概率論大題附答案

1、第一章隨機(jī)事件及其概率假設(shè)一批100件商品中有4件不合格品.抽樣驗(yàn)收時從中隨機(jī)抽取4件，假如都為合格品，則接收這批產(chǎn)品，否則拒收，求這批產(chǎn)品被拒收的概率p.解 以 表示隨意抽取的4件中不合格品的件數(shù)，則p P 1 1 P 0 1C4手 1 0.8472 0.1528.C4100從0,1,2,。等11個數(shù)中隨機(jī)取出三個，求下列事件的概率：A1=三個數(shù)最大的是 5; A2=三個數(shù)大于、等于和小于 5的各一個; A3 =三個數(shù)兩個大于5, 一個小于7.解 從11個數(shù)中隨機(jī)取出三個， 總共有C：1 165種不同取法，即總共有C；1個基本事件，其中有利于 A1的 取法有C5 10種（三個數(shù)最大的是 5,

2、在小于5的5個數(shù)中隨意取兩個有 C2 10種不同取法）；有利于八2的取法有5X 5=20種（在小于5的5個數(shù)中隨意取一個， 在大于5的5個數(shù)中隨意取一個，有5X5=25種不同取法）；有利于A3的取法有5X C5 70種（在小于5的5個數(shù)中隨意取一個，在大于 5的5個數(shù)中隨意取兩個）.于是，最后得P(A1)101650.&&, P(A1) -25- 0.&&, P(A)1651501650.&&.考慮一元二次方程x2 Bx C 0,其中B, C分別是將一枚色子接連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).（1）求方程無實(shí)根的概率，（2）求方程有兩個不同實(shí)根的概率解 顯

3、然，系數(shù)B和C各有1,2,3,4,5,6 等6個可能值；將一枚色子接連擲兩次， 總共有36個基本事件.考 慮方程的判別式 B2 4c .事件無實(shí)根和有兩個不同實(shí)根，等價(jià)于事件0和0.下表給由對稱性知0和0等價(jià)，因此.易見，方程無實(shí)根的概率和有兩個不同實(shí)根的概率17360.47.已知概率 P(A) p,P(B) q,P(AB)r .分別求下列各事件的概率:A B, AB,出了事件0和0所含基本事件的個數(shù).B1 2 3 4 5 6(0）含基本事件數(shù)0 0 2 3 6 617A B , AB , A（A B）.解由事件運(yùn)算的性質(zhì)，易見P(AB) 1 P(AB) 1 r,P(A B) P(AB) 1

4、r,P(A B) 1 P(AB) 1 p q r,P(AB) P(A B) 1 p q r,P(AA B) P(AAB) P(A) p.假設(shè)箱中有一個球，只知道不是白球就是紅球.現(xiàn)在將一個白球放進(jìn)箱中，然后從箱中隨機(jī)取出一個球,結(jié)果是白球.求箱中原來是白球的概率解 引進(jìn)事件：A 取出的是白球, Hi 箱中原來是白球, H2 箱中原來是紅球,則Hi,H2構(gòu)成完 全事件組，并且 P(H1) P(H2) 0.5 ,由條件知P(A|H1) 1, P(A|H2) 0.5 .由貝葉斯公式，有P(Hi |A)P(Hi)P(A|Hi)2P(Hi)P(A|Hi) P(H2)P(A|E) 3假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀

5、器，以概率可以直接出廠；以概率需進(jìn)一步進(jìn)行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試以概率可以出廠，以概率定為不合格品不能出廠.現(xiàn)在該廠在生產(chǎn)條件穩(wěn)定的情況下，新生產(chǎn)了20臺儀器.求最后 20臺儀器 (1)都能出廠的概率；(2)至少兩臺不能出廠的概率解 這里認(rèn)為儀器的質(zhì)量狀況是相互獨(dú)立的.設(shè)Hi =儀器需要調(diào)試, H2=儀器不需要調(diào)試, A=儀器可以出廠.由條件知P(H1) 0.30, P(H2) 0.70,P(A|H1) 0.80, P(A|H2) 1.(1) 10臺儀器都能出廠的概率0 P(A) P(H1)P(A|H1) P(H2)P(A|H2)0.30 0.80 0.70 0.94;10 0.9410 0.5386.

