九章套利定價模型

1、第一節(jié)第一節(jié) 套利定價理論套利定價理論第二節(jié)第二節(jié) 套利定價組合套利定價組合第三節(jié)第三節(jié) 套利定價模型套利定價模型第四節(jié)第四節(jié) 套利定價模型進一步研究套利定價模型進一步研究 通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)該能夠達(dá)到 掌握APT定義、假設(shè)和觀點； 掌握資本資產(chǎn)定價模型與套利定價模型比較區(qū)別； 理解單因素套利定價模型推導(dǎo)，了解多因素套利定價模型； 掌握套利定價組合理論，重點掌握構(gòu)建一個套利定價組合； 一、套利定義一、套利定義二、一個套利例子二、一個套利例子三、三、APT與與CAPM四、四、APT假設(shè)假設(shè)五、五、APT觀點觀點 套利（套利（ArbitrageArbitrage）是同時持有一種或者多種資產(chǎn)的多）是

2、同時持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險的情況下鎖定一個高于無風(fēng)頭或空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險的情況下鎖定一個高于無風(fēng)險利率的收益。險利率的收益。不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！ 兩種套利方法：兩種套利方法：空間套利和時間套利?？臻g套利和時間套利。 套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），對于整個資本套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），對于整個資本市場，還應(yīng)該包括那些市場，還應(yīng)該包括那些“相似相似”資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機會。利機會。 無套利原則無套利原則（Non-arbitrage principle)Non-arbitr

3、age principle)：根據(jù)一價：根據(jù)一價定律（定律（the law of one pricethe law of one price），兩種具有相同風(fēng)險的資產(chǎn)），兩種具有相同風(fēng)險的資產(chǎn)（組合）不能以不同的期望收益率出售。當(dāng)違背一價定律時，（組合）不能以不同的期望收益率出售。當(dāng)違背一價定律時，套利行為將導(dǎo)致一個價格調(diào)整過程，最終使同一種資產(chǎn)的價套利行為將導(dǎo)致一個價格調(diào)整過程，最終使同一種資產(chǎn)的價格趨于相等，資產(chǎn)價格恢復(fù)一價定律，套利機會消失。格趨于相等，資產(chǎn)價格恢復(fù)一價定律，套利機會消失。 假設(shè)現(xiàn)在假設(shè)現(xiàn)在6 6個月即期年利率為個月即期年利率為10%10%（連續(xù)復(fù)利，下同），（連續(xù)復(fù)利，

4、下同），1 1年期的即期利率是年期的即期利率是12%12%。如果有人把今后。如果有人把今后6 6個月到個月到1 1年期的遠(yuǎn)年期的遠(yuǎn)期利率定為期利率定為11%11%，則存在套利機會。，則存在套利機會。請問該如何實現(xiàn)套利以請問該如何實現(xiàn)套利以及套利結(jié)果。及套利結(jié)果。 解析：套利過程是 第一、交易者按10%的利率借入一筆6個月資金（假設(shè)1000萬元） 第二、簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價格6個月后從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.100.5），用于償還第一步的1000萬本息。 第三、按12%的利率貸出一筆1年期的款項金額為1000萬元。 第三四、1年后收

5、回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.121），并用1110萬元（等于1051e0.110.5）償還1年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。 建立在均值建立在均值-方差分析基礎(chǔ)上的方差分析基礎(chǔ)上的CAPM是一種理論上相是一種理論上相當(dāng)完美的模型，但實際上只有理論意義，因為假設(shè)條件太多、當(dāng)完美的模型，但實際上只有理論意義，因為假設(shè)條件太多、太嚴(yán)格！除太嚴(yán)格！除CAPM理論外，另一種重要的定價理論是由理論外，另一種重要的定價理論是由Stephen Ross在在1976年建立的套利定價理論，從另一個角度年建立的套利定價理論，從另一個角度探討了資產(chǎn)的定價問題。探

