空間向量的坐標運算PPT課件

1、2021/3/912021/3/921空間向量的坐標運算空間向量的坐標運算 設(shè)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)2021/3/932空間兩點間的距離公式空間兩點間的距離公式設(shè)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則，則AB ，|AB|(x2x1，y2y1，z2z1)2021/3/943.若若A、B兩點的坐標分別是兩點的坐標分別是A(2cos，2sin，1)， B(3cos，3sin，1)，則，則| |的取值范圍是的取值范圍是 () A.0,5 B.1,5 C.(1,5) D.1,25解析：解析： (3cos2cos，3sin2sin，0)，1cos()1，| |1,5

2、.答案：答案：B2021/3/95A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向線段所在的有向線段所在直線垂直于平面直線垂直于平面 ，則稱這個向量，則稱這個向量垂直于垂直于平平面面 ,記作記作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 給定一點給定一點A和一個向量和一個向量 ,那么那么過點過點A,以向量以向量 為法向量的平面是為法向量的平面是完全確定的完全確定的.n n 幾點注意：幾點注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都一個平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法

3、向量，向是平面的法向量，向量量 是與平面平行或在平面是與平面平行或在平面內(nèi)，則有內(nèi)，則有0n m n m n l2021/3/96垂直關(guān)系：垂直關(guān)系：2021/3/97例例2 已知平面已知平面 經(jīng)過三點經(jīng)過三點A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),試求平面試求平面 的一個法向量的一個法向量. 解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)設(shè)平面設(shè)平面 的法向量是的法向量是依題意依題意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,則則x=2平面平面 的一個法向量是的一個法向量是 (1, 2, 4),(2, 4, 3)ABAC ( , , )

4、nx y z 00n ABn AC 且且2402430 xyzxyz (2,1,0)n 2021/3/98問題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標兩個不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,) 3(bnanzyx方程組的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(2021/3/992021/3/910問題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標兩個不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,) 3(bnanzyx方程組的

5、關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(2021/3/911(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法向量。nxyz解：設(shè)平面的法向量為（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 則，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的單位法向量為， ，）2021/3/9122021/3/913直直線線l與與平平面面 所所成成的的角角為為( (02 ) ), ,sina ua u ； 六、夾角：六、夾角

6、：2021/3/914例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解： (1)以點A為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1),0 , 1 , 0(11CB)0 , 1 , 1 (),1 , 0 , 1 (1ACAB設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)33C001 ACnABn,則故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為3331010111111,cosCBnCBnCBn2

7、021/3/915 如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO平面平面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求求: :異面直線異面直線SA和和OB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； OS與平面與平面SAB所成角所成角的正弦值；的正弦值；A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示xyzC（0，1，0）；510252OBSAOBSAOBSA,cos).1 (所

8、以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為5102021/3/916020zxyx取x=1，則y=1，z=2；故)2 , 1 , 1 (n（2）設(shè)平面SAB的法向量),(zyxn 顯然有0, 0SAnABn36612,cossinnOSnOSnOS2021/3/917ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如圖建立坐標系A(chǔ)-xyz,則(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量設(shè)平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在長方體在

9、長方體 中，中，ADANM求與平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 為上的一點,且1NAD點 在線段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB2021/3/918ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM與平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在長方體在長方體 中，中，ADANM求與平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 為上的一點,且1NAD點 在線段上，15,AN

10、, 61AA, 8, 6ADAB2021/3/919例二：題型二：線面角題型二：線面角在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA112,為上的一點,且MBCB M1點 在線段上，NAD1.ADAN1.(1)求證：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), AD（2）求與平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD AD2 55與平面所成角的正弦值是ADANM2 552021/3/920例例2090 ,Rt ABCBCAABC中，現(xiàn)將沿著111ABCABC平面的法向量平移到位置

11、，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中點、 ，11BDAF求與所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F2021/3/921xyz解：以點解：以點C C為坐標原點建立空間直角坐標系為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè) 則：則： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 與 所成角的余弦值為1BD1AF30102021/3

12、/9225.正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，直線中，直線BC1與平面與平面A1BD所成所成角的余弦值為角的余弦值為.解析：解析：如圖，建立直角坐如圖，建立直角坐標系，設(shè)正方體棱長為標系，設(shè)正方體棱長為1，則則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， (1,0,1)， (1,1,0)， (1,0,1).設(shè)設(shè)n(x，y，z)為平面為平面A1BD的法向量的法向量2021/3/923則則 取取n(1，1，1)，設(shè)直線設(shè)直線BC1與平面與平面A1BD所成角為所成角為，則則sin|cosn， | .cos .答案：答案：2021/3/924【鞏固練習鞏固練習】

13、1 三棱錐三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E為為PC中點中點 ,則則PA與與BE所成角所成角的余弦值為的余弦值為_ . 2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 則則AC1與截面與截面BB1CC1所成所成角的余弦值為角的余弦值為_ . 090BAC090BAC6631 01 02021/3/9252021/3/926 如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐PABCD中，中，PC平面平面ABCD，PC2，在四邊，在四邊形形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，點，點M在在PB上，上，PB4PM，PB與平面與平面ABCD成成30的角的角.

