選修2-1知識(shí)復(fù)習(xí)2

1、【本講教育信息】。 教學(xué)內(nèi)容： 選修2- 1知識(shí)復(fù)習(xí)（二）lo教學(xué)目的通過(guò)對(duì)選修2-1各章節(jié)重點(diǎn)知識(shí)分析及例題講解，加強(qiáng)對(duì)本冊(cè)知識(shí)的掌握。三.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)問(wèn)題專題講解 四。知識(shí)分析（八）拋物線拋物線是平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1（ F二I）距離相等的點(diǎn)的軌跡。拋物線部分的重點(diǎn)是拋物線的定義及相關(guān)概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。難點(diǎn)是利用拋物線的定義解題，求拋物線的方程以及拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用。下面通過(guò)幾例來(lái)體驗(yàn)一下如何突破拋物線的重難點(diǎn)。例1o如圖所示，AB為拋物線-"上的動(dòng)弦，且 -丨:（a為常數(shù)且），則弦AB 的中點(diǎn)M與x軸的最小距離為. JzL二衛(wèi)一二AT B*分析

2、：將M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為 A, B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為 A , B兩點(diǎn)到焦 點(diǎn)的距離，從而利用定義解題 .解：設(shè)A, M, B點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為V ,且A, M, B三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為.。由拋物線的定義知：|AF|=| AA'|= yi 十 £ =巧十右I BF|=|BB'|= y咅 + 與=y咅十 +71 HAF|-L y3 HBFI-1所以_一 又M是線段AB的中點(diǎn), 卩廠;（為*巾） 所以-l（|AF|+|BF|-lj>1_ 2丄等號(hào)在定長(zhǎng)為a的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)成立，此時(shí) M點(diǎn)與x軸的距離最小，最小值為 1a -（ 2）°點(diǎn)評(píng)：

3、本題運(yùn)用了拋物線的定義，并注意挖掘題目中隱含的幾何條件（三角形的性質(zhì)），使解題過(guò)程簡(jiǎn)明快捷。另外，拋物線-過(guò)焦點(diǎn)的弦的最小長(zhǎng)度為 1故1 -的條件保證 了 AB過(guò)焦點(diǎn)，即本題的最小值可以取到。例2。已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且拋物線上一點(diǎn)（一3, m）到焦點(diǎn)的距 離為5,求拋物線的方程。分析：應(yīng)分焦點(diǎn)在y軸正半軸和負(fù)半軸兩種情況考慮，利用拋物線的定義，結(jié)合待定系數(shù)求拋物線方程。解：若焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，則可設(shè)方程為-'準(zhǔn)線方程為'm - （-） = 5所以9TL =r或一22耳3_所以所以".解得p=1或一。所以拋物線方程為ISy若焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，

4、則可設(shè)方程為：八丁 'PP <v_ 7了-m = 準(zhǔn)線方程為一 ,所以9m 又因?yàn)?，所以。所?一'.解得p=1或p=9 所以拋物線方程為或'6。例3.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線' T上異于坐標(biāo)原點(diǎn) 0的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn) A , B 滿足A0丄B0,如圖所示.（1）求厶AOB的重心G （即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；,找該點(diǎn)與A （''）,B（八）（2） AOB的面積是否存在最小值 ？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的常規(guī)方法，的關(guān)系，再求軌跡方程求面積的最小值經(jīng)常與二次函數(shù)以及均值不等式聯(lián)系在一起。

5、解：（1）設(shè)厶AOB的重心為G （x, y）,點(diǎn)A （ - ）, B （二 匚），則因?yàn)锳O丄BO ,即:-又點(diǎn)A，B在拋物線上，所以八'_ 5 '代入化簡(jiǎn)得由得：；-：所以-= yKKi + x2）2 -2xLx2 = 3xa + |y - 3x2 + -即重心G的軌跡方程為一二。|0B|（2）-土屆十y；）（云十擄；=熬;丸；+好必卜卅+ y薔;由（1）得y=3xa因?yàn)?2+ 3所以了，且當(dāng)x=0時(shí),f+34所以故厶AOB的面積存在最小值，最小值為 點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡問(wèn)題、最值問(wèn)題 識(shí)解題的能力，應(yīng)注意代入法的使用。1。,同時(shí)考查了同學(xué)們推理運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知（九）直線