6、(2)記 一一10臺中不能出廠的臺數(shù)，即10次伯努利試驗(yàn)“成功(不能出廠)”的次數(shù).由(1)知成功的概率為p=.易見，10臺中至少兩臺不能出廠的概率P 2 1 P 0 P 14 10- 9-1 0.9410 0.94 0.06 0.1175.設(shè)A, B是任意二事件，證明： 若事件A和B獨(dú)立且A B,則P(A) 0或P(B) 1；(2)若事件A和B獨(dú)立且不相容，則 A和B中必有一個是0概率事件.證明(1)由于A B,可見P(AB) P(A)P(B), P(AB) P(A), P(A) P(A)P(B).因此，若 P(A) 0,則 P(B) 1 ;若 P(B) 0, P(A) 0.(2)對于事件A

7、和B,由于它們相互獨(dú)立而且不相容，可見P(A)P(B) P(AB) 0,因此，概率P(A)和P(B)至少有一個等于 0.補(bǔ)充：第二節(jié)事件的關(guān)系和運(yùn)算1 .設(shè)A, B, C是三個隨機(jī)事件，用事件A, B, C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件: A, B , C三個都發(fā)生； A發(fā)生而B, C都不發(fā)生； A, B都發(fā)生,C不發(fā)生； A, B , C恰有一個發(fā)生； A, B, C恰有兩個發(fā)生； A, B, C至少有一個發(fā)生;A, B , C都不發(fā)生.解：(1) ABC (2) ABC(3) ABC(4) ABC ABC ABC(5) ABC ABC ABC (6) ABC ABC第三節(jié)事件的概率1 . P A

8、0.4, P B 0.3, P A B 0.6，求 P AB , P 7B , P IB , P AB解：由 P(A B) P(A) P(B) P(AB)知，P(AB) P(A) P(B) P(A B) 0.4 0.3 0.6 =P(AB) 1 P(AB) 1 0.1 0.9P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 0.6 0.4P(AB) P(A) P(AB) 0.4 0.1 0.32 . P A 0.7, P A B 0.3，求 P AB .解：由 P A B P A P AB ,得 P A B P A P ABP(AB) P(A) P(A B) 0.7 0.3 0.4,P(AB)

9、1 P(AB) 1 0.4 0.63 .已知 P A 0.9, P B0.8,試證 P AB 0.7.解：由 P(A B) P(A) P(B) P(AB)知，P(AB) P(A) P(B) P(A B) 0.9 0.8 1 0.7. 5 . - - 口一 人士小 廠11.4 .設(shè) A,B,C 是二個事件，且 P(A) P(B) P(C) -, P(AB) P(BC) 0, P(AC) 一，求 A,B,C 至少有48個發(fā)生的概率.解：由條件 P(AB) P(BC) 0,知 P(ABC) 0,P(A B C) P(A)P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)5 .設(shè)A,

10、 B是兩事件，且P A 0.6, P B 0.7，問在什么條件下,P AB取到最大值，最大值是多少?在什么條件下,P AB取到最小值，最小值是多少?解：由 P(A B) P(A) P(B) P(AB)知，P(AB) P(A) P(B) P(A B)又因?yàn)?P(A) P(A B), P(B) P(A B),所以 max P(A), P B P(A B), 所以 0.7 P(A B) 1 ,所以 0.3 P(AB) 0.6.第四節(jié) 條件概率及與其有關(guān)的三個基本公式1 .設(shè)有對某種疾病的一種化驗(yàn)，患該病的人中有90%呈陽性反應(yīng)，而未患該病的人中有 5%呈陽性反應(yīng),設(shè)人群中有1%的人患這種疾病，若某病

11、人做這種化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)，則他患有這種疾病的概率是多少？解：設(shè)A 某疾病患者, A 非某疾病患者, B 檢查結(jié)果為陽性.依條件得，B A A ，且 P(A) 0.01, P(A) 0.99, P(B| A) 0.9 P(B | A) 0.05所以P ABP ABP BP AP BAP AP BA PAP BA0.01 0.90.01 0.9 0.99 0.050.15第五節(jié)事件的獨(dú)立性和獨(dú)立試驗(yàn)1 .設(shè)有n個元件分別依串聯(lián)、 并聯(lián)兩種情形組成系統(tǒng)I和II ,已知每個元件正常工作的概率為p ,分別求系統(tǒng)I、II的可靠性(系統(tǒng)正常工作的概率)解：A 系統(tǒng)I正常工作, B 系統(tǒng)II正常工作, B 系統(tǒng)