14、(1)求證：求證：CM平面平面PAD；(2)求證：平面求證：平面PAB平面平面PAD.2021/3/927思路點撥思路點撥2021/3/928課堂筆記課堂筆記以以C為坐標原點，為坐標原點，CB為為x軸，軸，CD為為y軸，軸，CP為為z軸建立如圖所示軸建立如圖所示的空間直角坐標系的空間直角坐標系Cxyz.PC平面平面ABCD，PBC為為PB與平面與平面ABCD所成的角，所成的角，PBC30.PC2，BC2 ，PB4.2021/3/929D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)，P(0,0,2)，M( ，0， )， (0，1,2)， (2 ，3,0)， ( ，0， )，2021/3

15、/930(1)令令n(x，y，z)為平面為平面PAD的一個法向量，則的一個法向量，則令令y2，得，得n( ，2,1).n 201 0，n ，又，又CM 平面平面PAD，CM平面平面PAD.2021/3/931(2)取取AP的中點的中點E，則則E( ，2,1)， ( ，2,1).PBAB，BEPA.又又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，2021/3/932 ，BEDA，又，又PADAA.BE平面平面PAD，又又BE平面平面PAB，平面平面PAB平面平面PAD.2021/3/933小結(jié)：小結(jié)：1.異面直線所成角： coscos, CD AB|2.直線與平面所成角： sincos, n AB|AB

16、CD1DABOn2021/3/9341.若異面直線若異面直線l1和和l2的方向向量分別為的方向向量分別為v1和和v2，它們所，它們所 成的角為成的角為，則，則cos|cosv1，v2|.2.利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有 兩種辦法：兩種辦法：2021/3/935分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量， 轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角或其補角)；通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與 平面的法向量所夾的銳角

17、，取其余角就是斜線和平平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平 面所成的角面所成的角.2021/3/936lamb，的夾角為的夾角為 ml,|cosbaba lamb 2021/3/937 ula，的的夾夾角角為為 , l|)2cos(uaua ula sina ua u 2021/3/9385.如圖，在棱長為如圖，在棱長為1的正方體的正方體ABCD A1B1C1D1中，中，M和和N分別是分別是A1B1和和BB1 的中點，那么直線的中點，那么直線AM與與CN所成角的所成角的 余弦值為余弦值為.2021/3/939解析：解析：建立如圖所示的坐標系，建立如圖所示的坐標系，則則A(1,0,0)，

18、M(1， ，1)，C(0,1,0)，N(1,1， ，)則則 (0， ，1)， (1,0， ).cos . 直線直線AM與與CN所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .答案：答案：2021/3/940 (2009全國卷全國卷)如圖，如圖，直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABAC，D、E分別為分別為AA1、B1C的中的中點，點，DE平面平面BCC1.(1)證明：證明：ABAC；(2)設(shè)二面角設(shè)二面角ABDC為為60，求，求B1C與平面與平面BCD所成的角所成的角的大小的大小.2021/3/941思路點撥思路點撥2021/3/942課堂筆記課堂筆記(1)證明：以證明：以A為坐標為坐標原點，原點

19、，AB為為x軸，軸，AC為為y軸，軸，AA1為為z軸軸.建立如圖所示的直角坐標建立如圖所示的直角坐標系系A(chǔ)xyz.2021/3/943設(shè)設(shè)B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，則，則B1(1,0,2c)，E( ， ，c).于是于是 ( ， ，0)， (1，b,0).由由DE平面平面BCC1知知DEBC， 0，求得求得b1，所以所以ABAC.2021/3/944(2)設(shè)平面設(shè)平面BCD的法向量的法向量 (x，y，z)，則則 0， 0.又又 (1,1,0)， (1,0，c)，故，故令令x1，則，則y1，z ， (1,1， ).又平面又平面ABD的法向量的法向量 (0,1,0).20

