三角形內(nèi)角和定理

1、你還記得上節(jié)課學(xué)過的常你還記得上節(jié)課學(xué)過的常見見公理及證明、證明的步公理及證明、證明的步驟驟嗎？嗎？2. 2. 線段公理：線段公理：兩點之間線段最短兩點之間線段最短。公理：人們在長期實踐中總結(jié)出的大家公認為正公理：人們在長期實踐中總結(jié)出的大家公認為正確的道理確的道理, , 叫做公理。叫做公理。 1.1.直線公理：直線公理：兩點確定一條直線。兩點確定一條直線。3.3.平行公理：平行公理：過直線外一點有且只有一條直過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。線與已知直線平行。4.4.垂直公理：垂直公理：過一點有且只有一條直線與已知直過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。線垂直。5.5.平行線的判定

2、公理：平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。6.6. 三角形全等的判斷公理三角形全等的判斷公理：SAS ASASAS ASA SSSSSS。9.9.全等三角形性質(zhì)公理全等三角形性質(zhì)公理：對應(yīng)角相等，：對應(yīng)角相等， 對應(yīng)邊相等。對應(yīng)邊相等。10：等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)：等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì) 都可以看作公理都可以看作公理w在等式或不等式中在等式或不等式中,一個量可以一個量可以用它的等量來代替例如用它的等量來代替例如,如果如果a=b,b=c,那么那么a=c,這一性質(zhì)也看這一性

3、質(zhì)也看作公理作公理,稱為稱為“等量代換等量代換”.證明的一般步驟：證明的一般步驟：第一步：第一步：分析條件、結(jié)論，畫出圖形分析條件、結(jié)論，畫出圖形 第二步：第二步：根據(jù)條件、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫根據(jù)條件、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出出 已已 知、求證。知、求證。 第三步：第三步：經(jīng)過分析，找出由已知推出求證經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，的途徑， 第四步：第四步：結(jié)合圖形，寫出證明過程結(jié)合圖形，寫出證明過程證明：證明：運用學(xué)過的公理、定理、定義、性質(zhì)運用學(xué)過的公理、定理、定義、性質(zhì),用推理的方法判定一個命題是真命題的過程叫證明用推理的方法判定一個命題是真命題的過程叫證明 三角形藍和三角形紅見面了，藍

4、炫耀的說：三角形藍和三角形紅見面了，藍炫耀的說：“我的體積比你大，所以我的內(nèi)角和也比你我的體積比你大，所以我的內(nèi)角和也比你大！大！”紅不服氣的說：紅不服氣的說：“那可不好說噢，你那可不好說噢，你自己量量看！自己量量看！” 藍用量角器量了量自己的內(nèi)角和，就不藍用量角器量了量自己的內(nèi)角和，就不再說話了！再說話了！ 同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？問題問題1命題命題：三角形的三個內(nèi)角和是三角形的三個內(nèi)角和是180你能驗證這個命題嗎？你能驗證這個命題嗎？你還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?ABC演示下一頁123三角形的三個內(nèi)角和是多少?方法一方法一: 將各角沿著某一條直線折疊將各

5、角沿著某一條直線折疊驗證：三角形的三個內(nèi)角和是驗證：三角形的三個內(nèi)角和是180180圖1圖2 圖3ABCCBAABBCC BAB(2)根據(jù)前面的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎?.結(jié)論：三角形的內(nèi)角和等于結(jié)論：三角形的內(nèi)角和等于1800.證明：證明：過點過點A作作EFBC B=2（兩直線平行兩直線平行, ,內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等）同理同理C=12+1+BAC=1800（平角定義平角定義） B+C+BAC=1800（等量代換等量代換）已知：如圖，已知：如圖，ABC.ABCEF求證：求證：A +B +C =180E F如果一個圖形是三角形那

6、么這個三角形三個內(nèi)角和是180E F這里EF稱為輔助線, 通常畫成虛線. EFBCEFBC 在這里，為了證明的需要，在原來的在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上圖形上自己加上自己加上的線叫做的線叫做輔助線輔助線。在平面。在平面幾何里，輔助線通常畫成幾何里，輔助線通常畫成虛線虛線。注意要說。注意要說明所加輔助線的位置、名稱和性質(zhì)。明所加輔助線的位置、名稱和性質(zhì)。思路總結(jié)：思路總結(jié)： 為了證明三角形三個內(nèi)角的和為為了證明三角形三個內(nèi)角的和為180180, ,通常應(yīng)用通常應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化為：轉(zhuǎn)化為：平角或利用平角或利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補兩直線平行，同旁內(nèi)角互補結(jié)論：三角形的內(nèi)角和

7、等于結(jié)論：三角形的內(nèi)角和等于1800. B+BAC +C =180 （等量代換）（等量代換）已知：已知：ABC.求證：求證：A +B +C =180 ABCL證明：證明：過點過點A作作AEBC，則則B=1( (兩直線平行兩直線平行, ,內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等) )1+BAC+C=180 ( (兩直線平行兩直線平行, ,同旁內(nèi)角互補同旁內(nèi)角互補) )w已知:如圖6-9,ABC.w求證:A+B+C=1800.w證明:作BC的延長線CD,過點C作CEAB,w 你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎?.w 1=A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),w 2= B(兩直線平行,同位角相等).w 又1+2+3=180

