角平分線（一）教學(xué)設(shè)計

1、第一章 證明（二）角平分線（一） 河南省鄭州八中 劉正峰一、學(xué)生知識狀況分析本節(jié)在學(xué)習(xí)了直角三角形全等的判定定理及已有公理和學(xué)過的定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì)和判定定理及相關(guān)結(jié)論.學(xué)生已探索過角平分線的性質(zhì)，而此處在學(xué)生回憶的基礎(chǔ)上，嘗試著證明它，學(xué)習(xí)角平分線的畫法，并還能說明所作的射線是角平分線的理由，進(jìn)一步討論三角形三個內(nèi)角平分線的性質(zhì)二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1知識目標(biāo)：角平分線的性質(zhì)定理的證明角平分線的判定定理的證明用尺規(guī)作已知角的角平分線2能力目標(biāo)：進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力，培養(yǎng)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言、圖形語言的能力 體驗解決問題策略的多樣性，提高實

2、踐能力3情感與價值觀要求 能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心4教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)角平分線的性質(zhì)和判定定理的證明用尺規(guī)作已知角的角平分線并說明理由難點(diǎn)正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題正確地將文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言和圖形語言，對幾何命題加以證明三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了五個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境 溫故知新；第二環(huán)節(jié)：展示思維空間.構(gòu)建活動空間；第三環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí) 及時鞏固；第四環(huán)節(jié)：課時小結(jié)；第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境 溫故知新搭建探究平臺問題我們曾用折紙的方法探索過角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，步驟如下：從折紙過程

3、中，我們可以得出CD=CE，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等你能證明它嗎?第二環(huán)節(jié)：展示思維空間.構(gòu)建活動空間請同學(xué)們自己嘗試著證明它，然后在全班進(jìn)行交流已知：如圖，OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別為D、E求證：PD=PE證明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90°，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)(教師在教學(xué)過程中對有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo))我們用公理和已學(xué)過的定理證明了我們折紙過程中得出的結(jié)論我們把它叫做角平分線的性質(zhì)定理，我們再來一起陳述：(用多媒體演示)角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等我們經(jīng)常用逆向思維得到一

4、個原命題的逆命題你能寫出這個定理的逆命題嗎?我們在前面學(xué)習(xí)線段的垂直平分線時，已經(jīng)歷過構(gòu)造其逆命題的過程，我們可以類比著構(gòu)造角平分線性質(zhì)定理的逆命題如果有一個點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個點(diǎn)必在這個角的平分線上此時有學(xué)生提問：“我覺得這個命題是假命題角平分線是角內(nèi)部的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)”教師肯定這位同學(xué)思考問題很仔細(xì)并加以解釋。事實上，從同一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線一般組成兩個角，而“角的內(nèi)部”通常是指其中小于180°的角的內(nèi)部，其余部分為角的外部如上圖所示，到AOB兩邊距離相等的點(diǎn)的集合應(yīng)是射線OC、OD、OE、OF，但其中只有射線OC(即在AOB內(nèi)部的射線)才

5、是AOB的平分線因此逆命題中應(yīng)加上“在角的內(nèi)部”的條件再來完整地敘述一下角平分線性質(zhì)定理的逆命題。在一個角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的角平分線上它是真命題嗎? 你能證明它嗎?生沒有加“在角的內(nèi)部”時，是假命題 (由大家自己獨(dú)立思考完成，在全班討論交流，對困難學(xué)生可個別輔導(dǎo))證明如下：已知：在么AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，且PD上OA，PEOB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點(diǎn)P在么AOB的角平分線上證明：PDOA，PEOB，PDO= PEO=90°在RtODP和RtOEP中OP=OP，PD=PE，RtODP RtOEP(HL定理)1=2(全等三角形對應(yīng)角相等)逆命題利用公理和

6、我們已證過的定理證明了，那么我們就可以把這個逆命題叫做原定理的逆定理我們就把它叫做角平分線的判定定理。你能用什么辦法平分一個已知角呢?能利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理平分一個角嗎？請在小組內(nèi)交流學(xué)生提出：可以用量角器、三角尺、角尺等以前常見的方法教師提出：學(xué)習(xí)的是用直尺和圓規(guī)平分一個已知角已知：AOB(如圖)求作：射線OC，使AOC=BOC作法：1、在OA和OB上分別分別截取OD、OE，使OD=OE2分別以D、E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在么AoB內(nèi)交于點(diǎn)C3作射線OCOC就是AOB的平分線(教學(xué)時，教師可以邊介紹作法，邊讓學(xué)生動手完成整個操作過程)完成做法后，請學(xué)生說明OC為什

7、么是AOB的平分線，與同伴交流從作圖的過程中，不難發(fā)現(xiàn)OD=OE，CE=CD，OC=OC，OCECOCD(SSS)1=2，即OC是AOB的角平分線第三環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí) 及時鞏固 如圖，AD、AE分別是ABC中A的內(nèi)角平分線和外角平分線，它們有什么關(guān)系？解：AD平分CAB又1=2=CAB又AE平分CAFCAB+CAF=180°，3=4= CAFCAB+CAF=180°1+3= （CAB+CAF）=×180°=90°，即ADAE第四環(huán)節(jié)：課時小結(jié)這節(jié)課我們在折紙的基礎(chǔ)上，證明了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并學(xué)習(xí)了用尺規(guī)作一個已知角的角平分線，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)1習(xí)題18第1，2，3題2閱讀“讀一讀”，使學(xué)生通過了解數(shù)學(xué)發(fā)展史上與尺規(guī)作圖有關(guān)的“三大幾何難題”，開闊他們的視野，體會數(shù)學(xué)家堅忍不拔的科學(xué)探索精神四、教學(xué)反思教學(xué)時，主要運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)，采用實驗猜想驗證”的課堂教學(xué)方法，適時啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生展開討論，充分發(fā)揮學(xué)生的主體參與意識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維方法與習(xí)慣學(xué)生初學(xué)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，容易將角平分線上的一點(diǎn)到這個角兩邊的距離誤認(rèn)為過這點(diǎn)垂直于角平分線的垂線段因此在教學(xué)中應(yīng)首先讓學(xué)生通過畫三角