6、討了資產(chǎn)的定價問題。 1.APT對資產(chǎn)的評價不是基于馬克維茨模型，而是基于無套利原則和因子模型。 2.APT與CAPM假定市場或市場組合一定是有效的組合相反，假設(shè)市場不一定是有效的。 3.不要求投資者是風(fēng)險規(guī)避的，否則就沒有人實施套利機會了。CAPM假定大家都是風(fēng)險規(guī)避者，并且消極策略是有效地。 4.CAPM下“同質(zhì)期望”假設(shè)，因此價格發(fā)生偏生，將會產(chǎn)生一致行動，導(dǎo)致價格均衡。APT中只需要少數(shù)投資者的套利活動就能消除套利機會。 因此，市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論因此，市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論=CAPM，而無套利假定下因子模型而無套利假定下因子模型=APT。 第一、證券收益能用因素

7、模型表示，如單因素套利定價模型可以用單因素模型表示； 第二、一個有效的市場不允許有持續(xù)性的套利機會； 第三、投資者是不知足的，只要有套利機會就會不斷套利，直到無利可圖為止。 第四、所有投資者對各種資產(chǎn)的收益率預(yù)期都是一致的； 第五、有足夠多的證券來分散不同的風(fēng)險。 第一、在一個高度競爭的、流動性強的市場中，套利行為將導(dǎo)致價差的消失； 第二、套利行為是市場有效（市場均衡）的決定因素之一； 第三、套利是因為一價定理暫時失效，任何影響價格的因素都會成為套利的可能性； 第四、由無套利原則，在因子模型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合）應(yīng)提供相同的期望收益率。一、套利定價組合理論一、套利定價組合理論二、

8、構(gòu)建一個套利定價組合二、構(gòu)建一個套利定價組合三、套利定價組合運用三、套利定價組合運用 一個有效地套利組合必須同時滿足如下三個條件：一個有效地套利組合必須同時滿足如下三個條件： 條件條件1：套利組合要求投資者不追加資金：套利組合要求投資者不追加資金, 即套利組合即套利組合屬于自融資組合。屬于自融資組合。 條件條件2：套利組合對任何因素的敏感度為零，即套利組：套利組合對任何因素的敏感度為零，即套利組合沒有因素風(fēng)險。合沒有因素風(fēng)險。 1230nxxxx02211nnxbxbxb 在雙因素模型下，條件2表達(dá)式為： 在多因素模型下，條件2表達(dá)式為： 條件條件3：套利組合的預(yù)期收益率應(yīng)大于零：套利組合的預(yù)

9、期收益率應(yīng)大于零，即： 01212111nnxbxbxb0222121nnnxbxbxb01212111nnxbxbxb0222121nnnxbxbxb 02211nknkkxbxbxb1 12 20n nx rx rx r（9.1）（9.2）（9.3）111000niini iini iiwb ww r套利組合條件：11121()( = () = ( )()nni iiiiiiiniiiniiiDwrDw rb feDwb fD fwb11()0,0nni iiiiiDwrwb若要則要即條件9.2得證。 投資者套利活動的目標(biāo)是使其套利組合預(yù)期收益率最大投資者套利活動的目標(biāo)是使其套利組合預(yù)期收

10、益率最大化?；６桌M合的預(yù)期收益率為：而套利組合的預(yù)期收益率為： 但套利活動要受到條件但套利活動要受到條件1、2的約束。的約束。 根據(jù)拉格朗日定理，我們可建立如下函數(shù)：根據(jù)拉格朗日定理，我們可建立如下函數(shù)： 式中：式中：0 0， 1 1為為Lagrange乘數(shù)。函數(shù)乘數(shù)。函數(shù)L對對X1，X2， Xn，0 0，1 1求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：1230nxxxx02211nnxbxbxb1 12 2pn nrx rx rx r1 12201211 122()()()nnnnnMaxLx rx rx rxxxb xb xb x101 110Lrbx201 220Lr

11、bx 010nnnLrbx1200nLxxx1 12210nnLb xb xb x 左邊方程組共有左邊方程組共有N+2個未知數(shù)和個未知數(shù)和N+2個方程，因此可個方程，因此可以求出以求出X1，X2， Xn 的解，用通式表示如下：的解，用通式表示如下： X=X1，X2， Xn X=X1，X2， Xn 是投資者無套利下的資產(chǎn)是投資者無套利下的資產(chǎn)組合。投資者可以通過對變動量為負(fù)的證券做空頭，組合。投資者可以通過對變動量為負(fù)的證券做空頭，對變動量為正的證券做多頭，就可以達(dá)到無需追加資對變動量為正的證券做多頭，就可以達(dá)到無需追加資金，而且不冒風(fēng)險的情況下獲利，即實現(xiàn)套利組合。金，而且不冒風(fēng)險的情況下獲利

