簡諧運動及其圖像

1、專題一：簡諧運動及其圖象知識點一：彈簧振子1.彈簧振子如圖，把連在一起的彈簧和小球穿在水平桿上，彈簧左端固定在支架上，小球可以在桿上滑動。小球滑動時的摩擦力可以忽略，彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，也可忽略。這樣就成了一個彈簧振子。注意：小球原來靜止的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往復(fù)運動，是一種機械振動。小球的運動是平動，可以看作質(zhì)點。彈簧振子是一個不考慮摩擦阻力，不考慮彈簧的質(zhì)量，不考慮振子（金屬小球）的大小和形狀的理想化的物理模型。2.彈簧振子的位移時間圖象（1）振動物體的位移是指由平衡位置指向振子所在處的有向線段，可以說某時刻的位移。說明：振動物體的位移與運動學(xué)中位移的含義不

2、同，振子的位移總是相對于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，末位置是振子所在的位置。因而振子對平衡位置的位移方向始終背離平衡位置。（2）振子位移的變化規(guī)律振子的運動AOOBBOOA對O點位移的方向向右向左向左向右大小變化減小增大減小增大（3）彈簧振子的位移時間圖象是一條正（余）弦曲線。知識點二：簡諧運動1.簡諧運動如果質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖象(x-t圖象)是一條正弦曲線，這樣的振動，叫做簡諧運動。簡諧運動是機械振動中最簡單、最基本的振動。彈簧振子的運動就是簡諧運動。2.描述簡諧運動的物理量（1）振幅（A）振幅是指振動物體離開平衡位置的最大距離，是表征振動強弱的物

3、理量。（2）周期（T）和頻率（f）周期和頻率的關(guān)系是：（3）相位（）相位是表示物體振動步調(diào)的物理量，用相位來描述簡諧運動在一個全振動中所處的階段。3. 固有周期、固有頻率簡諧運動的周期只由系統(tǒng)本身的特性決定，與振幅無關(guān)，因此T叫系統(tǒng)的固有周期，f叫固有頻率。彈簧振子的周期公式：，其中m是振動物體的質(zhì)量，k為彈簧的勁度系數(shù)。4.簡諧運動的表達式y(tǒng)=Asin（t+），其中A是振幅，是t=0時的相位，即初相位或初相。知識點三：簡諧運動的回復(fù)力和能量1.回復(fù)力：使振動物體回到平衡位置的力。（1）回復(fù)力是以效果命名的力。性質(zhì)上回復(fù)力可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等，它可能是幾個力的合力，也可能

4、是某個力或某個力的分力。如在水平方向上振動的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧在伸長和壓縮時產(chǎn)生的彈力；在豎直方向上振動的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。（2）回復(fù)力的作用是使振動物體回到平衡位置?；貜?fù)力的方向總是“指向平衡位置”。（3）回復(fù)力是是振動物體在振動方向上的合外力，但不一定是物體受到的合外力。2.對平衡位置的理解（1）平衡位置是振動物體最終停止振動后振子所在的位置。（2）平衡位置是回復(fù)力為零的位置，但平衡位置不一定是合力為零的位置。（3）不同振動系統(tǒng)平衡位置不同。豎直方向的彈簧振子，平衡位置是其彈力等于重力的位置；水平勻強電場和重力場共同作用的單擺，平衡位置在電場力與重力的合力方向上。

5、3簡諧運動的動力學(xué)特征F回-kx ，a回kx/m，其中k為比例系數(shù)，對于彈簧振子來說，就等于彈簧的勁度系數(shù)。負號表示回復(fù)力的方向與位移的方向相反。也就是說簡諧運動是在跟對平衡位置的位移大小成正比、方向總是指向平衡位置的力作用下的振動。彈簧振子在平衡位置時F回=0。當(dāng)振子振動過程中，位移為x時，由胡克定律（彈簧不超出彈性限度），考慮到回復(fù)力的方向跟位移的方向相反，有F回= -kx，k為彈簧的勁度系數(shù)，所以彈簧振子做簡諧運動。4.簡諧運動的能量特征知識點四： 簡諧運動過程中各物理量大小、方向變化情況1.全振動振動物體連續(xù)兩次運動狀態(tài)（位移和速度）完全相同所經(jīng)歷的的過程，即物體運動完成一次規(guī)律性變化

6、。2.彈簧振子振動過程中各物理量大小、方向變化情況過程：物體從A由靜止釋放，從AOBOA，經(jīng)歷一次全振動，圖中O為平衡位置，A、B為最大位移處：取OB方向為正： 位移s 速度v 加速度a 回復(fù)力F 動能Ek 勢能EP 運動性質(zhì) A 最大(-) 0最大 最大kA 0最大 AO 減小(-) 增大(+) 減小(+) 減小(+)增大 減小 a的變加速運動O 0最大 00最大 0 勢能全部轉(zhuǎn)化為動能 OB 增大(+) 減小(+)增大(-) 增大(-) 減小 增大 a的變減速運動B 最大 0最大 最大 0最大動能全部轉(zhuǎn)化為勢能 BO 減小(+) 增大(-)減小(-) 減小(-)增大 減小 a的變加速運動O

