蘇教版高中數(shù)學(xué)選修22推理與證明8課時 2份單元測試

1、第2章推理與證明第1課時合情推理(歸納推理)一、 填空題1. 下列說法下正確的是_(填序號) 由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的； 合情推理必須有前提有結(jié)論； 合情推理不能猜想； 合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤2. 已知數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，an2an11，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的一個表達(dá)式是_3. 數(shù)列5，9，17，33，x，中的x等于_4. 在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，由此猜想凸n邊形有_條對角線. 5. 觀察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此規(guī)律，第n個等式可為_6. 已知2，3

2、，4，類比這些等式，若10(a，b均為正數(shù))，則ab_7. 對大于或等于2的正整數(shù)的冪運算有如下分解方式：2213，32135，421357，；2335，337911，4313151719，.根據(jù)上述分解規(guī)律，若m213511，p3的分解中最小的正整數(shù)是21，則mp_8. 如下圖所示將若干個點擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n1，nN*)個點，相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為an，則_.9. 定義映射f：AB，其中Am，nR，BR.已知對所有的有序正整數(shù)對(m，n)滿足下述條件： f(m，1)1； 若nm，f(m，n)0； f(m1，n)nf(m，n)f(m，n1)則f(2，2)_；f(n

3、，2)_ .10. 已知cos，coscos，coscoscos，根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是_二、 解答題11. 如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，求出第n(n2)行的第2個數(shù)12. 觀察： sin210°cos240°sin10°cos40°； sin27°cos237°sin7°cos37°； sin213°cos243°sin13°cos43°.由此，你能提出一個什么猜想？請嘗試加以證明第2課時合情推理(類比推理)一、 填空題1. 已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比

4、三角形的面積公式S，可以推出扇形的面積公式S扇_2. 已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_3. 若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則_4. 在平面幾何中，有“若ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為SABC(abc)r”拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為_”5. 已知等差數(shù)列中，有 成立類似地，在等比數(shù)列中，有_成立6. 如圖，在平面

5、中ABC的角C的內(nèi)角平分線CE分ABC面積所成的比.將這個結(jié)論類比到空間：如圖，在三棱錐ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且與AB交于E，則類比的結(jié)論為_. 7. 若點P0(x0，y0)在橢圓1(ab0)外，過點P0作該橢圓的兩條切線，切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為1，那么對于雙曲線1(a0，b0)，類似地，得到的結(jié)論為_8. 在平面幾何里有射影定理：設(shè)ABC的兩邊ABAC，點D是點A在BC邊上的射影，則AB2BD·BC.拓展到空間，在四面體ABCD中，DA平面ABC，點O是點A在平面BCD內(nèi)的射影，且點O在平面BCD內(nèi)，類比平面三角形射影定理，ABC，

6、BOC，BDC三者面積之間的關(guān)系為_9. 定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它前一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12 ，公和為5，那么a18的值為_，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為_10. 如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為左焦點，當(dāng)時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_二、 解答題11. 在RtABC中，兩直角邊的長分別為a，b，直角頂點C到斜邊的距離為h，則易證.在四面體SABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，SAa，SBb，SCc，點S到平面A

7、BC的距離為h，類比上述結(jié)論，寫出h與a，b，c之間的等式關(guān)系并證明12. 已知橢圓C：1(ab0)具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時，記為kPN，kPN，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值試對雙曲線C：1寫出具有類似的特性的性質(zhì)，并加以證明第3課時演繹推理一、 填空題1. 推理“矩形是平行四邊形；三角形不是平行四邊形；三角形不是矩形”中的小前提是_(填序號)2. 下面幾種推理是演繹推理的是_(填序號) 兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果A和B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則AB180°； 由平面三角形的性質(zhì)，推