12、，即實現(xiàn)套利組合。 【例一】【例一】 假設(shè)：某投資者擁有一個假設(shè)：某投資者擁有一個3種股票組成的投資組合，種股票組成的投資組合，3種股票的市值均為種股票的市值均為500萬，投資組合的總價值為萬，投資組合的總價值為1500萬元。萬元。假定這三種股票均符合單因素模型，其預(yù)期收益率分別為假定這三種股票均符合單因素模型，其預(yù)期收益率分別為16%、20%和和13%，其對該因素的敏感度，其對該因素的敏感度(bi)分別為分別為0.9、3.1和和1.9。請問該投資者能否修改其投資組合，以便在不增加。請問該投資者能否修改其投資組合，以便在不增加風(fēng)險的情況下提高預(yù)期收益率。風(fēng)險的情況下提高預(yù)期收益率。 解析：解析

13、：令三種股票市值比重變化量分別為令三種股票市值比重變化量分別為x1、x2和和x3。根據(jù)套利定價組合條件，我們有：根據(jù)套利定價組合條件，我們有： 上述兩個方程有三個變量，故有多種解。作為其中的一上述兩個方程有三個變量，故有多種解。作為其中的一個解，我們令個解，我們令x1=0.1，則可解出，則可解出x2=0.083,x3=0.183。 這個解預(yù)期收益率等于：這個解預(yù)期收益率等于：0.1 0.16+0.083 0.20.183 0.13=0.881%1230 xxx1230.93.11.90 xxx013.02.016.0321xxx 由于由于0.881%為正數(shù)，因此我們可以通過賣出為正數(shù)，因此我們

14、可以通過賣出274.5萬元萬元的第三種股票（等于的第三種股票（等于0.183 1500萬元）同時買入萬元）同時買入150萬元萬元第一種股票（等于第一種股票（等于0.1 1500萬元）和萬元）和124.5萬元第二種股票萬元第二種股票（等于（等于0.083 1500萬元）就能使投資組合的預(yù)期收益率提高萬元）就能使投資組合的預(yù)期收益率提高0.881%。 【例二】詳見教材【例二】詳見教材P142。一、單因素一、單因素APT二、多因素二、多因素APT三、另一種三、另一種APT表示方法表示方法00()(1)()1()()piijjijjijjrw rb fwrb fw rrrw bbbf （一）不包含殘差

15、的單因素（一）不包含殘差的單因素APTAPT 【證明方法一】【證明方法一】 假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：無風(fēng)險利率借入1元錢；1元錢投資在兩種資產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個自融資組合。 設(shè)無風(fēng)險利率0，資產(chǎn)i和j的收益率為ri和rj。在單因素APT下，套利組合的收益（忽略殘差）為：若不存在套利機會，則該套利組合的收益為若不存在套利機會，則該套利組合的收益為0 0。jpijbwrbb 時, 無風(fēng)險()0ijjw bbb當(dāng)，即解析：解析： 從圖9-1可以看出，任何偏離APT資產(chǎn)定價線的證券，其定價都是錯誤的，從而將給投資者提供組建套利組合的機會。以B點所代表的證券B為例，該點位于APT資產(chǎn)定價線上方，意味著

16、其預(yù)期收益率較高，投資者就可以通過賣出S點所表示的證券S，同時買入相同金額的B證券，從而形成套利組合。由于投資者買入證 券B，其價格將不斷上升，預(yù)期收益 率將隨之下降，直至回到APT資產(chǎn)定 價線為止。同時，賣出證券S此時， 其價格不斷下跌，預(yù)期收益將隨之上 升，直到回到APT資產(chǎn)定價線上。此 時證券價格處于均衡狀態(tài)。圖9-1 APT資產(chǎn)定價線 1,1,.,ifirrb in在單因子條件下，有12112,.,ffnfnrrrrrrbbbAPT1對于所有風(fēng)險資產(chǎn)則有由此可見，方程的斜率 實際上是因子1的風(fēng)險價格。 結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險價格相等時，結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險價格相等時，

