分塊矩陣（課堂PPT）

1、分塊矩陣分塊矩陣一一. 分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則二二. 分塊矩陣的一些例子分塊矩陣的一些例子 矩陣分塊，是矩陣運(yùn)算的一個(gè)重要方法，可將大矩陣分塊，是矩陣運(yùn)算的一個(gè)重要方法，可將大規(guī)模矩陣的運(yùn)算化為若干小矩陣進(jìn)行計(jì)算。規(guī)模矩陣的運(yùn)算化為若干小矩陣進(jìn)行計(jì)算。 在矩陣某些行之間插入橫線，某些列之間插入縱在矩陣某些行之間插入橫線，某些列之間插入縱線，將矩陣分割成若干個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為線，將矩陣分割成若干個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為矩陣的矩陣的子塊子塊；以子塊為元素的矩陣，稱為；以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣分塊矩陣。 1、矩陣分塊的方法、矩陣分塊的方法,321 BBB bbaaA110

2、101000001 例如例如 A001aba110000b110 1B2B3B 即即, BEOA ,4321AAAA bbaa110101000001bbaa110101000001 aaA01其其中中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 說(shuō)明說(shuō)明 (1). 矩陣分塊時(shí)，同一個(gè)矩陣可以有不同的矩陣分塊時(shí)，同一個(gè)矩陣可以有不同的分塊方法，應(yīng)根據(jù)需要進(jìn)行選擇。分塊方法，應(yīng)根據(jù)需要進(jìn)行選擇。 2、矩陣分塊一般形式、矩陣分塊一般形式 矩陣矩陣A = ( aij )mn，在行方向分，在行方向分s塊，列方向分塊，列方向分t塊，塊，稱稱A為為s

3、t分塊矩陣分塊矩陣，第，第k行行l(wèi)列子塊列子塊Akl是是mknl階矩階矩陣。陣。stssttAAAAAAAAAA212222111211smmm21tnnn21 各子塊行數(shù)各子塊行數(shù) 各子塊列數(shù)各子塊列數(shù) mmskk1nntll1 說(shuō)明說(shuō)明 (2). 矩陣分塊三原則：體現(xiàn)矩陣分塊三原則：體現(xiàn)原矩陣特點(diǎn)原矩陣特點(diǎn)，依，依據(jù)據(jù)問(wèn)題需要問(wèn)題需要，子塊可以作，子塊可以作元素運(yùn)算元素運(yùn)算。分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則 設(shè)設(shè)A、B是是mn階矩陣，采用相同的分塊法分塊將階矩陣，采用相同的分塊法分塊將A、B分塊如下：分塊如下： 1、分塊加法、分塊加法stssttAAAAAAAAAA2122221112

4、11stssttBBBBBBBBBB212222111211tsklklBABA則定義 注注. 分塊矩陣運(yùn)算中，每個(gè)子塊具有二重性：一分塊矩陣運(yùn)算中，每個(gè)子塊具有二重性：一是是分塊分塊矩陣的元素矩陣的元素；二是本身是；二是本身是矩陣矩陣。 2、分塊數(shù)乘、分塊數(shù)乘 設(shè)設(shè)A是是mn階矩陣，任意分塊，階矩陣，任意分塊，k是常數(shù)，則定義是常數(shù)，則定義tsklkAkA 3、分塊乘法、分塊乘法設(shè)設(shè)A是是ml階矩陣，階矩陣， B是是ln階矩陣，階矩陣，即即A的的列列數(shù)數(shù) = B 的的行行數(shù)數(shù)即即A的的列分塊列分塊法法 = B 的的行分塊行分塊法法分塊分塊A = ( Auv )sr B = ( Bvw )rt

5、則則A與與B的乘積的乘積C = ( Cuw ) 是是st階分塊矩陣，滿足階分塊矩陣，滿足), 1;, 1(1twsuBACrvvwuvuw 注注. 分塊矩陣乘積分塊矩陣乘積AB中，每個(gè)子塊：中，每個(gè)子塊： （1）作為分塊陣元素參與運(yùn)算）作為分塊陣元素參與運(yùn)算 （2）作為矩陣也要滿足乘法條件）作為矩陣也要滿足乘法條件rvvwuvuwBAC1vwuvBA 例例1. 用分塊矩陣法求用分塊矩陣法求AB1011012100100001A0211140110210101B 解：解：分塊成把BA, 1011012100100001A 10011001A00001121 , EEO1A 02111401102

