三角形三心的奧秘

1、外心重心商人想設(shè)一座加油站，距離附近的學(xué)校、游樂園、醫(yī)院都一樣近，請問聰明的商人，應(yīng)該將加油站設(shè)在哪里呢? 學(xué)校游樂園醫(yī)院解答:設(shè)在外心處加油站ABCABCABC(綠)， (藍(lán))，(紅)，三邊中垂線交點(diǎn)即為“外心”。o三角形三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心，常用字母O表示。中垂線 BC中垂線 AC中垂線 AB(綠)， 中垂線 AB2.外心的位置ABCABCABCABCABCABC銳角三角形 (在內(nèi)部)鈍角三角形 (在外部)直角三角形(在斜邊中點(diǎn))(1)依三角形角度類型的區(qū)別而有不同的位置。ABCABCABCABC銳角ABE的外心(圓O)在三角形的內(nèi)部。直角ABD的外心(圓O)在三角形的斜邊中點(diǎn)。鈍角A

2、BC的外心(圓O)在三角形的外部。(2)呈現(xiàn)在同一個(gè)圓中(1)外心到三頂點(diǎn)等距離。 (2)若以外心為圓心，外心到三頂點(diǎn)的距離為半徑， 可以畫出一個(gè)外接圓。(3)稱此點(diǎn)為“外心”，是因此點(diǎn)可畫出三角形的外接圓。(4)任意三角形皆可找到其外心與外接圓，且為唯一。(5)三角形ABC稱為圓O的圓內(nèi)接三角形。3.三角形的外心與外接圓 如圖(1)線段OA = 線段OB = 線段OC (2)圓O為ABC的外接圓 (3)O點(diǎn)為銳角ABC的外心； ABC為圓O的圓內(nèi)接三角形ABCO O O中垂線性質(zhì):(1)中垂線上任一點(diǎn)到此線段的兩端點(diǎn)等距離。(2)若有一點(diǎn)到某線段兩端點(diǎn)的距離相等，則此 點(diǎn)會(huì)在該線段的中垂線上

3、。(可用中垂線性質(zhì)證明)4.外心重要性質(zhì):外心到三頂點(diǎn)等距離。 PBPAP為中垂線上任一點(diǎn)5.三角形的外接圓與外心角度 ABCOABCOD(1)若A為銳角，BOC 2A(2)若A為鈍角， BOC 360 2AO(1)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心(O)。(2)外心到三頂點(diǎn)等距。 (以外心為圓心，可畫出該三角形的外接圓)(3)直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)上， 直角三角形的外接圓半徑R=1/2斜邊長(4)直角三角形中，若有一銳角是30 ，則它所 對的邊是斜邊之半。6.外心?？贾攸c(diǎn):按我(用GGB找外心)7.動(dòng)手摺紙找外心 步驟1:摺出線段AB的中垂線。 作法:將B點(diǎn)翻摺至A點(diǎn)， 壓平后再展開， 產(chǎn)生

4、摺痕如圖示。步驟2:摺出線段BC的中垂線。作法 : 將B點(diǎn)翻摺至C點(diǎn)， 壓平后再展開， 產(chǎn)生摺痕如圖示。步驟3:摺出線段CA的中垂線。作法 : 將C點(diǎn)翻摺至A點(diǎn)， 壓平后再展開， 產(chǎn)生摺痕如圖示。三條中垂線的交點(diǎn)即外心O步驟4 : 比較OA，OB，OC三線段長度是否真的相同。三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心，常用字母I表示。ABCABCABC1.內(nèi)心的定義:三內(nèi)角平分線交點(diǎn) 即為“內(nèi)心”。I2.內(nèi)心的位置:任意三角形的內(nèi)心 均在三角形的內(nèi)部。ABCABC銳角三角形 內(nèi)心ABCB 直角三角形 內(nèi)心ABCABCABC 鈍角三角形 內(nèi)心(1)內(nèi)心到三邊等距離。(2)若以內(nèi)心為圓心，內(nèi)心到