17、則證券之間不存在套利。則證券之間不存在套利。【證明方法二】【證明方法二】 （二）含殘差的單因素APT1miiijjjrrb f假設(shè)假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率種資產(chǎn)其收益率m個因子決定（個因子決定（mn），即），即其中，其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，則，則01miijjjrb01,.,j 為常數(shù)【證明方法一】【證明方法一】 證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資wi，構(gòu)造零投資且無風(fēng)險的組合，即wi滿足下列條件10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b零投資零投資無風(fēng)險無風(fēng)險（9.2）（9.1）即，向量即，向量1、bj（j=1,2,m)線性無關(guān)

18、。線性無關(guān)。 如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投資、無風(fēng)險如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投資、無風(fēng)險的組合必然是無收益的，從而只要（的組合必然是無收益的，從而只要（9.1）和（）和（9.2）成立，）成立，則則蘊含蘊含(followed),1,.,jjmw1,wb這等價于，這等價于，只要只要10ni iiwrTw rwr對于任意的對于任意的W，必然必然有有 又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則 必定落在必定落在由由1,b1,b2,bm張成的向量空間張成的向量空間Rm+1（ 1和和bj是該空間的一組基是該空間的一組基）中，中，也就是存在一組不全為零的數(shù)

19、也就是存在一組不全為零的數(shù) 使得使得r01,.,m 01122,.,mmr1bbb證畢。證畢。理解：理解： 必須落在必須落在Rm+1空間中，才能必然成立空間中，才能必然成立 rwr 在向量空間中，如果向量在向量空間中，如果向量a、b正交于正交于c，蘊含著蘊含著d正交與正交與c，則則d必須落在由必須落在由a和和b張成的二維空間上，張成的二維空間上，d可以由可以由a、b線性表示！線性表示！abCd0圖圖9.2 向量空間示意圖向量空間示意圖【證明方法二】【證明方法二】,()mifmfirrrrr b特別地，當(dāng)即純因子組合為市場組合時有11ppfbprr在單因子模型下，考慮一個使的（資產(chǎn)）組合 ，即，

20、則有1pfrr101,()pfiiffirrrbrr b令即風(fēng)險價格,則則稱該組合則稱該組合p為純因子組合為純因子組合(類似于類似于CAPM的市場組合的市場組合)（一）單因素（一）單因素APTAPT在兩因子模型下，我們有在兩因子模型下，我們有1122ifiirrbb11211,0,iipbb若存在純因子組合 ，使得且其期望收益為 則11ifrr11fr即即（二）兩因素（二）兩因素APTAPT2122220,1,iifpbbr同理，若存在純因子組合 ，使得其期望收益為 ，則=從而1122()iffifirrr br b(22fr這樣可將這樣可將APT的表達(dá)式可以改寫為的表達(dá)式可以改寫為第第1因子

21、的風(fēng)險價格因子的風(fēng)險價格第第2因子的風(fēng)險價格因子的風(fēng)險價格在多因子模型下 證券的期望收益率等于無風(fēng)險收益率，加上證券的期望收益率等于無風(fēng)險收益率，加上j個因素的風(fēng)個因素的風(fēng)險補償（風(fēng)險價格險補償（風(fēng)險價格風(fēng)險因子載荷）。資產(chǎn)對風(fēng)險因子的敏風(fēng)險因子載荷）。資產(chǎn)對風(fēng)險因子的敏感度（因子載荷）越大，則其應(yīng)得到的風(fēng)險補償越大。感度（因子載荷）越大，則其應(yīng)得到的風(fēng)險補償越大。01122,.,iiimimrbbb1122(),., ()ffifimfimrr br br b（j1,.,j jm其中， 為因子 （）的純因子組合的期望收益（三）多因素（三）多因素APTAPT一、一、APT與風(fēng)險分散化與風(fēng)險分散

22、化二、二、APT與與CAPM三、因子選擇三、因子選擇 APT的收益率寫成： 組合期望收益率： 組合的方差：111()(),APTCAPMififfiifimfmiirrbrrbrrrrrb顯然，若純因子組合是市場組合即代表 ，則與一致。 （一）（一）APTAPT與與CAPMCAPM的一致性的一致性 若只有一個風(fēng)險因子，且純因子組合是市場組合，則若只有一個風(fēng)險因子，且純因子組合是市場組合，則當(dāng)當(dāng)APTAPT與與CAPMCAPM均成立時有均成立時有命題：若純因子組合不是市場組合，命題：若純因子組合不是市場組合，APT與與CAPM可能不一致?？赡懿灰恢隆ＷC明：只要證明存在一個反例證明：只要證明存在一

