子主題二 拼圖與公式

1、子主題二 拼圖與公式 學(xué)習(xí)目的能夠通過(guò)構(gòu)造幾何圖形的方法解釋代數(shù)恒等式，了解代數(shù)恒等式的幾何意義，進(jìn)一步熟悉幾個(gè)乘法公式，感受數(shù)與形的密切聯(lián)系經(jīng)歷利用幾何圖形解釋代數(shù)恒等式的過(guò)程，進(jìn)一步學(xué)會(huì)根據(jù)代數(shù)式構(gòu)造幾何圖形的方法，形成數(shù)形幾何的意識(shí)，提高探究問(wèn)題的能力 在探究活動(dòng)中，認(rèn)識(shí)到分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對(duì)于構(gòu)造幾何圖形的重要性，增強(qiáng)合作交流意識(shí)和動(dòng)手能力，培養(yǎng)思維的靈活性和開(kāi)放性重難點(diǎn)分析根據(jù)代數(shù)恒等式構(gòu)造幾何圖形過(guò)程；對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，許多代數(shù)恒等式是通過(guò)運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算而來(lái)，難以建立它們的直觀意義，而本主題把重點(diǎn)放在讓學(xué)生建立一些他們已經(jīng)學(xué)過(guò)的代數(shù)式運(yùn)算恒等式或者運(yùn)算法則的幾何解釋上，幫助學(xué)生建立代

2、數(shù)恒等式或者運(yùn)算法則的直觀表征 根據(jù)代數(shù)恒等式構(gòu)造幾何圖形的過(guò)程初中生用來(lái)解釋代數(shù)法則或者代數(shù)恒等式的主要工具是面積公式，他們熟悉根據(jù)圖形求面積的問(wèn)題，但是本主題中學(xué)生面對(duì)的是反過(guò)來(lái)的問(wèn)題，把隱蔽在代數(shù)式中的圖形揭示出來(lái)是困難的，需要老師引導(dǎo)學(xué)生慢慢分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)系相應(yīng)的幾何特征，克服難點(diǎn) 活動(dòng)建議方案拼圖與公式活動(dòng)建議方案一、活動(dòng)流程框圖課題引入從乘法公式到二項(xiàng)式乘法構(gòu)造圖形解釋多項(xiàng)式乘法法則二、活動(dòng)過(guò)程2.1活動(dòng)1：從乘法公式到二項(xiàng)式乘法2.1.1活動(dòng)任務(wù)構(gòu)造能夠解釋乘法公式的幾何圖形，進(jìn)而構(gòu)造能夠解釋二項(xiàng)式乘法法則的幾何圖形2.1.2活動(dòng)內(nèi)容第一步：提出探究任務(wù)老師請(qǐng)同學(xué)回憶乘

3、法公式和二項(xiàng)式乘法法則，(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(cd)acadbcbd根據(jù)自己的理解或者根據(jù)記憶構(gòu)造能夠解釋上述公式或者法則的幾何圖形第二步：小組合作探究同學(xué)以小組為單位探究如上問(wèn)題，根據(jù)需要，老師可以提出如下建議：第一， 看到兩個(gè)數(shù)之積，腦海中反映出的幾何量是什么？對(duì)應(yīng)的幾何圖形是什么？第二：注意記錄本組同學(xué)構(gòu)造過(guò)程的困惑與思考的轉(zhuǎn)折點(diǎn)；第三步：集體交流請(qǐng)24個(gè)小組的同學(xué)匯報(bào)本組的研究過(guò)程與結(jié)果，老師引導(dǎo)同學(xué)總結(jié)，建議從如下幾個(gè)方面總結(jié)：第一，初中常用的用來(lái)解釋代數(shù)恒等式的幾何圖形是矩形，利用矩形的面積公式可以將兩個(gè)量之積的代數(shù)式問(wèn)題的幾何圖形構(gòu)造出來(lái)；第二