6、與圓錐曲線直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，也是近年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。只要是考查圓錐曲線問(wèn)題，一般都是與直線結(jié)合因此我們?cè)鷮?shí)地掌握基礎(chǔ)，熟練地掌握各種技能是必須的。本文對(duì)這一小塊內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，希望會(huì)對(duì)你有所幫助。一、重點(diǎn)再現(xiàn)直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解思路通常有兩條：其一是借助方程，將直線I的方程與圓錐曲線C的方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的方程二-二：-（當(dāng)然,也可以消去x得到關(guān) 于y的方程），通過(guò)分析方程產(chǎn)生結(jié)論；其二是數(shù)形結(jié)合，由于拋物線及雙曲線的特殊性，有時(shí)借助于數(shù)形結(jié)合可能會(huì)更直觀、更方便我們知道當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或與雙曲線的漸近線平行時(shí)，都只有一個(gè)交點(diǎn)，但此時(shí)并非相切。

7、二、難點(diǎn)回顧由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以涉及直線與圓錐曲線的所有基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能 又可以與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)進(jìn)行交匯，因而它是解析幾何的難點(diǎn)之一。、典例解析例1.求過(guò)點(diǎn)P( 2, 1)且被點(diǎn)P平分的橢圓':-的弦所在直線的方程 解法一：設(shè)所求直線方程為-'y- 12)則宀2護(hù)仝消去y，并整理得：(1 + 2k2)K3 + 4k(l- 2k)x + 2(4ka - 4k - 3) - 04kgk-l)_/1由 _ u 得卜 。于是所求直線方程為:-解法二：設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為：與(')，+ 2yj =8 r , sz? += S則由L 3 兒可得：+ x1) +

8、 2(yi-y1Xya + y1) = 0ys Yi _(疋2十宜_所以：二：二'二于是所求直線方程為v評(píng)析：直線與圓錐曲線相交，出現(xiàn)“中點(diǎn)弦”問(wèn)題的常規(guī)處理方法有兩種：(1) 通過(guò)方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解;(2) 點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)，禾U用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解。例2。已知直線二丄一 2與雙曲線宀一 ：關(guān)于A，B兩點(diǎn)。(1)若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(2)若A，B在雙曲線的兩支上，求實(shí)數(shù)a的值；a的范圍?？傻?由于直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)， 因此，可得：A=(-2a)3 -4(3-a3>(-2)>0<a（1）設(shè) A （* 1

9、） , B （， -）,乞空=-1則：|二即：宀亠 1 :+ ：-：二也就是I ' 'T 一 1：1（a3 + I）+ a -笙-+1 = 0所以'解得1”（2）若A , B在雙曲線的兩支上，則 nJ-2 co即于是可得 _ '-： ' - "- O評(píng)析：涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，常常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，消元后，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，這是常用的方法，本題就是利用這個(gè)解題方法進(jìn)行求解的。例3.過(guò)點(diǎn)（一2, 0）的直線I與拋物線' 交于A、B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)的軌跡方程。 解

10、：易知直線I的斜率一定存在，設(shè)直線 I的方程為''；+設(shè)A （*-）, B（* J ） ,AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y），則'：' oFi = x?于是阮=對(duì)相減得：二二；-:-1 -那么一一由于丄Z：. -I所以”一即y = k（x 十 T）又由，得：- kx- 2k = 0由-4xt-2k）>0 得.k> 0 或'-o 又 k=2x ,所以x>0或x一 4y = 2嵐* + 4琵（遼 ><-41因此軌跡方程為評(píng)析：整體運(yùn)算是一種運(yùn)算策略，它通過(guò)整體推理、整體代換等手段有效地繞過(guò)許多中間環(huán)節(jié)使運(yùn)算直指結(jié)論.它既可優(yōu)化解題過(guò)程

