實變函數(shù)論試題及答案_第1頁
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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實變函數(shù)論測試題1、證明 。證明：設(shè)，則，使一切，所以,則可知。設(shè)，則有,使，所以。 因此，=。2、設(shè)。求在內(nèi)的，。 解：， ， 。3、若，對，存在開集, 使得且滿足 ，證明是可測集。證明：對任何正整數(shù)， 由條件存在開集，使得。令,則是可測集，又因，對一切正整數(shù)成立，因而=0，即是一零測度集，故可測。由知可測。證畢。4、試構(gòu)造一個閉的疏朗的集合，。解：在中去掉一個長度為的開區(qū)間，接下來在剩下的兩個閉區(qū)間分別對稱挖掉長度為的兩個開區(qū)間，以此類推，一般進行到第次時，一共去掉個各自長度為的開區(qū)間，剩下的個閉區(qū)間，如此重復下去，這樣就可以得到一個閉的疏朗集，去掉的部分的測度為

2、。所以最后所得集合的測度為，即。5、設(shè)在上，且?guī)缀跆幪幊闪ⅲ? 則有a.e.收斂于。證明 因為，則存在，使在上a.e.收斂到。設(shè)是不收斂到的點集。，則。因此。在上，收斂到， 且是單調(diào)的。因此收斂到（單調(diào)序列的子列收斂，則序列本身收斂到同一極限）。即除去一個零集外，收斂于，就是 a.e. 收斂到。6、設(shè),是上有限的可測函數(shù)。證明存在定義于上的一列連續(xù)函數(shù)，使得 于。證明： 因為在上可測，由魯津定理，對任何正整數(shù),存在的可測子集，使得，同時存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，使得當時有=。 所以對任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得 a.e于. 證畢。7、設(shè)為a.e有限可測函數(shù)列，證明：的充要條件是。證明：若0，由于,則。又，,常函數(shù)1在上可積分，由勒貝格控制收斂定理得。反之，若（），而且，對，令,由于函數(shù),當時是嚴格增加函數(shù)，因此。 所以，即。8、試求 。解 令，則為非負連續(xù)函數(shù)，從而非負可積。根據(jù)積分逐項積分定理，于是，。9、設(shè)，a.e.有限的可測函數(shù)列和，分別依測度收斂于和，證明 。證明：因為于是，成立，所以即1

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