8、測空間四面體的性質(zhì)； 某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班超過50人； 在數(shù)列an中，a11，an(n2)，由此歸納出an的通項公式3. “因為四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對角線相等”，以上推理的大前提是_4. 因?qū)?shù)函數(shù)ylogax是增函數(shù)，而ylogx是對數(shù)函數(shù)，所以ylogx是增函數(shù)”上面推理的錯誤是_5. 將函數(shù)y2x為增函數(shù)的判斷寫成三段論的形式為_6. (大前提)對于a，bR，ab2； (小前提)x2； (結(jié)論)所以x2.以上推理過程中的錯誤為_(填序號)7. 把函數(shù)yx2x1的圖象是一條拋物線恢復(fù)成三段論，則大前提是_；小前提

9、是_；結(jié)論是_8. 甲，乙，丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市由此可判斷乙去過的城市為_9. 下列三句話按三段論的模式排列順序是_(填序號) 2 006能被2整除； 一切偶數(shù)都能被2整除； 2 006是偶數(shù)10. 用演繹法證明函數(shù)y x3是增函數(shù)時的小前提是_(填序號) 增函數(shù)的定義； 函數(shù)y x3滿足增函數(shù)的定義； 若x1x2，則f(x1) f(x2)； 若x1x2，則f(x1) f(x2)二、 解答題11. 設(shè)實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項，求證：2.

10、12. 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，an1Sn(nN)求證：(1) 數(shù)列是等比數(shù)列；(2) Sn14an.第4課時推理案例賞析一、 填空題1. 下面幾種推理是合情推理的是_(填序號) 由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)； 由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°； 教室內(nèi)有一把木椅子壞了，則該教室的所有椅子都壞了； 三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸多邊形內(nèi)角和是(n2)×180°.2. 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且對任意

11、的自然數(shù)n都有(Sn1)2anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn_3. 已知等差數(shù)列an中，a5a1116，a41，則a12_4. 已知等式：(tan5°1)(tan40°1)2，(tan15°1)(tan30°1)2，(tan25°1)(tan20°1)2，據(jù)此可猜想出一個一般性命題是_5. 已知x(0，)，觀察下列各式：x2，x3，x4， xn1(nN*)，則a_6. 已知f(n)1(nN)，計算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，推測當(dāng)n2時有_7. 已知正項等比數(shù)列an滿足：a7a62a5.若存在

12、兩項am，an使得4a1，則的最小值為_8. 已知命題：若數(shù)列an為等差數(shù)列，且ama，anb(mn，m，nN*)，則amn；現(xiàn)已知等比數(shù)列bn(b0，nN*)，bma，bnb(mn，m，nN*)若類比上述結(jié)論，則可得到bmn_9. 如圖所示，圖1有面積關(guān)系，則圖2有體積關(guān)系_.10. 將連續(xù)整數(shù)1，2，25填入如圖所示的5行5列的表格中，使每一行的數(shù)字從左到右都成遞增數(shù)列，則第三列各數(shù)之和的最小值為_，最大值為_. 二、 解答題11. 已知函數(shù)f(x).(1) 分別求f(2) f，f(3) f，f(4) f的值；(2) 歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；(3) 求值：f(1) f(2) f(3

13、) f(2019)fff.12. 設(shè)f(x)3ax22bxc.若abc0，f(0)0，f(1) 0，求證：(1) a0且21；(2) 方程f(x)0在(0，1)內(nèi)有兩個實根第5課時直接證明一、 填空題1. 設(shè)a，b是正實數(shù)，則下列不等式恒成立的是_(填序號) ； a|ab|b； ab2.2. 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上，周期為3的奇函數(shù)若f(1)1，f(2)，則a的取值范圍為_3. 如果不等式|xa|1成立的充分非必要條件是x，則實數(shù)a的取值范圍是_4. 設(shè)0x1，則a，b1x，c中最大的一個是_5. 用分析法證明：欲使 AB，只需 CD，這里是的_條件6. 設(shè)a0，b0，則下面兩式的大小關(guān)系

14、為lg(1)_lg(1a)lg(1b)7分析法又叫執(zhí)果索因法，若使用分析法證明“設(shè)abc，且abc0，求證：a”索的因應(yīng)是_(填序號) ab0； ac0； (ab)(ac)0； (ab)(ac)0.8. 已知點An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點，其中nN*.設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_9. 定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列是等和數(shù)列，a11且公和為4，這個數(shù)列的前19項和S19為_10. 過圓x2y210x內(nèi)一點(5，3)有n條弦，它們的長度