11、又可給我們帶來(lái)一種賞心悅目的享受，本題借 助整體運(yùn)算產(chǎn)生中點(diǎn)軌跡方程，其過(guò)程既簡(jiǎn)練又運(yùn)算簡(jiǎn)單。好了，說(shuō)了這么多，你看后有收獲嗎？若有，別忘了把它推薦給你的同學(xué)，讓你們共同提高?。。ㄊ┛臻g向量及其運(yùn)算一、知識(shí)要點(diǎn)JL丄丄1L111。 空間任意兩向量J =共線的充要條件是存在惟一實(shí)數(shù)，使，一廠。注：I與任一向量共線。21 Ji1112。 空間中與不共線向量共面的充要條件是存在惟一一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使- ： 1 'T'"。該定理的推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在惟一一對(duì)有序?qū)崝?shù)x,y,鼻>4使MP= xMA+ y MB 或?qū)臻g一點(diǎn) 0有OP = O皿

12、斗觸y臥B。注：空間任意兩向量必共面a l 1k3. 如果不共面，那么對(duì)空間任一向量'，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x，y, z,使J.JLJ.1.p = Ka-pyb +EC 。注：空間上四個(gè)點(diǎn)共面的充要條件為：若存在實(shí)數(shù)x，y，乙使得對(duì)于空間任意一點(diǎn)O,有，且成立，則P,A，B，C四點(diǎn)共面。4. 空間向量的數(shù)量積及向量平行或垂直的坐標(biāo)表示。X1設(shè)：=（二，八匸），= （r '-），則有：11 XIX Ia - b =| a | b I cos < 乩b >= ajbj 4-a2b2 +a3b3a-! Xbtr r ra/b（b h 0） u> 代=Ab2囪上a l

13、b tta b = 0a1b1 + a.-sb2 + 込 = 0】、典例精析例1.已知非零向量LL URU1 '不共線，如果t Li un t tr imAR = ftj AC= 2右求證：A，B, C，D共面.S'>分析：要證A,B,C，D共面，只須證 丄 U 共面，即找到惟一一對(duì)實(shí)數(shù) x，y， 使血E =玄點(diǎn)C+ yAD證明：觀察易得：> »u w ir uuAC+AD = 2巳+ 呂+ （% Se?）u uu T=亍（址-+e2） = 5 ABT 1 1 TAB = -AC+ - AD即，.所以-共面，即A，B，C，D共面。點(diǎn)評(píng)：要證四點(diǎn)共面，可證從

14、同一點(diǎn)出發(fā)的三向量共面，此時(shí)應(yīng)注意待定系數(shù)法的使用例2。如下圖，已知ABCD 射影恰好是正方形的中心為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD內(nèi)的 y的值。3-(1) I I :丨 I I '1 ；(2) P直三xPO+yPQ+ PDx ,分析：要求x，y的值，實(shí)際上是求如何用一 一示一.來(lái)表T T T 1 T TQ =P0：= PQ- - (PA4- F©(1)T T=PQ-lPC-APA2 21M 3(2)因?yàn)? -，-3 孑-孑又 PC+PD=2PQ 所以 PU = 2PQPD所以T T T=2 P0- 2 PQ+ PD3s=掘 PC4- y PQ+ PD所

15、以解:所以所以-1 -> T5-點(diǎn)評(píng)：空間任一向量都可以用基底惟一表示，所以將 用基底系數(shù)是惟一的。解題中應(yīng)多注意結(jié)合圖形使用加法、減法、數(shù)乘等運(yùn)算法則例 3.已知空間三點(diǎn) A (-2, 0, 2) , B (- 1 , 1, 2) ,C( 3, 0, 4),r r,、幾 |c|二+匚(1)設(shè)1，求一；(2)求；丄丄L1(3)若心'"與"互相垂直，求k。r解：(1)因?yàn)槎?=(2, 1,2)且-'-,表示，其f' r$設(shè) J-.所以設(shè)c = ABC=(-21f-Zl2X)所以 J J II解得丄一所以(2)1 = ( 2,-T -> J