6、10101B 11BE21B22B則則2221111BBEBEAOEAB2212111111BABBAEB又又21111BBA11012101112111012043114202141121221BA1333于是于是2212111111BABBAEBAB1311334210410101 說(shuō)明說(shuō)明 (3). 矩陣分塊的目的，是讓矩陣的計(jì)算過(guò)程矩陣分塊的目的，是讓矩陣的計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)單，計(jì)算量更少。更簡(jiǎn)單，計(jì)算量更少。 4、分塊轉(zhuǎn)置、分塊轉(zhuǎn)置 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A = ( Aij ) 是是sr 階分塊矩陣階分塊矩陣 例例1的的計(jì)算量比較：計(jì)算量比較：直接進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù)直接進(jìn)行矩陣乘積需要的

7、四則運(yùn)算次數(shù)112)34(44用分塊矩陣進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù)用分塊矩陣進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù)12) 12(22塊運(yùn)算：20222) 12(22子塊運(yùn)算： 合計(jì)合計(jì)32次次,11srAAArA11sATsA1TrA1.)(11TsrTTTTAAAAij則 說(shuō)明：說(shuō)明：分塊轉(zhuǎn)置中，每個(gè)子塊一方面作為分塊轉(zhuǎn)置中，每個(gè)子塊一方面作為分塊分塊陣陣元素元素要轉(zhuǎn)置；另一方面作為要轉(zhuǎn)置；另一方面作為矩陣矩陣本身也要轉(zhuǎn)置。本身也要轉(zhuǎn)置。 分外層、內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置分外層、內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置 特別地，對(duì)于列分塊矩陣：特別地，對(duì)于列分塊矩陣：),(21tAAAATtTTAAA1二、一些特殊的二、一些特殊的分塊

8、矩陣分塊矩陣 1. 2階階分塊上（下）三角形矩陣求逆分塊上（下）三角形矩陣求逆 例例2. 求下列求下列2階分塊逆矩陣階分塊逆矩陣221211) 1 (AAAA222112)2(BBBB43211XXXXA其中其中A11， A22可逆矩陣可逆矩陣其中其中B12， B21可逆矩陣可逆矩陣 解解(1) ：設(shè)設(shè)A的分塊逆矩陣為的分塊逆矩陣為EAA143212212111XXXXAAAAA422322412211312111XAXAXAXAXAXAEE00 得到得到4個(gè)矩陣方程組個(gè)矩陣方程組EXAXAXAXAEXAXA42232241221131211100 求解該方程組，得求解該方程組，得122121

9、112111312240AAAXAXXAXT (2) （解略，請(qǐng)仿（解略，請(qǐng)仿(1)方法自行求解）方法自行求解）sAAAA21 設(shè)設(shè)A1, A2, , As均為方陣（不一定同階），則稱下均為方陣（不一定同階），則稱下面的面的A為為分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣 2. 分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣 如果矩陣如果矩陣A1, A2, , As均可逆，則均可逆，則分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣A可逆，且其逆矩陣為可逆，且其逆矩陣為112111sAAAA 說(shuō)明：說(shuō)明：分塊對(duì)角陣的逆矩陣，與對(duì)角矩陣的逆矩分塊對(duì)角陣的逆矩陣，與對(duì)角矩陣的逆矩陣形式類似。陣形式類似。 3. 矩陣乘積矩陣乘積AB，A不分塊，不分塊，B按列分塊

10、按列分塊 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A、B分別是分別是sn 和和nt 階矩陣，階矩陣，A不分塊，不分塊，B按列分塊，即按列分塊，即),(21tB 則則),(21tAAB),(21tAAA 例例3. 求解下列矩陣方程求解下列矩陣方程 說(shuō)明：說(shuō)明：矩陣方程矩陣方程AX = B 可看成可看成 t 個(gè)線性方程組個(gè)線性方程組 Ax1 = b1, Ax2 = b2, , Axt = bt 其中其中B = ( b1, b2, , bt )， X = ( x1, x2, , xt )352213321121X 解：解：對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣( A, B )進(jìn)行初等行變換進(jìn)行初等行變換111011101321r2+r1r3-2

11、r1353222111321),(BA00011103101 -r2r1-2r2r3+r2 于是方程組于是方程組Ax1 = b1有解有解111x 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)= 0 時(shí)，時(shí)，Ax2 = b2有解有解132x 所以矩陣方程所以矩陣方程AX = B 在參數(shù)在參數(shù)= 0 時(shí)，有解：時(shí)，有解：1131),(21xxX 說(shuō)明：說(shuō)明：利用增廣矩陣的初等行變換，可以對(duì)矩陣?yán)迷鰪V矩陣的初等行變換，可以對(duì)矩陣方程方程AX = B 的的 t 個(gè)線性方程組同時(shí)進(jìn)行求解。個(gè)線性方程組同時(shí)進(jìn)行求解。 4. 矩陣乘積矩陣乘積AB，A按列分塊，按列分塊，B每個(gè)元素為塊每個(gè)元素為塊 （1）設(shè)矩陣設(shè)矩陣A是是sn 矩陣，