15、成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列的首項a1，最長的弦長為數(shù)列的末項an.若公差d，則n的取值集合為_二、 解答題11. 已知a0，b0，1，求證：.12. 已知函數(shù)f(x)tan x，x.若x1，x2，且x1x2，tan，求證：f(x1)f(x2)f.第6課時間接證明一、 填空題1. 用反證法證明“如果ab，那么”，假設(shè)的內(nèi)容是_2命題“ABC中，若AB，則ab”的結(jié)論的否定為_3用反證法證明命題“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為_4用反證法證明命題“x2(ab)xab0，則xa且xb”時應(yīng)假設(shè)_5用反證法證明命題“已知a，bN，若ab可被5整除，則a，b中至少有一個能被5整除”時，正確

16、的反設(shè)為_6某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個問題：函數(shù)f(x)在0，1上有意義，且f(0)f(1)，如果對于不同的x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求證：|f(x1)f(x2)|.那么他的反設(shè)應(yīng)該是_7已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么關(guān)于c與b的位置關(guān)系，下列說法正確的是_(填序號) 一定是異面直線； 一定是相交直線； 不可能是平行直線；不可能是相交直線8有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”；乙說：“甲、丙都未獲獎”；丙說：“我獲獎了”；丁說：“是乙獲獎了”其中只有兩位歌手的話是對的，則獲獎的歌手是_

17、9用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟： ABC90°90°C180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則AB90°不成立； 所以一個三角形中不能有兩個直角； 假設(shè)A，B，C中有兩個角是直角，不妨設(shè)AB90°.正確的排列順序為_(填序號)10若三個方程x24mx4m30，x2(m1)xm20，x22mx2m0中，至少有一個方程有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是_二、 解答題11. 設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和(1) 求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2) 數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？

18、12. 學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有多少人？第7課時數(shù)學(xué)歸納法(1)一、 填空題1. 已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時，若已知假設(shè)nk(k2)為偶數(shù)時命題為真，則還需用歸納假再證n_時命題為真2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中，nk1時，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將5k12k1變形為_3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1n(nN*，n1

19、)，在第二步證明從nk到nk1時，左邊增加的項數(shù)是_4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，在第二步時，正確的證法是_5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(2n1)(n1)(2n1)時，當(dāng)n1時左邊所得的項是123；從“kk1”需增添的項是_6. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，由k遞推到k1左邊應(yīng)添加的因式是_7. 已知f(n)1(nN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)時，f(2k1)f(2k)_. 8. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時，由 nk 的假設(shè)到證明 nk1 時，等式左邊應(yīng)添加的式子是_9. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(n3)(n

20、n)2n·1·3··(2n1)(nN*)從nk到nk1，左邊需增乘的代數(shù)式為_10. 傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù). 他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列bn可以推測：(1) b2 016是數(shù)列an中的第_項；(2) b2k1_.(用k表示)二、 解答題11. 已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且對一切nN*均滿足an2.求證：(1) anan1；(2) an1.12. 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn2nan(nN*)(1) 計

21、算a1，a2，a3，a4；(2) 猜想通項公式an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明第8課時數(shù)學(xué)歸納法(2)一、 填空題1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明2n1n2n2(nN*)時，第一步應(yīng)驗證：_2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN)第一步應(yīng)驗證n_3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為偶數(shù)時，xnyn能被xy整除”， 第一步應(yīng)驗證n_時，命題成立；第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成_4. 已知12×33×324×33n×3n13n(nab)c對一切nN*都成立，則a，b，c的值分別為_5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1n(n2，nN)時，由nk (k1)不等式成立，推證nk1時，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式

22、的個數(shù)是_6. 已知整數(shù)對的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，則第60個數(shù)對是_7. 設(shè)平面上n個圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)_，f(n)_(n1，nN)8. 圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)為_9. 若對任意nN*，34n2a2n1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a_10. 已知f(n)(2n7)·3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN，都