16、=( 1 ,cos < 弘b >=所以1, 2)或=(2, 1, 2)。r ->1, o), i -=( 1, 0,lbH |b|2)_ (LLD)-_ 麗V2xV5 市1 J因?yàn)?I "L- 丁 ,<a,b >= 7i-arccos所以"i(3) 易知一一ka-2b = (L+2: k,-4)又，- '. I11XX所以' ' I丨門 二即 - '' - 1 ' :-'- I-.解得1: -二或 -。點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用夾角公式求解時(shí)，應(yīng)注意角的范圍。通過(guò)列方程、解方程解決問(wèn)題，這種 思路在解決

17、空間向量問(wèn)題時(shí)應(yīng)用十分廣泛。（一）空間向量在立體幾何中的應(yīng)用由于向量具有“形（幾何形式 ）神（坐標(biāo)形式）兼?zhèn)洹钡奶卣?，且向量以及向量平行?垂直的充要條件都具有坐標(biāo)表示形式和幾何表示形式，加之向量的數(shù)量積不僅是一個(gè)實(shí)數(shù)， 而且與向量夾角的余弦值緊密相關(guān)，這使得它成為溝通數(shù)學(xué)各個(gè)分支，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間橫向聯(lián)系的橋梁和紐帶。 從近幾年全國(guó)及單獨(dú)命題的省、市高考題中可知， 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用是高考必考內(nèi)容 解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，“平移是手段，垂直是關(guān)鍵”，向量的運(yùn) 算中，兩向量的共線易解決平行問(wèn)題，向量的數(shù)量積則易解決垂直、兩向量所成角及線段的長(zhǎng)度等問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體

18、幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，應(yīng) 該說(shuō)不僅降低了學(xué)習(xí)的難度 ，而且增強(qiáng)了可操作性，為我們提供了嶄新的視角，豐富了思維 結(jié)構(gòu)。專題一：向量與平行關(guān)系例1.已知正方體 = 的棱長(zhǎng)為1, E，F(xiàn), G分別為AB，AD ,的中點(diǎn)，求證：平面EFG/平面"1 "。證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則 A （1, 0, 0）, B1,1）, ' （ 0,0, 1）.1于是得E （1，丄,0）UB設(shè)：一 一 :量.（1, 1,0），C（ 0，1,0），D（ 0，0,0）, f （1，0，1），（ 1,丄£,F （匚,0, 0） ,G（1, 0, 一）.nD為平面EFG的

19、法向量,（:宀）為平面匕1- :的法向LUU（1， 1， 1 ）。rui ttij EF= 0tn >rij- EG = 0取-可得:UJ1 LUU由:一，得平面UU. 3LBS Tna BjC = 0ucLna BiDi = 0*-=（1， 1， 1），EFG/平面'I .評(píng)注：設(shè)'，分別為平面a , B的法向量，要證aUUL4O',滿足 4 二/ B,只需證明：存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)本題也可轉(zhuǎn)化為由線線平行證面面平行，即用向量證明 明平面EFG/平面L I - .T T T，從而證專題二：向量與垂直關(guān)系例2.如圖所示，在正方體點(diǎn)，求證:平面丄亠平面ABCD1中,O為

20、AC與BD的交點(diǎn)，G為 】的中GBD。17cFCA分析：要證明平面GBD中的兩條相交直線即可，而從圖中觀察，證>r >r > rA-iBt = AiD, = b> Ai A = c證明：設(shè)11 11111L 1則 T "-15-A1Q = A1A+AO= AlA+ -（AB4- AD） 而二L-平面 GBD ,只要證明平面內(nèi)的一條直線"_垂直于平面，r r r二 c+(a+b)T T T T FBD = AD AB = b a$ 孑 i m 了 i ?G = OC+ CG = - (ABh- AD) = - CC32 21 r r i r=(a-l-