12、矩陣，X 是是n1矩陣：矩陣：將將A按列分塊，即按列分塊，即 snssnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21),(21nA則則 nnxxxAX2121),(nnxxx2211 我們將表達(dá)式我們將表達(dá)式 nnxxx2211 稱為向量稱為向量 n,21 的的線性組合線性組合， 稱為稱為組合系數(shù)組合系數(shù)。 nxxx,21 說(shuō)明說(shuō)明(1). 對(duì)于線性方程組對(duì)于線性方程組Ax = b，利用這樣的分塊，利用這樣的分塊方式，可以得到方式，可以得到線性方程組的向量形式線性方程組的向量形式bxxxnn2211 說(shuō)明說(shuō)明(2). 如果記如果記 ei 是第是第i個(gè)分量為個(gè)分量為1，其余分量為

13、，其余分量為0的列向量，則的列向量，則), 2 , 1(niAeii同樣記同樣記i 是第是第i個(gè)分量為個(gè)分量為1，其余分量為，其余分量為0的行向量，的行向量，則則i A表示表示A的第的第i個(gè)行向量。個(gè)行向量。 （2）設(shè)矩陣設(shè)矩陣A是是sn 矩陣，矩陣，B 是是nt 矩陣，將矩陣，將A按列分塊，則按列分塊，則ntnnttnbbbbbbbbbAB21222211121121),(),(111niiitniiibb即即AB的每個(gè)列向量，都是的每個(gè)列向量，都是A的列向量的線性組合。的列向量的線性組合。 例例4. 設(shè)設(shè)A是是2階矩陣，階矩陣，x是是2維非零列向量。若維非零列向量。若),(,62AxxBx

14、AxxA求矩陣求矩陣C，使得，使得AB = BC。（見(jiàn)教材（見(jiàn)教材P69例例2.15）2.4 矩陣的秩矩陣的秩一一. 秩的概念秩的概念二二. 初等變換和矩陣的秩初等變換和矩陣的秩 初等行變換，可以將矩陣初等行變換，可以將矩陣A化為階梯形矩陣。這個(gè)化為階梯形矩陣。這個(gè)階梯陣的階梯數(shù)，是由矩陣秩唯一確定的，故引入階梯陣的階梯數(shù)，是由矩陣秩唯一確定的，故引入矩陣的秩概念。矩陣的秩概念。三三. 矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 一一. 秩的概念秩的概念 在在Am n中，中，任取任取k行、行、k列列(km, kn)，位于這些行，位于這些行列交叉處的列交叉處的k2個(gè)元素，按原有的位置個(gè)元素，按原有的位置次

15、序所構(gòu)成次序所構(gòu)成的的k階行列式，稱為階行列式，稱為A的的k階子式階子式。 1. k階子式階子式 說(shuō)明說(shuō)明(1). A共有共有 個(gè)個(gè)k 階子式。階子式。knkmCC 例如例如110011101321A110312階非零子式階非零子式 01101101313階零子式階零子式 2. 秩的定義秩的定義 矩陣矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣稱為矩陣A的秩的秩，記為記為r(A) = r或或rank(A) = r 。 說(shuō)明說(shuō)明(1). 0 r( Amn ) min m, n 說(shuō)明說(shuō)明(2). 規(guī)定零矩陣的秩為規(guī)定零矩陣的秩為0，即，即 r(O ) = 0 說(shuō)明說(shuō)明(3). 對(duì)于對(duì)

16、于n階矩陣階矩陣A，有，有nArAA)(0可逆 A為滿秩矩陣為滿秩矩陣 更一般地，更一般地， 如果如果mn 階矩陣階矩陣A滿足滿足 r(A) = m， A為為行滿秩矩陣行滿秩矩陣 r(A) = n， A為為列滿秩矩陣列滿秩矩陣 例例1. 的秩求矩陣174532321A 解：解：在在A中，中，階子式只有一個(gè)的又AA303221，且0A. 2)(Ar 例例2. 見(jiàn)教材見(jiàn)教材P71例例2.18 例例3.00000340005213023012的秩求矩陣B 解解行，其非零行有是一個(gè)行階梯形矩陣，3B.4階子式全為零的所有B, 0400230312而. 3)(BR 注注. 階梯陣的秩等于其階梯數(shù)，即非零行行數(shù)。階梯陣的秩等于其階梯數(shù)，即非零行行數(shù)。 3.