《求點的軌跡方程》的教學(xué)實踐與反思

1、求點的軌跡方程的教學(xué)實踐與反思新課程理念下的一堂高三復(fù)習(xí)課高三復(fù)習(xí)中，如何在新的課改理念的指導(dǎo)下，更新觀念，轉(zhuǎn)換角色，調(diào)整教學(xué)策略，提高課堂教學(xué)的有效性，全面發(fā)展學(xué)生能力，是我們每個教師應(yīng)關(guān)注的問題，本人就求點的軌跡方程一課，在課堂教學(xué)中如何落實雙基與發(fā)展學(xué)生的能力作了一些嘗試。課前設(shè)計：教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：1 .能從課前練習(xí)中歸納求動點的軌跡方程的四種常用方法：直接法、定義法、相 關(guān)點代入法、參數(shù)法；2 .注意求軌跡方程問題中的易出錯誤，注意方程的純粹性和完備性；3 .能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ筌壽E方程。過程與方法：1 .進(jìn)一步強(qiáng)化類比聯(lián)想的方法，領(lǐng)會方程，數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學(xué)思想；2 .培養(yǎng)

2、思維的靈活性和嚴(yán)密性；3 .學(xué)會在求軌跡時，如何思考問題。情感態(tài)度價值觀：1 .感受動點軌跡的動態(tài)美、和諧美、對稱美；2 .樹立自信心，激發(fā)提出問題和解決問題的勇氣。 教學(xué)重點：1 .求曲線方程的四種方法：直接法、定義法、相關(guān)點代入法、參數(shù)法；2 .注意求曲線方程的純粹性和完備性教學(xué)難點：靈活運(yùn)用求曲線方程的幾何法，代入法。教學(xué)程序與策略：一.問題引入：練習(xí)：1.已知向量OP與OQ關(guān)于y軸對稱，且20Pod=1,則點P(x,y)的軌跡方程是 2.AABC中，已知B、C的坐標(biāo)分別為(一3, 0)和(3, 0),且的周長為16,則頂點A的 軌跡方程為.223.已知點P(x, y)滿足x + y =

3、 4 ,過P作PF垂直x軸于F點，則PF的中點M的軌跡萬 程為.224.已知點P(x, y)滿足x +y =4，則點Q(xy, x + y)的軌跡方程為 .學(xué)生解決問題，教師巡視，學(xué)生口答并歸納求率喲然四種方法。設(shè)計意圖：設(shè)置問題情境，學(xué)生思考，練習(xí)，能理解和掌握求曲線方程的四種常用方法，并 能自我小結(jié)，歸納出求動點軌跡方程的四種常用高度計的規(guī)律。二.探索研究：問題1：如圖，在AABC中，BC =6若AABC的內(nèi)切圓切BC邊于D點且BD CD = 4 ,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求頂點A的軌跡方程。通過師生共同分析，掌握問題1的解法。設(shè)計意圖：利用變式教學(xué)根據(jù)約束動點變動的幾 何條件，利用圓錐曲線

4、的定義得出動點軌跡方程， 并注意方程的純粹性。O'點F的直線交拋物線于心G的軌跡方程(其中A、B兩點，求AABC重O為坐標(biāo)原點)。F問題2：如圖，過拋物線C : y2 =4x (x#0)的焦師生分析尋求解決問題的多種方法。設(shè)計意圖：如果沒有找到約束動點變化的幾何條件，則解決問題的關(guān)鍵是尋找引起變化的原因。三.歸納小結(jié)：指導(dǎo)并由學(xué)生自我小結(jié)。求曲線方程的步驟。求曲線方程的常用方法。本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)實錄：出示練習(xí)并由學(xué)生單獨完成，并請一位同學(xué)口答O O 1生 1:練 1: y - x2 =222練 2: x +匕=125162練 3： + y2 =14師：有沒有同學(xué)需要補(bǔ)充？生

5、2: 1, 3兩題答案是對的，2, 4兩題的答案不完整，結(jié)論中少了限制條件。練 2應(yīng)該加上y ¥0,練4要加上2 MX M2。師：為什么要加上這些限制條件？生2:練4中，因為點P在圓上，所以應(yīng)該有 2 < X<2這個限制條件。練 2中，因為當(dāng)A、B、C共線時，不能構(gòu)成三角形，所以應(yīng)該有y¥0這個條件。師：我再提個問題，這4個練習(xí)分別用了求軌跡方程中的什么方法，求軌跡方程的步驟是什么？生3:求軌跡方程的過程，應(yīng)體現(xiàn)五個步驟，它們是：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)動點坐標(biāo)；有根據(jù)限制條件寫出動點的集合坐標(biāo)代入；化簡方程；說明坐標(biāo)滿足方程的點在曲線上。4個練習(xí)中，1是直接法