12、II不正常工作G 每個元件正常工作, i 1,2,L,n,且P(Ci) p,c- 每個元件都不正常工作, p(C5 1 p由條件知，每個元件正常是相互獨(dú)立的，故P(A) P(CiC2L Cn) P(Ci)P(C2)L P(Cn) pn,P(Ci) 1 p, P(B) P(CiC2L Cn) P(G)P(C2)L P(Cn) (1 p)nP(B) 1 P(B) 1 (1 p)n2 .設(shè)有六個相同的元件，如下圖所示那樣安置在線路中，設(shè)每個元件通達(dá)的概率為p ,求這個裝置通達(dá)的概率.假定各個元件通達(dá)、不通達(dá)是相互獨(dú)立的.解：設(shè)A 第i條線路通達(dá), i 1,2,3, A 代表這個裝置通達(dá),A 第i條線

13、路不通達(dá), i 1,2,3, A 代表這個裝置不通達(dá),22由條件知，P(A) p , P(A) 1 p ,2 3P(A) 1 P(A) 1 P(AiA2 A3) 1 (1 p )第二章隨機(jī)變量及其分布口袋中有7個白毛3, 3個黑球，每次從中任取一球且不再放回.(1)求4次抽球出現(xiàn)黑球次數(shù)X的概率分布；(2)抽球直到首次出現(xiàn)白球?yàn)橹?，求抽球次?shù)Y的概率分布.解(1)隨機(jī)變量X有4個可能值0,1,2,3 ,若以腐口 B分別表示白球和黑球，則試驗(yàn)“4次抽球”相當(dāng)于“含7個 忡口 3個B”的總體的4次不放回抽樣，其基本事件總數(shù)為C40 210 ,其中有利于X k(k 0,1,2,3)的基本事件個數(shù)為：

14、C3c7 k ,因此PXkc3c74c4。(k0,123),01230123X 351056371131210210210210621030(2)隨機(jī)變量Y顯然有1,2,3,4等4個可能值；以 W3DBk分別表示第k(k 1,2,3,4)次抽到白球和黑球，則“不放回抽球直到首次出現(xiàn)白球?yàn)橹埂毕喈?dāng)于“自含 7個白球3個黑球的總體的4次不放回抽樣”：10 98 7120.易見PY1784PY 23 7281012010 9120PY33277PY 43 2 17110910 9 87 1208 120其基本事件總數(shù)成1234Y 842871120 120 120 120設(shè)X服從泊松分布，且已知 P

15、X 1 PX 2,求PX 4.解 以X表示隨意抽取的一頁上印刷錯誤的個數(shù)，以 Xk(k 1,2,3,4)表示隨意抽取的第 k頁上印刷錯誤的個數(shù)，由條件知 X和Xk(k 1,2,3,4)服從同一泊松分布，未知分布參數(shù)決定于條件:2PX 1 PX 2, e 矛.是 =2.由于隨機(jī)變量 Xk(k 1,2,3,4)顯然相互獨(dú)立，因此P X =4=0.0902242 2 2e =-e4!3設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間2對上的均勻分布，求對 X進(jìn)彳T 3次獨(dú)立觀測中，至少有 2次的觀測值大于3的 概率 .解 設(shè)Y3次獨(dú)立試驗(yàn)事件 A X 3出現(xiàn)的次數(shù)，則Y服從參數(shù)為(3, p)的二項(xiàng)分布，其中p 2/3.因此P(

16、B) PY 2 PY 3 3P2(1p) p38272027設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N(3,4),且滿足 PX C PX C和PX C 2PX C,分別求常數(shù)1解(1)由X C與X C為對立事件，又PX C PX C得 PX C 1所以C=3(2) 由題意可知PX C2 C 3-=()所以反查表可得 C 3.8832設(shè)隨機(jī)變量X服從1,2上的均勻分布，求隨機(jī)變量 Y的分布律，其中若若若1O 1Y0,0, 0.解 由于X服從1,2上的均勻分布，知隨機(jī)變量Y的概率分布為PY 1 PX 0 P 1 XPY 1 PX 0-1Y 13補(bǔ)充：、1，、，、0 PY0PX00,3、 2P0 X 2 2;12