20、21/3/945由二面角由二面角ABDC為為60知，知， 60，故故 cos60，求得，求得c .于是于是 (1,1， )， (1，1， )，Cos ， 60.所以所以B1C與平面與平面BCD所成的角為所成的角為30.2021/3/946解：解：由本例由本例(2)知，知， (1,1， )，又又B(1,0,0)，A1(0,0， )， (1,0， ). 1 1，又又| |2，| | ，cos 異面直線異面直線B1C與與BA1所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .在本例在本例(2)的條件下，能否求出異面直線的條件下，能否求出異面直線B1C與與BA1所成角的余弦值所成角的余弦值.2021/3/94720

21、21/3/948A. B. C. D.練習在棱長為練習在棱長為a的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M是是AA1的中點，則點的中點，則點A1到平面到平面MBD的距離是的距離是 ()2021/3/949解析：解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0， a)，A1(a，0，a)DB(a，a,0)，DM(a,0， a)，A1M(0,0， a)設(shè)平面設(shè)平面MBD的法向量的法向量n(x，y，z)，則，則2021/3/950 令令x1，得，得n(1，1，2)，A1到平面到平面MBD的距離的距離答案：答案： A2021/

22、3/951 利用向量法求點面距，其步驟如下：利用向量法求點面距，其步驟如下：1求出該平面的一個法向量；求出該平面的一個法向量；2找出過該點的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；找出過該點的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；3求出法向量與斜線段所對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值再除求出法向量與斜線段所對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值再除 以法向量的模，即可求出點到平面的距離，如圖以法向量的模，即可求出點到平面的距離，如圖2021/3/952點點P到平面到平面的距離的距離2021/3/953 (2009茂名模擬茂名模擬)如圖所示，在四面體如圖所示，在四面體ABCD中，中，O、E分別是分別是BD、BC的中點，的中點，CACB

23、CDBD2，ABAD (1)求證：求證：AO平面平面BCD；(2)求異面直線求異面直線AB與與CD所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)求點求點E到平面到平面ACD的距離的距離2021/3/954思路點撥思路點撥2021/3/955課堂筆記課堂筆記(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)OC，BODO，ABAD，AOBD.BODO，BCCD，COBD.在在AOC中，由已知可得中，由已知可得AO1，CO而而AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即，即AOOC.BDOCO，AO平面平面BCD.2021/3/956(2)以以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系，則為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，

24、D(1,0,0)，C(0， ，0)，A(0,0,1)，E( ， ，0)，異面直線異面直線AB與與CD所成角的所成角的余弦值為余弦值為=(-1，0，1)2021/3/957(3)設(shè)平面設(shè)平面ACD的法向量為的法向量為n(x，y，z)，則，則令令y1，得，得n( ，1， )是平面是平面ACD的一個法向量的一個法向量又又EC( ，0)，點點E到平面到平面ACD的距離的距離h2021/3/9582021/3/959 利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的論利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的論證、空間中各種角的求解問題，以代數(shù)運算代替復(fù)證、空間中各種角的求解問題，以代數(shù)運算代替復(fù)雜的空間的想象，給解決立

25、體幾何問題帶來了鮮活雜的空間的想象，給解決立體幾何問題帶來了鮮活的方法另外，空間向量還可以用來解決許多探索的方法另外，空間向量還可以用來解決許多探索性問題，這類問題具有一定的思維深度，更能考查性問題，這類問題具有一定的思維深度，更能考查學生的能力，因此其已成為高考命題的熱點題型學生的能力，因此其已成為高考命題的熱點題型2021/3/960 考題印證考題印證 (2009福建高考福建高考)如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD是邊長為是邊長為1的正方形，的正方形，MD平平面面ABCD，NB平面平面ABCD，且，且MDNB1，E為為BC的中點的中點 (1)求異面直線求異面直線NE與與AM所成角的余弦值；所

26、成角的余弦值； (2)在線段在線段AN上是否存在點上是否存在點S，使得，使得ES平面平面AMN？若存？若存在，求線段在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由的長；若不存在，請說明理由2021/3/961【解解】(1)如圖，以如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標為坐標原點，建立空間直角坐標系系Dxyz.依題意，易得依題意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0)(2分分)2021/3/962所以異面直線所以異面直線NE與與AM所成角的余弦值為所成角的余弦值為 (6分分)=(-1,0,1) (3分分)(5分分)2021/3/963(2)假設(shè)在線段假設(shè)在線段AN上存在點上存在點S，使得，使得ES平面平面AMN.AN(0,1,1)，可設(shè)，可設(shè)ASAN(0，)，又又EA( ，1,0)， ，1，)(8分分)2021/3/964由由ES平面平面AMN，得，得即即 (9分分)故故 ，此時，此時AS(0， )，|AS| (10分分)經(jīng)檢驗，當經(jīng)檢驗，當AS 時，時，ES平面平面AMN.(11分分)故線段故線段AN上存在點上存在點S，使得，使得