圓的認(rèn)識(shí) -- 知識(shí)點(diǎn)歸納

1、圓的認(rèn)識(shí)圓的定義：圓是一種幾何圖形。當(dāng)一條線(xiàn)段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓。在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線(xiàn)段OA叫做半徑。相關(guān)定義:1 在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。這個(gè)定點(diǎn)叫做圓的圓心。圖形一周的長(zhǎng)度，就是圓的周長(zhǎng)。2 連接圓心和圓上的任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫做半徑，字母表示為r。3 通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線(xiàn)段叫做直徑，字母表示為d。直徑所在的直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸。4 連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦。最長(zhǎng)的弦是直徑,直徑是過(guò)圓心的弦。5 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫

2、做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，優(yōu)弧是用三個(gè)字母表示。小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧，劣弧用兩個(gè)字母表示。半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。6 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。7 由弦和它所對(duì)的一段弧圍成的圖形叫做弓形。8 頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。9 頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。10 圓周長(zhǎng)度與圓的直徑長(zhǎng)度的比值叫做圓周率。它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，通常用表示，=3.14159265在實(shí)際應(yīng)用中，一般取3.14。11圓周角等于相同弧所對(duì)的圓心角的一半。12 圓是一個(gè)正n邊形（n為無(wú)限大的正整數(shù)），邊長(zhǎng)無(wú)限接近0但不等

3、于0。圓的集合定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑。· 圓的字母表示：以點(diǎn)O為圓心的圓記作“O”，讀作O”。圓 ； 半徑r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母）； 弧 ； 直徑d ；扇形弧長(zhǎng)L ；                            周長(zhǎng)C ； 

4、                              面積S。圓的性質(zhì):（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條通過(guò)圓心的直線(xiàn)。圓也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心是圓心。 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。（2）有關(guān)

5、圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側(cè)）。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓心角計(jì)算公式：=(L/2r)×360°=180°L/r=L/r(弧度)。即圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)；圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。 如果一條弧的長(zhǎng)是另一條弧的2倍，那么其所對(duì)的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。（3）有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理一個(gè)三角形

6、有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。R=2S÷L（R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長(zhǎng)）。兩相切圓的連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)。（連心線(xiàn)：兩個(gè)圓心相連的直線(xiàn)）圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。（4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線(xiàn)段（直線(xiàn)也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。（6）圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個(gè)角所對(duì)的弧的度數(shù)之和的一半。（7）圓外角的度數(shù)等于這個(gè)角所截兩段弧的度數(shù)之

7、差的一半。（8）周長(zhǎng)相等，圓面積比長(zhǎng)方形、正方形、三角形的面積大。· 點(diǎn)、線(xiàn)、圓與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)和圓位置關(guān)系P在圓O外，則 PO>r。P在圓O上，則 PO=r。P在圓O內(nèi)，則 0PO<r。反過(guò)來(lái)也是如此。直線(xiàn)和圓位置關(guān)系直線(xiàn)和圓無(wú)公共點(diǎn)，稱(chēng)相離。 AB與圓O相離，d>r。直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，稱(chēng)相交，這條直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)。AB與O相交，d<r。直線(xiàn)和圓有且只有一公共點(diǎn)，稱(chēng)相切，這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。AB與O相切，d=r。（d為圓心到直線(xiàn)的距離）圓和圓位置關(guān)系無(wú)公共點(diǎn)，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含。有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓

8、之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切。有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且Rr，圓心距為P，則結(jié)論：外離P>R+r；外切P=R+r；內(nèi)含P<R-r；內(nèi)切P=R-r；相交R-r<P<R+r。· 圓的計(jì)算公式:1.圓的周長(zhǎng)C=2r=或C=d2.圓的面積S=r23.扇形弧長(zhǎng)L=圓心角（弧度制）× r = n°r/180°（n為圓心角）4.扇形面積S=n r2/360=Lr/2（L為扇形的弧長(zhǎng)）5.圓的直徑 d=2r6.圓錐側(cè)面積 S=rl（l為母線(xiàn)長(zhǎng)）7.圓錐底面半徑 r=n°/360°

9、;L（L為母線(xiàn)長(zhǎng)）（r為底面半徑）圓的方程:1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r（r>0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2。2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以（D2+E2-4F）/2為半徑的圓；當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（-D/2，-E/2）；當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形。

10、3、圓的參數(shù)方程：以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是 x=a+r*cos, y=b+r*sin, （其中為參數(shù)）圓的端點(diǎn)式：若已知兩點(diǎn)A（a1,b1）,B（a2,b2），則以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。經(jīng)過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M（a0，b0）的切線(xiàn)方程為 a0·x+b0·y=r2在圓（x2+y2=r2）外一點(diǎn)M（a0，b0）引該圓的兩條切線(xiàn)，且兩切點(diǎn)為A,B，則A,B兩點(diǎn)所在直線(xiàn)的方程也為 a0·x+b0·y=r2。· 圓

11、的歷史:      圓形，是一個(gè)看來(lái)簡(jiǎn)單，實(shí)際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽(yáng)、陰歷十五的月亮得到圓的概念的。在一萬(wàn)八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)上制成的。當(dāng)人們開(kāi)始紡線(xiàn)，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發(fā)現(xiàn)搬運(yùn)圓的木頭時(shí)滾著走比較省勁。后來(lái)他們?cè)诎徇\(yùn)重物的時(shí)候，就把幾段圓木墊在大樹(shù)、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多。       約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出

12、了世界上第一個(gè)輪子圓型的木盤(pán)。大約在4000多年前，人們將圓的木盤(pán)固定在木架下，這就成了最初的車(chē)子。      會(huì)作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)。古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國(guó)的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個(gè)定義：圓，一中同長(zhǎng)也。意思是說(shuō)：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。       任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)與它直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用字母表示。它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，=3.1415926535但在實(shí)際運(yùn)用中一般只取它的近似值，即3.14.如果用C表示圓的周長(zhǎng)：C=d或C=2r.周髀算經(jīng)上說(shuō)"周三徑一"，把圓周率看成3，但是這只是一個(gè)近似值。美索不達(dá)來(lái)亞人在作第一個(gè)輪子的時(shí)候，也只知道圓周率是3。魏晉時(shí)期的劉徽于公元263年給九章算術(shù)作注時(shí)，發(fā)現(xiàn)"周三徑一"只是圓內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng)。他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率，= 3927/1250。劉徽把極限的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題之中