17、 3第二節(jié)離散隨機(jī)變量1 .從學(xué)校乘公交車到火車站的途中有三個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并1且概率都為1,設(shè)X遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及至多遇到一次紅燈的概率。4解：由條件知，隨機(jī)變量 X的分布列如下:X0123P2727916464646454設(shè)A 至多遇到一次紅燈，則P(A) P(X 0) P(X 1) 2 .設(shè)每分鐘通過交叉路口的汽車流量X服從泊松分布，且已知在一分鐘內(nèi)無車輛通過與恰好有一輛車通過總概率相同，求在一分鐘內(nèi)至少有兩輛車通過的概率。解：A=在一分鐘內(nèi)至少有兩輛車通過, A 在一分鐘內(nèi)至多有一輛車通過k由條件知，P(X K) q,k 0,1

18、,2,L,l，且 P(X 0) P(X 1), k!0即 一e一e ，求出， 1故：P(X 0) e 1 , P(X 1) e1,0!1!P(A) P(X 0) P(X 1) 2e 62(2x2 U(x)70(2)事件“ X大于Y ”的概率P(A) 1 P(A) 1 2e13 .計(jì)算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號的芯片，次品率達(dá)0.1%,各芯片成為次品相對獨(dú)立， 求在1000只產(chǎn)品中至少有2只次品的概率。以 X記產(chǎn)品中的次品數(shù)。解：設(shè) A 在1000只產(chǎn)品中至少有2只次品 , A 在1000只產(chǎn)品中至多有1只次品,B=生產(chǎn)的產(chǎn)品是次品, B=生產(chǎn)的產(chǎn)品不是次品由條件知，P(B) 0.001, P(

19、B) 0.999, P( B) 0.999P(A) P(X 0) P(X 1) C10000(1 0.001)1000 C；0000.001(1 0.001)999(1 0.001)1000 (1 0.001)9991000999 rP(A) 1 (1 0.001)(1 0.001)第三章 隨機(jī)向量及其概率分布設(shè)隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合密度為6 x2 xy ,若 0 x 1,0 y 2,f(x, y) 72、0,若不然.x 0, y 0,則試求X的概率密度f1(x)；(2)試求事件“ X大于Y ”的概率PX Y;解(1) 易見，當(dāng)x (0,1)時f1(x)=0；對于0f1 (x) f (x, y

20、)dy1,有2 xyx 一2dyx)x),若 01,PX Y f (x, y)dxdyx y1dx0dy1x3dx01556設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度為2e 2x y,若 x 0, y 0,f(x,y)0 ，右x 0 或 y 0.求隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)和概率 PX 1,Y 1.時 F(x,y) 0 ；設(shè)解 設(shè)F(x,y) PX x,Y y是X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).當(dāng)x 0或y 0x yF(x, y) 2 q q e 2ue Vdudv (1 e 2x)(1 e y).于是其解為2, k 3.F(x, y)P X 1,Y 1(1 e 2x)(1 e y),若x 0, y 0,0 ，若x 0

21、 或 y 0.f(x,y)dxdy 1 2e2xdx e ydyx 1,y 1設(shè)G是曲線y x2和直線y 4所圍成的封閉區(qū)域，而隨機(jī)向量(X,Y)在區(qū)域G上均勻分布，求X和Y的概率密度f1(xDf2(y).解設(shè)G是y x和y x2所圍區(qū)域，其面積 Sg為2-2、16Sg(4-x)dx一，03因此X和Y的聯(lián)合概率密度為3一 、一，右(xy) G,f(x,y) 160,若(x,y) G.4 332(1) X 的密度 對于 x 。2), f1 (x)2 dy (4-x2);x 1616于是f1(x)(4 x2),若 0 x 2. 160,其他.(2) Y的密度對于0于是f2(y)y 43%160f2

22、(y)若。y 4.,其他.y 33 -dx y.0 1616補(bǔ)充：第一節(jié) 二元隨機(jī)向量及其分布1 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為：F(x,y) A(B arctanx)(C arctan y),求常數(shù)A,B,C. x , y ,解：由條件知，F(xiàn)( ,)1, F(x, ) 0, F( ,y) 0,即：A(B2)(C 2) 1A(Barctanx)(C )求出，AA(B)(C arctan y)2.設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為y x,，求x和y的邊緣密度函數(shù)。解：設(shè)fx(x, y)為f(x,y )關(guān)于x的邊緣密度函數(shù)，fy(x,y)為f(x,y)為關(guān)于y的邊緣密度函數(shù)，且,fx(x)f