23、能使m整除f(n)，則最大的m的值為_二、 解答題11. 在數(shù)列an中，已知a120，a230，an13anan1(nN*，n2)(1) 當(dāng)n2，3時，分別求aan1an1的值；(2) 判斷aan1an1(n2)是否為定值，并給出證明12. 若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論. 階段檢測(三)一、 填空題1. 在ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，則有EFBC.這個命題的大前提為_2. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈：，若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，那么在前120個圈中的個數(shù)是_3. 觀察下列等式：11234934567254567891049照此規(guī)律，第n個等

24、式為_4. 觀察下列各式：7249，73343，742 401，則72 015的末兩位數(shù)字為_5. 在ABC中，D為邊BC的中點，則()將上述命題類比到四面體中去，得到一個類比命題：_6. 規(guī)定符號“*”表示一種兩個正實數(shù)之間的運算，即a*bab，則函數(shù)f(x)1*x的值域是_. 7. 有一個奇數(shù)列1，3，5，7，9，現(xiàn)在進行如下分組：第一組：1，第二組：3，5，第三組：7，9，11，第四組：13，15，17，19，現(xiàn)觀察猜想每組內(nèi)各數(shù)之和為an與其組的編號數(shù)n的關(guān)系為_8. 觀察下圖，可推斷出“x”處應(yīng)該填的數(shù)字為_9. 由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則： 由“mnnm”類比

25、得到“a·bb·a”； 由“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)·ca·cb·c”； 由“t0，mtxtmx”類比得到“p0，a·px·pax”； 由“|m·n|m|·|n|”類比得到“|a·b|a|·|b|”以上結(jié)論正確的是_(填序號)10. 如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)，且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，則第10行第3個數(shù)(從左往右數(shù))為_二、 解答題11. 若a，b，c均為實數(shù)，且ax22y，by22z，

26、cz22x，求證：a，b，c中至少有一個大于0.12. 設(shè)正整數(shù)數(shù)列an滿足：a24，且對于任何nN*，有22；(1) 求a1，a3；(2) 求數(shù)列an的通項an. 第2章單元檢測一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 三段論：“ 只有船準(zhǔn)時起航，才能準(zhǔn)時到達(dá)目的港； 這艘船是準(zhǔn)時到達(dá)目的港的， 所以這艘船是準(zhǔn)時起航的”中，小前提是_(填序號)2. 我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大. 將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_. 3. f(n)1(nN)，經(jīng)計算f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32).推測

27、當(dāng)n2時有_4. 已知2，3，4，.若6，請推測a_，b_. 5. 對大于1的自然數(shù)m的奇次冪可用奇數(shù)進行如圖“分裂”，按照這種規(guī)律，若m3的“分裂”中有一個數(shù)是35，則m的值為_6. 已知a(0，)，不等式x2，x3，x4，可推廣為xn1，則a的值為_若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于D上的n個值x1，x2，xn，總滿足f(x1)f(x2)f(xn)f，則稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)現(xiàn)已知f(x)sinx在(0，)上是凸函數(shù)，則ABC中，sinAsinBsinC的最大值是_兩點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin sin()0；三點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin sinsin0.由此可

28、以推知：四點等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為_存在實數(shù)a，b使等式224262(2n)2n(n1)(anb)對任意的正整數(shù)n都成立，則ab_. 將平面向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得下列結(jié)論： a·bb·a； (a·b)·ca·(b·c)； a·(bc)a·ba·c； 由a·ba·c(a0)可得bc.以上通過類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)為_11. 若數(shù)列an的通項公式an(nN)，記f(n)(1a1)(1a2)(1an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)_

29、12. 設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列xn滿足x05，且對任意的自然數(shù)均有xn1f(xn)，則x2 015_x12345f(x)4135213. 觀察：(1) tan5°tan15°tan5°tan70°tan15°tan70°1；(2) tan10°tan25°tan25°tan55°tan10°tan55°1；(3) tan20°tan30°tan20°tan40°tan30°tan40°1.由以上三式成立，推廣

