西城二模北京市西城區(qū)2013屆高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)

1、北京市西城區(qū)2013年高三二模試卷 高三數(shù)學(xué)（理科） 2013.5第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知全集，集合，那么（A）（B）（C）（D）2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，則（A）（B）（C）（D）3在極坐標(biāo)系中，圓心為，且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程是（A）（B）（C）（D）4如圖所示的程序框圖表示求算式“” 之值， 則判斷框內(nèi)可以填入 （A）（B）（C）（D）5設(shè)，則（A） （B）（C）（D）6對(duì)于直線，和平面，使成立的一個(gè)充分條件是（A），（B），（C），（D），7已知正六邊形的邊長(zhǎng)是，一條拋物線恰

2、好經(jīng)過(guò)該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（A）（B）（C）（D）8已知函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9右圖是甲，乙兩組各名同學(xué)身高（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖記甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，則 _ （填入：“”，“”，或“”）10的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是_（用數(shù)字作答） 11在中，則_；的面積是_12如圖，是半圓的直徑，在的延長(zhǎng)線上，與半圓相切于點(diǎn)，若，則_13在等差數(shù)列中，則_；設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和_ 14已知正數(shù)滿足，則的取值范圍是_三

3、、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分13分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)，且將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)記（）若，求；（）分別過(guò)作軸的垂線，垂足依次為記 的面積為，的面積為若，求角的值16（本小題滿分13分）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)，凡在該超市購(gòu)物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到白球或

4、黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì)（）求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；（）記為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望17（本小題滿分14分）如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示 （）證明：平面； （）證明：平面； （）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由 18（本小題滿分13分）如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；（）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍19（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中（）若，求曲線在點(diǎn)處的切

5、線方程；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值20（本小題滿分13分）已知集合是正整數(shù)的一個(gè)排列，函數(shù) 對(duì)于，定義：，稱(chēng)為的滿意指數(shù)排列為排列的生成列；排列為排列的母列（）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出排列的生成列及排列的母列；（）證明：若和為中兩個(gè)不同排列，則它們的生成列也不同；（）對(duì)于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個(gè)新的排列證明：一定可以經(jīng)過(guò)有限次變換將排列變換為各項(xiàng)滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)的排列北京市西城區(qū)2013年高三二模試卷 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2013.5一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1C； 2B； 3A； 4C； 5

6、D； 6C； 7B； 8B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9； 10； 11，；12； 13，； 14注：11、13題第一空2分，第二空3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15（本小題滿分13分） （）解：由三角函數(shù)定義，得 ， 2分 因?yàn)?， 所以 3分 所以 5分（）解：依題意得 ， 所以 ， 7分 9分 依題意得 ， 整理得 11分因?yàn)?， 所以 ，所以 ， 即 13分16（本小題滿分13分）（）解：設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件， 1分則 ，故1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率為 4分（）解：隨機(jī)變量的

7、所有取值為 5分， ， ， 10分所以，隨機(jī)變量的分布列為: 11分 13分17（本小題滿分14分）【方法一】（）證明：由俯視圖可得，所以 1分又因?yàn)?平面，所以 ， 3分所以 平面 4分（）證明：取上一點(diǎn)，使，連結(jié)， 5分由左視圖知 ，所以 ，6分在中，易得，所以 又 ， 所以， 又因?yàn)?，所以 ，所以四邊形為平行四邊形，所以 8分因?yàn)?平面，平面， 所以 直線平面 9分（）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為證明如下：10分因?yàn)?平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系所以 設(shè) ，其中 11分所以，要使與所成角的余弦值為，則有 ，12分所以 ，解得 或，均適合13分故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處

8、，此時(shí)，有與所成角的余弦值為 14分 【方法二】（）證明：因?yàn)槠矫?，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 在中，易得，所以 ，因?yàn)?， 所以， 由俯視圖和左視圖可得：所以 ，因?yàn)?，所以 2分又因?yàn)?平面，所以 ， 3分所以 平面 4分（）證明：設(shè)平面的法向量為，則有 因?yàn)?，所以 取，得 6分 因?yàn)?，所以 8分因?yàn)?平面， 所以 直線平面 9分（）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為證明如下：10分設(shè) ，其中 11分所以 ，要使與所成角的余弦值為，則有 ，12分所以 ，解得或，均適合 13分故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，有與所成角的余弦值為 14分18（本小題滿分13分）（）解：依題意，是

9、線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋?所以 點(diǎn)的坐標(biāo)為2分由點(diǎn)在橢圓上， 所以 ， 4分解得 5分（）解：設(shè)，則 ，且 6分因?yàn)?是線段的中點(diǎn)，所以 7分因?yàn)?，所以 8分由 ， 消去，整理得 10分所以 ， 12分當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式等號(hào)成立 所以 的取值范圍是 13分19.（本小題滿分14分）（）解：的定義域?yàn)椋?且 2分當(dāng)時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ，即 4分（）解：方程的判別式為（）當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是；最大值是 6分（）當(dāng)時(shí)，令，得 ，或 和的情況如下： 故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為8分 當(dāng)時(shí)，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是；最大值是 10分 當(dāng)時(shí)，此

10、時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是 11分 因?yàn)?， 所以 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是 12分 當(dāng)時(shí)，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值是；最大值是14分綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是20.（本小題滿分13分）（）解：當(dāng)時(shí)，排列的生成列為； 2分排列的母列為 3分（）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個(gè)不同的項(xiàng)為與，即：，顯然 ，下面證明： 5分由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比大的項(xiàng)的個(gè)數(shù)由于排列的前項(xiàng)各不相同，設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而同理，設(shè)排列中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而因?yàn)?與是個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且，所以 ， 從而 所以排列和的生成列也不同 8分（）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個(gè)滿意