23、(x,y)dy, fY(y)f(x,y)dx當(dāng) 0 x 1 時，fx(x)：6dy 6(x x2),x當(dāng) x 0,x 1 時，fx (x) 0當(dāng) 0 y 1 時，fY(y) ，6dx 6(77 y)當(dāng) y 0, y 1 時，fY(y) 0第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為kx ,若 0 x 1,f(x) 0 ,其他.已知EX 0.75,求未知常數(shù)k與的值.解由題設(shè)知EX1 1 , xf (x)dx okx dxkx20.75,另一方面，由于1,1f (x)dx 0 kx dx于是，得關(guān)于k與的方程組0.75,1,設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，求 E(3X 2).解 熟知，

24、參數(shù)為2的泊松分布的數(shù)學(xué)期望 EX 2,故E(3X 2) 3EX 2 3 2 2 4.求EX ,已知隨機(jī)變量 X具有概率密度為x,若 0 x 1,f(x) 2 x,若1 x 2,0,其他.解由數(shù)學(xué)期望的定義，知EXxf (x)dx1 24x dxo221 x(2 x)dx1.1設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度如下,2(x 1),若1 x 2f(x) 0，其他.求Z 1/X的數(shù)學(xué)期望.解 由隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，知EZlnx22 In 2.21zf(x)dx -2(x 1)dx 2x1 x設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立，且 X1服從區(qū)間(0,6)上的均勻分布，而 X2 N(0,22), X3付出參

25、數(shù) 為3的泊松分布，試求 Y X1 2X2 3X3的方差.解由條件知DX1 3,DX2 4,DX3 3,而由方差的性質(zhì)可得DY D(X1 2X2 3X3) DX1 4DX2 9DX33 4 4 9 3 46.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且 XN(1,2) Y N(01),試求隨機(jī)變量Z 2X Y 3的數(shù)學(xué)期望、 方差以及概率密度.解 由條件知，X N(1,2),Y N(0,1).從而由期望和方差的性質(zhì)得EZ 2EX EY 3 5, DZ 4DX DY 9.由于Z是X和Y的線性函數(shù)，且 X ,Y是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，故Z也為正態(tài)隨機(jī)變量，而正態(tài)分布完全決定于其期望和方差，因此Z N(5,9),

26、于是，Z的概率密度為1(z 5)2fZ(z)0( z).3j2冗已知隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度x y,若0 x 1,0 y 1,f(x,y)。，若不然.求 EX, EY, DX , DY, EXY,cov(X , Y), XY 解(1)求 EX, EY, DX, DY oEXxf (x,y)dxdy0xdx 0(x y)dydx7,12EX2x2 f (x, y)dxdy1 2x01dx 0(x y)dy12x0dx5 .，12DXEX2(EX)25127_1211144由對稱性，有EY12,DY11144(2)求 EXY,cov(X, Y),EXYxyf(x,y)dxdy1xdx010y(

27、x y)dydx1一；3cov(X,Y)EXY17EX EY -3 12 cov(X,Y) 1 144XYDX . DY 11 1447121111一； 144第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念和抽樣分布假設(shè)總體 X服從參數(shù)為的泊松分布，而（Xi,X2，Xn）是來自總體 X的簡單隨機(jī)樣本.求 （Xi,X2，,Xn）的概率函數(shù).解總體X的概率函數(shù)為xeP(x; ) x !0由于Xi,X2，,Xn獨(dú)立同服從參數(shù)為p（X,x?，x；的泊松分布，可見（Xi,X2，Xn）的概率函數(shù)為)PXi Xi,X2 x2,Xnn ，、 enP(x；),i 1Xi !x2 !L xn!xnx1 x2 xn(X 0,1,2,).假設(shè)總體XN（ , 2）,而（Xi,X2，Xn）是來自總體 X的簡單隨機(jī)樣本.求Xi，X2，,Xn的概率函數(shù).解由于X1,X2，,Xn獨(dú)立同分布,可見（X1,X2，,Xn）的密度為其中X,x2，xnf(x1,%,L ,xn)i 1 -：-2 n72式(x)2e 2 2exp 六(x )2 .2 i 1第七章參數(shù)估計(jì)設(shè)總體X的概率分布為0122 (1)其中（02最大似然估計(jì)值.是未知參數(shù)，由總體 X的（簡單隨機(jī)）樣本值：（3,1,3,0,3,1,2,3） ，求的矩估計(jì)值和解（1）的矩估計(jì)量用