30、得到：tan7°tantan7°tantantan1(其中，為銳角)則_14. 在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式_成立二、 解答題：本大題共6小題，共90分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)已知abc，求證：.16. (本小題滿分14分)如圖所示，在ABC中，射影定理可表示為abcosCccosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想17(本小題滿分15分)(1) 若a1，用分析法

31、證明2；(2) 已知a，b都是正實數(shù)，且ab2.求證：(2a1)(b1)9.18. (本小題滿分15分)已知abc0，abbcca0，abc0.求證：a，b，c0.19(本小題滿分16分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： sin213°cos217°sin13°cos17°； sin215°cos215°sin15°cos15°； sin218°cos212°sin18°cos12°； sin2(18°)cos248°sin

32、(18°)cos48°； sin2(25°)cos255°sin(25°)cos55°.(1) 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2) 根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論. 20. (本小題滿分16分)已知函數(shù)yf(x)對任意實數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1) 求f(0)的值；(2) 若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)(nN*)的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；(3) 若f(1) 1，求證：f0(nN*)選修2-2參考答案第2章推理與證明第1

33、課時合情推理(歸納推理)1. 解析：合情推理的結(jié)論不一定正確，但必須有前提有結(jié)論2. an2n1解析：a22a113，a32a217，a42a3115，利用歸納推理，猜想an2n1.3. 65解析：5221，9231，17241，33251，歸納可得x26165.4. 5. 12223242(1)n1n2(1)n1·解析： 觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，左邊的通項為(1)n1n2.等式右邊的值的符號也是正負(fù)相間，其絕對值分別是1，3，6，10，15，即1，12，123，1234，12345，則第n個等式的右邊的絕對值為，所以第n個等式為12223242(1

34、)n1n2(1)n1·.6. 109解析：觀察下列等式2，3，4，第n個應(yīng)該是(n1)，則第9個等式中：a10，ba2199，故ab109.7. 11解析：由歸納推理可知，m6，p5， mp11.8. 解析：由圖案的點數(shù)可知a23，a36，a49，a512，所以an3n3(n2)，所以，所以1.9. 22n2解析：根據(jù)定義得f(2，2)f(11，2)2f(1，2)f(1，1)2f(1，1)2×12，f(3，2)f(21，2)2f(2，2)f(2，1)2×(21)6232，f(4，2)f(31，2)2f(3，2)f(3，1)2×(61)14242，f(5，

35、2)f(41，2)2f(4，2)f(4，1)2×(141)30252，所以根據(jù)歸納推理可知f(n，2)2n2.10. cos·cos··cos(nN*)解析：從題中所給的幾個等式可知，第n個等式的左邊應(yīng)有n個余弦相等，且分母均為2n1，分子分別為，2，右邊應(yīng)為，故可以猜想出結(jié)論為cos·cos··cos(nN*)11. 解：第n(n2)行的第2個數(shù)為33572(n2)13n22n3.12. 解： 猜想：sin2cos2(30°)sin·cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°

36、;)sin·cos(30°)sin2sinsin2cos2sin2sin2sin2cos2.第2課時合情推理(類比推理)1. lr2. 正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的解析：原問題的解法為等面積法，即Sah3×arrh，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，Vsh4×srrh.3. 解析：平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以.4. V四面體ABCD(S1S2S3S4)r解析：三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長類比為四面體四個面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑二維圖形中類比為三維圖形中的，得V四面體A

37、BCD(S1S2S3S4)r.5. 6. 解析： 此類問題由平面類比空間，應(yīng)該面積類比體積，長度類比面積，由，類比得.7. 切點弦所在的直線的方程為1解析：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，則過點P1，P2的切線的方程分別為1，1.因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，所以1，1.這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直線1上，故切點弦P1P2所在直線的方程為1.8. SSBOC·SBDC9. 3Sn解析： a12，公和為5， a23，a32，a43， 當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn×52n；當(dāng)n為偶數(shù)時，Snn. Sn 10. 解析： 設(shè)雙曲線方