7、 0最大 00最大 0 勢能全部轉(zhuǎn)化為動能 OA 增大(-) 減小(-)增大（+） 增大(+) 減小 增大 a的變減速運動小結(jié)：彈簧振子的運動過程是完全對稱的。 (1)B、O、A為三個特殊狀態(tài) O為平衡位置，即速度具有最大值vmax，而加速度a0 A為負的最大位移處，具有加速度最大值amax，而速度v0 B為正的最大位移處，具有加速度最大值amax，而速度v0 （2）其運動為變加速運動與變減速運動的交替過程，在此過程中，機械能守恒，動能和彈性勢能之間相互轉(zhuǎn)化 加速度a與速度v的變化不一致(3)任一點C的受力情況 重力G與彈力N平衡；F回F彈kx，可看出回復(fù)力方向始終與位移方向相反 知識點五：簡

8、諧運動圖象的應(yīng)用1. 簡諧運動圖象的物理意義圖象描述了做簡諧運動的質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律，即是位移時間函數(shù)圖象。注意振動圖象不是質(zhì)點的運動軌跡。2. 簡諧運動圖象的特點簡諧運動的圖象是一條正弦（余弦）曲線。（1）從平衡位置開始計時，函數(shù)表達式為，圖象如圖1。（2）從最大位移處開始計時，函數(shù)表達式，圖象如圖2。3.簡諧運動圖象的應(yīng)用(1)確定振動質(zhì)點在任一時刻的位移。如圖中，對應(yīng)t1、t2時刻的位移分別為x1=+7cm、x2=-5cm。(2)確定振動的振幅、周期和頻率。圖中最大位移的值就是振幅，如圖表示的振動振幅是10cm；振動圖象上一個完整的正弦(余弦)圖形在時間軸上拉開的“長度”表示周期

9、。由圖可知，OD、AE、BF的間隔都等于振動周期T=0.2s；頻率。(3)確定各時刻質(zhì)點的速度、加速度(回復(fù)力)的方向。加速度方向總與位移方向相反。只要從振動圖象中認清位移的方向即可。例如在圖中t1時刻質(zhì)點位移x1為正，則加速度a1為負，兩者方向相反；t2時刻，位移x2為負，則a2便為正；判定速度的方向的方法有：a.位移時間圖象上的斜率代表速度。某時刻的振動圖象的斜率大于0，速度方向與規(guī)定的正方向一致；斜率小于0，速度的方向與規(guī)定的正方向相反；b.將某一時刻的位移與相鄰的下一時刻的位移比較，如果位移增大，振動質(zhì)點將遠離平衡位置；反之將靠近平衡位置。例如圖中在t1時刻，質(zhì)點正遠離平衡位置運動；在

10、t3時刻，質(zhì)點正向著平衡位置運動。(4)比較不同時刻質(zhì)點的速度、加速度、動能、勢能的大小。加速度與位移的大小成正比。如圖中|x1|x2|，所以|a1|a2|；而質(zhì)點的位移越大，它所具有的勢能越大，動能、速度則越小。如圖中，在t1時刻質(zhì)點的勢能EP1大于t2時刻的勢能EP2，而動能則Ek1Ek1，速度v1v1。規(guī)律方法指導(dǎo)1正確分析振動物體的受力回復(fù)力是根據(jù)效果來命名的，而不是某種特殊性質(zhì)的力，它可以是重力、彈力、摩擦力，或者是幾個力的合力。2.簡諧運動的對稱性和周期性瞬時量的對稱性：做簡諧運動的物體，在關(guān)于平衡位置對稱的兩點，回復(fù)力、位移、加速度具有等大反向的關(guān)系。另外速度的大小具有對稱性，方

11、向可能相同或相反。過程量的對稱性：振動質(zhì)點來回通過相同的兩點間的時間相等，如；質(zhì)點經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段時時間相等，如。由于簡諧運動有周期性，因此涉及簡諧運動時，往往出現(xiàn)多解，分析時應(yīng)特別注意：物體在某一位置時，位移是確定的，而速度不確定；時間也存在周期性關(guān)系。3.簡諧運動中路程和時間的關(guān)系振動質(zhì)點在t時間經(jīng)過的路程與t和質(zhì)點的初始狀態(tài)有關(guān)，計算比較復(fù)雜。若質(zhì)點運動時間t是周期T的整數(shù)倍，即滿足t=nT（n1、2），則那么振動質(zhì)點在t時間內(nèi)通過的路程Sn4A；如果時間t是的整數(shù)倍，即t=n（n1、2），那么振動質(zhì)點在t時間內(nèi)通過的路程為Sn2A；如果為t為T/4，分三種情形： 計時