23、個反例cov( ,)cov(,)cov( ,)cov( ,)iiiiimiiimimiimrab fer rab fe rbf rbe r由單因子模型可得2m上式兩邊同除以上式兩邊同除以 ，并且定義，并且定義（二）（二）APTAPT與與CAPMCAPM的不一致性的不一致性由于由于2cov(,)imme r很小，不妨把它忽略，則有很小，不妨把它忽略，則有,2cov( ,)imif mimr rb如果如果APT 也成立，且滿足也成立，且滿足CAPM，則，則,1()ifif mmfifirrbrrrrb1,()mff mrr得到得到如果因素如果因素f與市場組合與市場組合M正相關(guān)，那么正相關(guān)，那么,2

24、cov( ,)cov( ,)00mmf mmf rf r0,mfrr且由于從而1,()0mff mrr 也就是，如果也就是，如果CAPM成立，則必然要求上述條件成立，成立，則必然要求上述條件成立，它構(gòu)成了對它構(gòu)成了對APT中中 的約束。的約束。1 但是，如果但是，如果APT成立，不受成立，不受CAPM約束，即僅從約束，即僅從APT本身推斷，必有本身推斷，必有100fr或者只有當(dāng)只有當(dāng)mr才成立才成立10反之，如果反之，如果mr，則可能有10fr那么，對于證券那么，對于證券i的定價就會出現(xiàn)不同。的定價就會出現(xiàn)不同。 結(jié)論：如果純因子組合不是市場組合，結(jié)論：如果純因子組合不是市場組合，APT與與C

25、APM可能不一致?？赡懿灰恢?。,0,0,0,()0()0if mfif mmfifbrbrrbr若，,()()ifif mmfr CAPMrbrr()()ififr APTrbr 第一、若純因子組合不是市場組合，則APT與CAPM不一定一致，CAPM僅僅是APT的特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場組合時，CAPM與APT等價。 第二、在CAPM中，市場組合居于不可或缺的地位（若無此，則其理論瓦解），但APT即使在沒有市場組合條件下仍成立。 第三、APT模型可以得到與CAPM類似的【期望回報-b】直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場組合，可以是任何風(fēng)險分散良好的組合。由于市場組合在實際中是無法得到的，

26、因此，在實際應(yīng)用中，由于市場組合在實際中是無法得到的，因此，在實際應(yīng)用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可滿足只要指數(shù)基金等組合，其即可滿足APT。所以。所以APT的適用性更強！的適用性更強！ 第四、CAPM屬于單一時期模型，但APT并不受到單一時期的限制。 第五、APT的推導(dǎo)以無套利為核心，CAPM則以均值方差模型為核心，隱含投資者風(fēng)險厭惡的假設(shè)，但APT無此假設(shè)。 第六、在CAPM中，證券的風(fēng)險只與市場組合的相關(guān)，它只給出了市場風(fēng)險大小，而沒有表明風(fēng)險來自何處。APT承認(rèn)有多種因素影響證券價格，從而擴大了資產(chǎn)定價的思考范圍（CAPM認(rèn)為資產(chǎn)定價僅有一個因素），也為識別證券風(fēng)險的來源提供了分析工具

27、。 第七、CAPM是APT單因素時的特例，它們之間最主要的差別在于CAPM強調(diào)市場的有效性，而APT則強調(diào)了無套利均衡，兩者建立的思想基礎(chǔ)是不同。 第八、APT對系統(tǒng)風(fēng)險進行了細(xì)分，使得投資者能夠測量資產(chǎn)對各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因而可以使得投資組合的選擇更準(zhǔn)確。例如，基金可以選擇最佳的因素敏感系數(shù)的組合。 第九、APT的局限：決定資產(chǎn)的價格可能存在多種因素，模型本身不能確定這些因素是什么和因素的數(shù)量，實踐中因素的選擇常常具有經(jīng)驗性和隨意性。 （一）因子選擇研究 要利用APT來定價，首先必須辨別市場中重要的因子的類別。Pari和Chen收集了19751980年，2090家公司股票月報酬回報率，以因子分析（Factor analy