38、程為1(a0，b0)，則F(c，0)，B(0，b)，A(a，0) (c，b)，(a，b) ， ·b2ac0， c2a2ac0， e2e10， e或e(舍去)11. 解：類比得到.證明如下：過S作ABC所在平面的垂線，垂足為O，連結(jié)CO并延長交AB于D，連結(jié)SD. SO平面ABC， SOAB. SCSA，SCSB， SC平面SAB， SCAB，SCSD， AB平面SCD， ABSD.在RtABS中，有；在RtCDS中，有.12. 解：類似性質(zhì)為：若M，N為雙曲線1上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上任一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與

39、點P位置無關(guān)的定值證明如下：設(shè)P(x，y)，M(m，n)，則N(m，n)，其中1，即n2(m2a2)， kPM，kPN.又1，即y2(x2a2)， y2n2(x2m2)， kPM·kPN，故kPMkPN是與點P位置無關(guān)的定值第3課時演繹推理1. 解析：由演繹推理三段論可知，是大前提；是小前提；是結(jié)論2. 3. 矩形都是對角線相等的四邊形4. 大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯5. (大前提)指數(shù)函數(shù)yax(a1)是增函數(shù)；(小前提)y2x是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)；(結(jié)論)所以y2x為增函數(shù)6. 7. 二次函數(shù)的圖象是一條拋物線函數(shù)yx2x1是二次函數(shù)函數(shù)yx2x1的圖象是一條拋物線8. A解析：由題意

40、可推斷：甲沒有去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過A城市9. 解析：是大前提，是小前提，是結(jié)論所以順序是.10. 解析：根據(jù)題意函數(shù)yx3滿足增函數(shù)的定義是證明函數(shù)yx3是增函數(shù)時的小前提11. 證明：由題意知x，y，b2ac，則2， 2.12. 證明：(1) an1Sn1Sn，an1Sn， (n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn. 2·，故是以2為公比的等比數(shù)列(2) 由(1) 可知4·(n2)， Sn14(n1)·4··Sn14an(n2)又a23S

41、13，S2a1a21344a1， 對于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.第4課時 推理案例賞析1. 2. 解析：由(S11)2S，得S1；由(S21)2(S2S1)S2，得S2；由(S31)2(S3S2)S3，得S3.猜想Sn.3. 154. (tan1)tan(45°)125. nn解析：第一個式子是n1的情況，此時a1，第二個式子是n2的情況，此時a22，第三個式子是n3的情況，此時a33，歸納可以知道ann.6. f7. 解析：因為a7a62a5，所以a5q2a5q2a5，即q2q20，解得q2.若存在兩項an，am，有4a1，即aman16a，aqmn216a，即2mn216，

42、所以mn24，mn6，即1.所以，當(dāng)且僅當(dāng)即n24m2，n2m時取等號，此時mn63m，所以m2，n4時取最小值，所以最小值為.8. 解析：等差數(shù)列中的bn和am可以類比等比數(shù)列中的bn和am，等差數(shù)列中的bnam可以類比等比數(shù)列中的，等差數(shù)列中的可以類比等比數(shù)列中的，故bmn.9. 10. 4585解析：因為第3列前面有兩列，共有10個數(shù)分別小于第3列的數(shù)，因此最小為369121545.因為第3列后面有兩列，共有10個數(shù)分別大于第3列的數(shù)，因此最大為232017141185.11. 解：(1) f(x)， f(2) f1，同理可得f(3) f1，f(4) f1.(2) 由(1) 猜想f(x)

43、f1，證明如下：f(x)f1.(3) 由(2) 可得，原式f(1) f(1) 20192019.12. 證明：(1) 因為f(0)0，f(1) 0，所以c0，3a2bc0.因為abc0，消去b得ac0；再由條件abc0，消去c得ab0且2ab0，所以21.(2) 因為拋物線f(x)3ax22bxc的頂點坐標(biāo)為，又21，所以.因為f(0)0，f(1) 0，而f0，所以方程f(x)0在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根，故方程f(x)0在(0，1)內(nèi)有兩個實根第5課時直接證明1. 解析：當(dāng)ab時， 不成立 a，b為正數(shù)， ab|ab|，成立ab22，故成立2. (，1)(0，)解析：由題意得f(2)f(13)f