8、0 (平角的定義),w A+B+ACB=1800 (等量代換).w分析:延長BC到D,過點C作射線CEAB,這樣,就相當于把A移到了1的位置,把B移到了2的位置.這里的這里的CD,CE稱稱為輔助線為輔助線,輔助線通輔助線通常畫成虛常畫成虛線線.ABCE213DABCL結(jié)論結(jié)論:三角形的內(nèi)角和是三角形的內(nèi)角和是180. CEAB,開啟 智慧你還有其他方法來證明三你還有其他方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎？角形內(nèi)角和定理嗎？添加輔助線思路：添加輔助線思路：1、構(gòu)造平角、構(gòu)造平角2、構(gòu)造同旁內(nèi)角、構(gòu)造同旁內(nèi)角EABCDF圖1ANBCTS圖3PQRMANBCTS圖4PQRM（ABCEDF（1234（圖2

9、三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理w三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個內(nèi)角的和等于三角形三個內(nèi)角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的幾種變形的幾種變形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w這里的結(jié)論這里的結(jié)論, ,以后可以直接運用以后可以直接運用. . 三種語言三種語言ABC已知：三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比

10、為已知：三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:3:51:3:5，求這三個內(nèi)角的度數(shù)。，求這三個內(nèi)角的度數(shù)。 解：設(shè)三個內(nèi)角度數(shù)分別為：解：設(shè)三個內(nèi)角度數(shù)分別為：x x、3x3x、5x,5x,x+3x+5x=180 x+3x+5x=180解得解得x=20 x=20所以三個內(nèi)角度數(shù)分別為所以三個內(nèi)角度數(shù)分別為 2020,60,60,100,100。由三角形內(nèi)角和為由三角形內(nèi)角和為180得得3 3、如圖，直線、如圖，直線ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一點外有一點P P，連結(jié)，連結(jié)PBPB、PDPD，交，交CDCD于于E E點。則點。則 B B、 D D、 P P 之間是否存在之間是否存在 一

11、定的大小關(guān)系？一定的大小關(guān)系？ 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)A AB BC CP PD DE E他們是怎樣的，并加以證明他們是怎樣的，并加以證明？證明：證明：因為因為 AB CD（1（2所以所以 1 + B =1800(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）因為因為2+ P +D=1800 （三角形內(nèi)角和定理）（三角形內(nèi)角和定理）1= 2 （對頂角相等）（對頂角相等） 所以所以 B=P +D ( (等量代換）等量代換）證明：證明：因為因為 AB CD因為因為2+ P +D=1800 （三角形內(nèi)角和定理）（三角形內(nèi)角和定理）3、如圖所示，AD、BC相交于O點，若A35， B56， D46，則C

12、的度數(shù)是（ ）A、 31B、 45C、 41D、 76ABOCD這種圖形稱、這種圖形稱、“又又”字型字型結(jié)論：結(jié)論：A +B =C+DB B闖關(guān)規(guī)則：闖關(guān)規(guī)則：每一關(guān)設(shè)置一道題，聽到教每一關(guān)設(shè)置一道題，聽到教師師口令口令后再后再舉手搶答舉手搶答（答對有獎哦）?。ù饘τ歇勁叮?！準備好了嗎？準備好了嗎？下面將請出下面將請出快樂男生王櫟鑫快樂男生王櫟鑫與我們一起與我們一起進入今天的闖關(guān)練習(xí)。進入今天的闖關(guān)練習(xí)。練習(xí)練習(xí)2.如圖，求如圖，求 A1+ A2+ A3+ A4+ A5的度數(shù)。的度數(shù)。A2A1A5A3A421拓廣探究拓廣探究第一關(guān)第一關(guān)如圖，求A+ B+ C+ D+ E+ F的度數(shù)。ABCDE

13、F第二關(guān)第二關(guān)1 13 32 2思維拓展：思維拓展：n1、（、（1）如圖）如圖(甲甲)，在五角星圖形中，求，在五角星圖形中，求 A+ B+ C+ D+ E的度數(shù)。的度數(shù)。 （2）把圖（乙）、（丙）叫蛻化的五角星，問它們的五角之）把圖（乙）、（丙）叫蛻化的五角星，問它們的五角之和與五角星圖形的五角之和仍相等嗎？為什么？和與五角星圖形的五角之和仍相等嗎？為什么？AEABCDAE(甲甲)EBCDDCB(乙乙)(丙丙)第三關(guān)第三關(guān)相等相等w在ABC中,如果BC不動,把點A“壓”向BC,那么當點A越來越接近BC時, A就越來越大(越來越接近1800),而B和 C,越來越小(越來越接近00).由此你能想到什么?w如果BC不動,把點A“拉離”BC,那么當A越來越遠離BC時,A就越來越小(越來越接近00),而B和C則越來越大,它們的和越來越接近1800, 當把點A拉到無窮遠時,便有ABAC,B和C成為同旁內(nèi)角,它們的和等于1800.由此你能想到什么? CBACBA第四關(guān)第四關(guān)回顧回顧與與小結(jié)小結(jié)本節(jié)課里你學(xué)到了什么？本節(jié)課里你學(xué)到了什么？1、三角形內(nèi)角和的定理：、三角形內(nèi)角和的定理：三角形三個內(nèi)角的和等于三角形三個內(nèi)角的和等于180 180 2、通過思考、探究、去總結(jié)三角形內(nèi)