5、三邊的距離為半徑， 可以畫出一個(gè)內(nèi)切圓。(3)稱為“內(nèi)心”，是因此點(diǎn)可畫出三角形的內(nèi)切圓。(4)任意一個(gè)三角形，均可找到其內(nèi)心及內(nèi)切圓，且為 唯一。3.三角形的內(nèi)心與內(nèi)切圓:IRIQIPIRIQIP(可用角平分線性質(zhì)證明)4.內(nèi)心重要性質(zhì):內(nèi)心到三邊等距離。角平分線性質(zhì):(1)角平分在線的任一點(diǎn)到此角的兩邊等距離。(2)若有一點(diǎn)到某角的兩邊等距離，則此點(diǎn)會(huì)在 該角的角平分在線。PCPB 6.內(nèi)心?？贾攸c(diǎn):(1)三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)稱為內(nèi)心(I) 。(2)內(nèi)心到三角形的三邊等距 。(3)ABC面積1/2 ABC周長 內(nèi)切圓半徑 即A=1/2r (設(shè)為ABC周長，r為內(nèi)切圓半徑)(4)直角三角

6、形的內(nèi)切圓半徑r=1/2(兩股和斜邊)。(5)ABIC2190按我(用GGB找內(nèi)心)7.動(dòng)手摺紙找內(nèi)心步驟 1 : 摺出角A的角平分線。 (將AC邊摺疊到與AB邊重合)步驟 2 : 摺出角B的角平分線。 (將BC邊摺疊到與BA邊重合) 最后攤開如圖示步驟3:摺出角C的角平分線。 (將CB邊摺疊到與CA邊重合)攤開，并將三條角平分線的交點(diǎn)命名為I點(diǎn)步驟4:從I點(diǎn)做出與三邊垂直的虛線， 比較這三條虛線是否真的等長。小灰鼠買了一塊奶酪，想分享給弟弟(小藍(lán)鼠)，妹妹(小黃鼠)一起吃，牠該如何切割這塊奶酪，使得大家所分配到的大小都一樣呢?解答:沿著三中線切割成6塊，每人拿2塊。1.重心的定義:2.重心的

7、位置:任何三角形的重心均在三角形的內(nèi)部。 銳角三角形ABCABCBC 直角三角形ABCABCABC 鈍角三角形ABCABCABC(1)無法由“重心”畫出圓，與外心可畫出外接圓， 內(nèi)心可畫出內(nèi)切圓不同。(2)稱為“重心”，是因?yàn)樵擖c(diǎn)為此三角形的質(zhì)量 中心，若用手指頂在重心位置，三角形會(huì)保持 平衡，不會(huì)傾斜。(3)重心到頂點(diǎn)的距離為重心到對邊中點(diǎn)的兩倍。3.重心重要特性:)D3( 31D(4)23( 32) 3(2)2(1:2:) 1 (GADADGAGADADAGGDAGGDAG即即按我(用GGB找重心)步驟1:摺出BC邊的中線 (頂點(diǎn)A與BC邊中點(diǎn)的連線)。4.動(dòng)手摺紙找重心步驟2:摺出AC邊

8、的中線。 (頂點(diǎn)B與AC邊中點(diǎn)的連線) 三中線交點(diǎn)即為重心G步驟3:摺出AB邊的中線 (頂點(diǎn)C與AB邊中點(diǎn)的連線) ABCGDEF 三中線將原 分割成6塊等面積 GAF面積GAE面積 GBF面積GBD面積 GCD面積GCE面積。 重心與三頂點(diǎn)的連線， 將原分割成3塊等面積 GAB面積GBC面積GAC面積ABCG重心的三塊積重心的六塊積5.重心?？贾攸c(diǎn):(1)三角形三中線的交點(diǎn)稱為重心( G )。(2)重心到一頂點(diǎn)的距離，等于重心到其對邊 中點(diǎn)之距離的兩倍。(3)重心與三頂點(diǎn)的連線，把原三角形的面積三 等分。(4)三中線會(huì)將原三角形的面積六等分。直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)，且特殊三角形的三心特殊三角形的三心AC61)21(3131(2)OC)1(ACOBOGOBOA等腰三角形的外心、內(nèi)心、重心都在同一條