12、起點對應(yīng)質(zhì)點在三個特殊位置（兩個最大位移處，一個平衡位置），則SA； 計時起點對應(yīng)質(zhì)點在最大位移和平衡位置之間，向平衡位置運動，則SA； 計時起點對應(yīng)質(zhì)點在最大位移處和平衡位置之間，向最大位移處運動，則SA。4.簡諧運動圖象反映了振動物體相對于平衡位置的位移隨時間的變化規(guī)律。要掌握好這一規(guī)律，需要把圖象和振動物體實際的運動聯(lián)系起來，要能夠?qū)ξ锢韴D景有充分的想象能力。典型例題透析類型一一簡諧運動的判定1、如圖所示，光滑水平面上放有一質(zhì)量為m的物體，彈簧的勁度系數(shù)分別為kl、k2，彈簧現(xiàn)在均處于原長，試證明物體開始振動之后的運動為簡諧運動。舉一反三【變式】輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端懸掛物體m

13、，彈簧的勁度系數(shù)為k，現(xiàn)將物體從平衡位置向下拉開一段距離后釋放，試證明物體的運動是簡諧運動。類型二簡諧運動過程中各物理量的變化2、一彈簧振子做簡諧運動，下列說法正確的是：（ ）A若位移為負值，則速度一定為正值，加速度也一定為正值 B振子通過平衡位置時，速度為零，加速度最大 C振子每次經(jīng)過平衡位置時，加速度相同，速度也一定相同 D振子每次通過同一位置時，其速度不一定相同，但加速度一定相同 舉一反三【變式1】如果下表中給出的是做簡諧運動的物體的位移x或速度v與時刻的對應(yīng)關(guān)系，T是振動周期，則下列選項中正確的是：（ ）A若甲表示位移x，則丙表示相應(yīng)的速度v B若丁表示位移x，則甲表示相應(yīng)的速度vC若

14、丙表示位移x，則甲表示相應(yīng)的速度v D若乙表示位移x，則丙表示相應(yīng)的速度v物理量0T/4T/23T/4T甲零正向最大零負向最大零乙零負向最大零正向最大零丙正向最大零負向最大零正向最大丁負向最大零正向最大零負向最大【變式2】如圖所示，一彈簧振子在A、B間做簡諧運動，平衡位置為O，已知振子的質(zhì)量為M，若振子運動到B處時將一質(zhì)量為m的物體放到M的上面，且m和M無相對運動而一起運動，下述正確的是：（ ）A.振幅不變B.振幅減小C.最大動能不變D.最大動能減小類型三簡諧運動的圖象3、一質(zhì)點做簡諧運動的振動圖象如圖所示： （1）該質(zhì)點振動的振幅是_；周期是_；初相是_。（2）寫出該質(zhì)點簡諧運動的表達式，并

15、求出當(dāng)t=1s時質(zhì)點的位移。舉一反三【變式】做簡諧運動的彈簧振子振動圖象如圖所示，下列說法中正確的是：（ ）At=0時，質(zhì)點位移為零，速度為零，加速度為零Bt=1s時，質(zhì)點位移最大，速度為零，加速度最大Ct1和t2時刻振子具有相同的速度和動能Dt3和t4時刻振子具有相同的加速度E5s內(nèi)振子通過的路程是25cm，而位移是5cm，回復(fù)力為零，加速度為零，但速度為最大值，動能最大，勢能為零，選項A錯誤。類型四簡諧運動的周期性和對稱性4、一質(zhì)點在平衡位置O附近做簡諧運動，從它經(jīng)過平衡位置起開始計時，經(jīng)0.13 s質(zhì)點第一次通過M點，再經(jīng)0.1s第二次通過M點，則質(zhì)點振動周期為多大？ 舉一反三【變式】質(zhì)點在O點附近做簡諧運動，從質(zhì)點經(jīng)過O點時開始計時，質(zhì)點第一次經(jīng)過O附近的M點需時3s，又經(jīng)過2s再一次經(jīng)過M點，求質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需經(jīng)過多長時間? 舉一反三【變式】水平放置的彈簧振子做簡諧運動，周期為T，t1時刻振子不在平衡位置，且速度不為零；t2時刻振子速度與t1時刻的速度大小相等、方向相同；t3時刻振子的速度與t1時刻的速度大小相等、方向相反。若t2t1=t3t2， 則：（ ）At1時刻、t2時刻與t3時刻彈性勢能都相等Bt1時刻與t3時刻，彈簧的長度相等Ct3t1=(2n+)T n=0，1，2， Dt3t1=(n+)T n=0，1，2