4、，看似機(jī)械、抽象的代數(shù)公式和代數(shù)恒等式背后都有著直觀的幾何解釋，希望同學(xué)養(yǎng)成用幾何圖形解釋代數(shù)結(jié)論的習(xí)慣參考資料1數(shù)形結(jié)合數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形太過(guò)于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來(lái)，這時(shí)就需要給圖形賦值

5、，如邊長(zhǎng)、角度等。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。2華羅庚“數(shù)形結(jié)合千般好，隔裂分家萬(wàn)事非”這是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生的名言華羅庚是我國(guó)解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自安函數(shù)論等多方面研究的創(chuàng)始人和開(kāi)拓者在國(guó)際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果就有“華氏定理”、“懷依華不等

6、式”、“華氏不等式”、“普勞威爾加當(dāng)華定理”、“華氏算子”、“華王方法”等華羅庚同志一生為我們留下了十部專著：堆壘素?cái)?shù)論、指數(shù)和的估價(jià)及其在數(shù)論中的應(yīng)用、多復(fù)變函數(shù)論中的典型域的調(diào)和分析、數(shù)論導(dǎo)引、典型群（與萬(wàn)哲先合著）、從單位圓談起、數(shù)論在近似分析中的應(yīng)用（與王元合著）、二階兩個(gè)自變數(shù)兩個(gè)未知函數(shù)的常系數(shù)線性偏微分方程組（與他人合著）、優(yōu)選學(xué)及計(jì)劃經(jīng)濟(jì)范圍最優(yōu)化的數(shù)學(xué)理論，其中八部為國(guó)外翻譯出版，有些已列入本世紀(jì)數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作之列此外，還有學(xué)術(shù)論文200余篇，科普作品優(yōu)選法評(píng)話及其補(bǔ)充、統(tǒng)籌法評(píng)話及補(bǔ)充等，輯為華羅庚科普著作選集在代數(shù)方面，證明了歷史長(zhǎng)久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體

7、的正規(guī)子體一定包含在它的中心之中這個(gè)結(jié)果的一個(gè)簡(jiǎn)單而直接的證明，被稱為嘉當(dāng)-布饒爾-華定理其專著堆壘素?cái)?shù)論系統(tǒng)地總結(jié)、發(fā)展與改進(jìn)了哈代與李特爾伍德圓法、維諾格拉多夫三角和估計(jì)方法及他本人的方法，發(fā)表40余年來(lái)其主要結(jié)果仍居世界領(lǐng)先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀(jì)經(jīng)典數(shù)論著作之一其專著多個(gè)復(fù)變典型域上的調(diào)和分析以精密的分析和矩陣技巧，結(jié)合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達(dá)式這項(xiàng)工作在調(diào)和分析、復(fù)分析、微分方程等研究中有著廣泛深入的影響，曾獲中國(guó)自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)倡導(dǎo)應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的研制，曾出版統(tǒng)籌方法平話、優(yōu)選學(xué)等多部著作并在中國(guó)推廣應(yīng)用與

8、王元教授合作在近代數(shù)論方法應(yīng)用研究方面獲重要成果，被稱為“華-王方法”2.1.3活動(dòng)組織方式教師提出活動(dòng)任務(wù)，并適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生先獨(dú)立思考，動(dòng)手實(shí)踐，完成探究任務(wù)，再和組內(nèi)的同學(xué)進(jìn)行交流；全班交流、總結(jié)，師生共同提煉探究結(jié)果2.1.4活動(dòng)評(píng)價(jià)方式學(xué)生根據(jù)過(guò)程性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)表和結(jié)果性評(píng)價(jià)測(cè)試對(duì)自己的探究過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行自評(píng)；教師根據(jù)學(xué)生課堂上的探究情況，參考學(xué)生的自評(píng)結(jié)果對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)2.1.5所需學(xué)習(xí)資源a（bcd）= abacad.doc乘法拼圖（1）.jpg乘法拼圖（1）.jpg乘法拼圖（2）.jpg平方差公式.jpg完全平方公式（1）.doc完全平方公式（1）.jpg完全平方公式（2）.d