21、 b) c2 2楓必前V茜+護(hù)1 - - 0V)QG = 1(?=0所以'1又 BDi OG=O所以-平面GBD而平面"上-所以平面八°亠丄平面GBD。11JL 丄評(píng)注：向量垂直于向量的充要條件是'=0。據(jù)此可以證明直線與直線垂直 ，進(jìn)而 還可證明直線與平面垂直及兩個(gè)平面垂直。在證明一對(duì)向量垂直時(shí)， 往往用一組基底先表示這一對(duì)向量，再考慮它們的數(shù)量積是否為零。專題三：空間向量與空間角1. 求異面直線所成的角。例3。在長(zhǎng)方體ABCD -1-中，已知DA=DC=4，】，求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。4, 0)1= (-4, 0, 3)解：如

22、圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA，DC，DDi所在直線為x軸、y軸、z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz。則 Ai（4，0，3），B （4A R于是 1 = （ 0， 4，一 3）， 設(shè)"與二的夾角為B，次心誓聖丄lAiBHBiCI 25的夾角大小為?arcciiG一25。9 AH n r*3IC COS _故異面直線二與-丄所成角的大小為.- O評(píng)注：以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積來(lái)求異面直線所成的角，思路自然，靈活簡(jiǎn)便。2。求直線與平面所成的角。（略）3. 求二面角.例4.在直三棱柱 ABC = - J：中，AB=BC，D，E分別為 卜 1 ,一的中點(diǎn)。若

23、9;r，求二面角-.的大小。解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz，其中原點(diǎn)0為AC的中點(diǎn).不妨設(shè) A( 1，0，0),貝U B( 0，1,0), C( 1 , 0, 0) , J (1, 0, 2) o 于是卜=(1, 1, 0),匕 = ( 1,1, 0) ,_J= = (0, 0,2)o> >T >所以 BC-AB =0 ,BC-AA1 =0所以BC丄AB, BC丄AA1又AB- 二 =A，所以BC丄平面 A1AD又 E (0, 0, 1), D (0, 1, 1)T尹>所以匸 (1,0, 1)，亠- (1, 0, 1),二1 =(0, 1,0)3 5- 3-

24、易知II ,二匸，所以EC丄AE , EC丄ED.又，所以EC丄面oT TCO S因?yàn)門VEG BC>=EC- BC 1 _2|EC|BC|所以上-；和上-的夾角為60故二面角'，的大小為60 °。專題四：空間向量與空間距離例5.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4, E,F分別是AB , AD的中點(diǎn)，PC丄面ABCD , PC=2，求 點(diǎn)B到平面PEF的距離。解：如圖所示，分別以 CB , CD,CP所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系 Cxyz ,由已知，則有 P (0,0, 2), E (4, 2, 0), F (2, 4, 0), B(4, 0, 0)。 所以

25、9;=(4, 2, - 2),= ( 2, 2, 0)。設(shè)平面PEF的法向量為二=(1,y, z),r ->n PE = 01"'，所以| = (1， 1, 3)11r n -EF = 0 十曰，可得：又- =(0, 2, 0)，所以點(diǎn)B到平面PEF的距離為：T1，即；的法向量：上的射影長(zhǎng)。評(píng)注：求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟為：先確定平面a的法向量r ,點(diǎn)P是平面a內(nèi)任意一點(diǎn)，那么點(diǎn) Po到平面a的距離【模擬試題】1。已知空間四邊形 三二'，連結(jié)丄，設(shè)玄丄 分別是 m 的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下L4LU UUU- UUL1:(1) 土*I r 廠.1 ；mr i uum um

26、rAG- (AB + AC)(3)-。AC列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量VIM 1 ULU UUJAB S + 3C)(2) - ；2.已知平行四邊形 ABCD,從平面 外一點(diǎn)KAJULUUMLB UkUOE=kQA,OF=JcOBTOG=kOCI0=kOD。(1)求證：四點(diǎn)一八'.1一：共面；平面S： o(2)平面平面'引向量.3如圖正方體人中，"、*求與山所成角的余4. 已知空間三點(diǎn)” A(0, 2, 3), B (- 2, 1 , 6), C( 1 ,- 1, 5)。求以向量J-1為一組鄰邊的平行四邊形的面積S;若向量l;分別與向量上匚,垂直，且2 |=.匚，求