入方程得 （） 則，解得 ，此時方程為， 方程沒有實數根。所以直線不存在。例8已知橢圓的中心在原點，焦點為F1，F2（0，），且離心率。 （I）求橢圓的方程； （II）直線l（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點A、B，且線段AB中點的橫坐標為，求直線l傾斜角的取值范圍。例8解：（I）設橢圓方程為 解得 a=3，所以b=1，故所求方程為 4分 （II）設直線l的方程為代入橢圓方程整理得 5分 由題意得 7分 解得 又直線l與坐標軸不平行 故直線l傾斜角的取值范圍是 12分3“弦長型”例9直線ykxb與橢圓交于A、B兩點，記AOB的面積為S (I)求在k0，0b1的條件下，S的

6、最大值； （)當AB2，S1時，求直線AB的方程例9(I)解：設點A的坐標為(，點B的坐標為，由，解得所以當且僅當時，S取到最大值1（）解：由得AB 又因為O到AB的距離所以代入并整理，得解得，代入式檢驗，0 故直線AB的方程是 或或或例10已知向量 =（0，x），=（1，1）， =（x，0），=（y2，1）（其中x，y是實數），又設向量= +，=，且/，點P（x，y）的軌跡為曲線C.（）求曲線C的方程；（）設直線與曲線C交于M、N兩點，當|MN|=時，求直線l的方程.例10解：（I）由已知， 4分 5分 即所求曲線的方程是：7分（）由解得x1=0, x2=分別為M，N的橫坐標）.9分由 11

7、分所以直線l的方程xy+1=0或x+y1=0.12分二“基本性質型”例11設雙曲線的方程為，A、B為其左、右兩個頂點，P是雙曲線上的任一點，引，AQ與BQ相交于點Q。（1）求Q點的軌跡方程；（2）設（1）中所求軌跡為，、的離心率分別為、，當時，求的取值范圍。例11. 解：（1）設，化簡得：，經檢驗，點不合題意，點Q的軌跡方程為（2） 由（1）得的方程為，。例12P為橢圓上一點，、為左右焦點，若（1）求的面積；（2）求P點的坐標例12解析：a5，b3c4 （1）設，則 ，由2得 （2）設P，由得 4，將 代入橢圓方程解得，或或或例13已知雙曲線與橢圓共焦點，且以為漸近線，求雙曲線方程(12分)例13 解析：由橢圓 設雙曲線方程為，