9、oc完全平方公式（2）.jpg2.1.6所需學(xué)習(xí)時(shí)間20分鐘2.2活動(dòng)2：多項(xiàng)式乘法2.2.1活動(dòng)任務(wù)構(gòu)造能夠解釋多項(xiàng)式乘法的幾何圖形，建立發(fā)展數(shù)形幾何思想2.2.2活動(dòng)內(nèi)容第一步：提出探究任務(wù)老師與同學(xué)共同寫(xiě)出一個(gè)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的典型代表，例如(abc)(edf)，探索其結(jié)果第二步：小組合作探究同學(xué)以小組為單位探究如上問(wèn)題，根據(jù)需要，老師可以提出如下建議：第一，可以直接利用多項(xiàng)式乘法法則得出結(jié)果，然后再利用幾何圖形進(jìn)行解釋，構(gòu)造圖形時(shí)可以借鑒活動(dòng)1總結(jié)的結(jié)論；第二，也可以直接構(gòu)造能夠反映上述代數(shù)式的幾何圖形，根據(jù)幾何圖形得到上述多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的結(jié)果；第三：注意記錄本組同學(xué)的探究過(guò)程與基本

10、思路，與全班交流；第三步：集體交流請(qǐng)24個(gè)小組的同學(xué)匯報(bào)本組的研究過(guò)程與結(jié)果，老師引導(dǎo)同學(xué)總結(jié)，建議從如下幾個(gè)方面總結(jié)：第一，有了二項(xiàng)式乘以二項(xiàng)式的探索過(guò)程和結(jié)論，多項(xiàng)式乘法的問(wèn)題和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的問(wèn)題可以看成時(shí)特殊化或者一般化；第二，有了數(shù)形幾何這一工具，我們?cè)谔幚碓S多代數(shù)式運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，就多了一條路徑，可以借助幾何圖形得出代數(shù)式運(yùn)算的結(jié)果，也可以幫助檢驗(yàn)參考資料多項(xiàng)式若干個(gè)單項(xiàng)式的和組成的式子叫做多項(xiàng)式（減一個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù)）。多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。2.2.3活動(dòng)組織方式教師提出活動(dòng)任務(wù)，并適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生先獨(dú)立思考，動(dòng)手

11、實(shí)踐，完成探究任務(wù)，再和組內(nèi)的同學(xué)進(jìn)行交流；全班交流、總結(jié)，師生共同提煉探究結(jié)果2.2.4活動(dòng)評(píng)價(jià)方式學(xué)生根據(jù)過(guò)程性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)表和結(jié)果性評(píng)價(jià)測(cè)試對(duì)自己的探究過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行自評(píng)；教師根據(jù)學(xué)生課堂上的探究情況，參考學(xué)生的自評(píng)結(jié)果對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)2.2.5所需學(xué)習(xí)資源乘法拼圖（1）.swf乘法拼圖（2）.swf（abc）（edf）.swf（abc）（edf）.jpg乘法公式.doc乘法公式拼圖.jpg2.2.6所需學(xué)習(xí)時(shí)間20分鐘學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)分過(guò)程性評(píng)價(jià)和效果性評(píng)價(jià)兩種.“拼圖與公式”過(guò)程性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)表  評(píng)價(jià)內(nèi)容是/否1我們小組的成員理解了利用構(gòu)造圖形解釋代數(shù)恒等式的意義，體會(huì)到圖形讓代數(shù)恒等式直觀了； 2我們小組的代數(shù)運(yùn)算方法和圖形解釋方法進(jìn)行了比較，形成了自己的觀點(diǎn)； 3我們小組在研究的過(guò)程中能夠不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，解決問(wèn)題的過(guò)程越來(lái)越順利； 4我們小組在研究過(guò)程中分工有效，在匯報(bào)時(shí)能夠有條理的陳述自己的觀點(diǎn)，別的小組發(fā)言時(shí)我們也在認(rèn)真傾聽(tīng)； 5我們小組對(duì)自己的探究過(guò)程進(jìn)行了合理性分析與評(píng)價(jià)，對(duì)自己得到的結(jié)論比較有信心 1利用矩