44、(1)1， f(2)1即1， 0，即3a(a1)0， a1或a0.3. a解析：|xa|1a1xa1.由題意知(a1，a1)，則有(且等號不同時成立)，解得a.4. c解析： bc(1x)0， bc.又b1xa， abc.5. 必要解析：分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立，即，所以是的必要條件6. 解析： (1)2(1a)(1b)12ab1abab2(ab)()20， (1)2(1a)(1b)， lg(1)lg(1a)lg(1b)7. 解析：要證a，只需證b2ac3a2，只需證b2a(ba)3a2，只需證2a2abb20.只需證(2ab)(ab)0，只需證(ac)(ab)0.故索的因應(yīng)為

45、.8. cn1cn解析：由條件得cnanbnn， cn隨n的增大而減小 cn1cn.9. 3710. 5，6，7解析：方程x2y210x表示以(5，0)為圓心，5為半徑的圓，過圓內(nèi)一點(5，3)的弦中，最長弦為直徑10，最短弦為8，設(shè)ana1(n1)d，則108(n1)d，則n1，d，故n的范圍是5，7因為nN*，所以n5，6，711. 證明：要證明成立，只需證1a，只需證(1a)(1b)1(1b0)，即1baab1， abab，只需證1即1.由已知a0，1成立， 成立12. 證明：要證明f(x1)f(x2)f，即證明(tan x1tan x2)tan ，只需證明tan ，只需證明.由于x1、

46、x2，故x1x2(0，)所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0，1cos(x1x2)0，故只需證明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即證1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即證cos(x1x2)1.由x1，x2，x1x2知上式是顯然成立的因此，f(x1)f(x2)f.第6課時間接證明1. 2. ab解析：“ab”的否定應(yīng)為“ab或ab”，即ab.3. a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)4. xa或xb5. a，b都不能被5整除6. x1，x20，1，使得|f(x1)f(x2)|x1x2|，則|f(x1)f(x2)|7. 8

47、. 丙9. 解析： 由反證法證明的步驟知，先反證即，再推出矛盾即，最后作出判斷，肯定結(jié)論即，即順序應(yīng)為.10. m1或m解析：假設(shè)三個方程都無實數(shù)根，得116m24(4m3)0，解之得m；2(m1)24m20，解之得m或m1；34m28m0，解之得2m0.從而得m1，故至少有一個方程有實數(shù)根的m的取值范圍是m1或m.11. (1) 證明： 假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1·a1·(1qq2)因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2) 解：當(dāng)q1時，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時，Sn不是等差數(shù)

48、列，否則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾綜上，當(dāng)q1時，數(shù)列Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時，Sn不是等差數(shù)列12. 解：假設(shè)A、B兩位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一樣，由題意知他們語文成績不一樣，這樣他們的語文成績總有人比另一個人高，語文成績較高的學(xué)生比另一個學(xué)生“成績好”，與已知條件“他們之中沒有一個比另一個成績好”相矛盾因此，沒有任意兩位學(xué)生數(shù)學(xué)成績是相同的因為數(shù)學(xué)成績只有3種，因而學(xué)生數(shù)量最大為3，即 3位學(xué)生的成績分別為(優(yōu)秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，優(yōu)秀)時滿足條件第7課時數(shù)學(xué)歸納法(1)1. k2解析：nk(k2為偶數(shù))的下一個偶數(shù)為k2.2. 5(5k2k)3×2k解析：假設(shè)nk時命題成立，即5k2k被3整除當(dāng)nk1時，5k12k15×5k2×2k5(5k2k)5×2k2×2k5(5k2k)3×2k.3. 3·2k解析：項數(shù)為(2k11)(2k1)2k項4. 假設(shè)n2k1時正確，再推出n2k1時正確5. (2k2)(2k3)6. 解析：f(k1)f(k)().7. 8. (k1)2k2解析：分析等式變化規(guī)律可知左邊實際增加的是(k1)2k2.9. 2(2k1)解析：nk時，左邊(k1)(k2)(kk)；nk1時，左邊(k2)(k3)(k1k1)