6、，2是定義法，3是相關(guān)點代入法，4是參數(shù)法。師：口答得很好，在這 5個步驟中你們認(rèn)為最關(guān)鍵的是哪一步？生4:是第2步，寫出約束動點變化的限制條件，將此條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，就可以得出動 點的軌跡方程了。師：很好，找出約束動點變化的限制條件是求動點軌跡方程的關(guān)鍵！在求解此類問題時要有找“限制條件的意識”。教師把練2中的條件改變一下，接著提問題。出示問題1,學(xué)生思考，解答，教師巡視。學(xué)生解答過程用多媒體展示，現(xiàn)摘錄其一。生5：以BC所在直線為X軸，以BC的中垂線為y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系。B(-3,0).C(3,0)丁 BD - CD = 4 ,二 AB - AC = 4,二動點A的軌跡是B、C以

7、為焦點的雙曲線 的右支，22二方程為+=1（X >2）。45師：你是如何得出 ,AB - AC =4?生5：設(shè)D、E、F是。'與相切的切點，BD = BE , CD =|CF , AE =|AF ,:.AB - AC = BE - CF = BD CD c師：動點A的軌跡為什么不是整支雙曲線?生5:這個約束條件不是雙曲線的定義，是雙曲線的一個分支。師：回答得很好。如果限制條件符合自己已經(jīng)學(xué)習(xí)過的曲線定義，則可以比較容易地寫出動點的軌跡方程，如果限制條件不符合圓錐曲線的定義，又如何解決這類問題呢？繼續(xù)出示問題2,請同學(xué)思考，請一個學(xué)生回答。生6：設(shè)直線AB的方程為y = k(x1)

8、,設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)，G(x, y)。y = k(x -1)、y2 = 4x2 2_ 22.k x -(2k4)x k =0 ；-4x1 x2 =2 k2又丁 G是AABC的重心,x=x乂2 二3.yiy243k消去k ,得點G的軌跡方程是4x 8一 o393師：解法對嗎？大家說說看。生7：直線AB可以垂直x軸,這個問題有一定難度，問兩條動直線的交點的軌跡。教師借助幾何畫板的演示,所以k有可能不存在。解題時要分為兩種情況。當(dāng) k不存在2 c時AB: x =1 ,二G(g,0)滿足所求方程。生8：設(shè)直線AB的方程為：x = my +1,則可以避免對直線 AB的斜率的討論

9、，結(jié)論和方法都不會改變。師;你真聰明。本題與問1的題設(shè)條件不一樣，不易寫出動點G在變動時所滿足的幾何條件， 但卻容易看出，直線繞焦點F轉(zhuǎn)動是引起點 G變動的原因。因些，我們可以用直線的斜率過渡，建立起 G橫、縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系，也就是動點G的軌跡方程。接下來，教師繼續(xù)改變問題。22問題3：已知橢圓工+1=1的一動弦pp2與長軸AB垂直，且AR與BP2相交于點Q,25 16求點Q的軌跡方程。2是直線AB繞F點旋轉(zhuǎn)引起變化，現(xiàn)在是動直線 P1P2平移，求讓學(xué)生觀察、討論，尋求解題途徑，幾分鐘后，有學(xué)生舉手回答。生 9：設(shè) Q(x, y), P1(xo, yo), P2(xo,-yo) 則APi的方程

10、為：y =y(x+5);X05 y0BP2 的方程為：y="一(x5)5 -'xo225x0 =兩直線的交點為 Q(x,y),聯(lián)立方程組，解得x5yyo =L.x22x y又一點Pi在橢圓上，一代入橢圓方程得 =12516師：為什么先設(shè) PnPz點的坐標(biāo)呢?生9:因為直線P1P2是引起動點運(yùn)動的原因。師：這樣說來，尋找到了引起動點運(yùn)動的原因是解決問題的關(guān)鍵。很好。如果把橢圓2222二十匕=1改為與+ L =1(a Ab A0),其余條件不變，則 Q點的軌跡方程是什么?25 16a2 b222若將橢圓類比到雙曲線 x-匕=1,試寫出類似的結(jié)論。25 162222生10：在與+

11、y2=1(a Ab >0)的條件下，軌跡方程為 三一4=1, a ba b22類比為雙曲線，則軌跡方程為 3+匕=1。25 16教師用幾何畫板演示，驗證結(jié)論的正確性。師：現(xiàn)在我們回顧剛才幾個問題的解題過程，當(dāng)你在遇到求點的軌跡方程問題時，你該從何思考？生11：首先應(yīng)該看一看，根據(jù)題意是否能找出約束動點變動的限制條件，如果有，則可以直接把幾何條件用代數(shù)形式表示出來，如果限制條件是我們熟悉的曲線形狀，就可以直接根據(jù)定義寫出它的方程。生12:尋找約束動點的限制條件是關(guān)鍵，如果題中沒有約束動點變化的限制條件，我們就 要尋找動因。師：大家都談得很好，我們在求點的軌跡方程問題時，通常可以從下面兩條思

12、路來思考。一是題中是否可以找到約束動點變化的限制條件，如果有，而且曲線形狀還是我們熟悉的，我們就可以直接寫出方程。 如果有，但曲線形狀是未知的， 我們就可以利用求軌跡方程的五 個步驟去探求。二是尋找引起動點運(yùn)動的原因。如果動因找到了，我們就可以將動因與所求動點坐標(biāo)建立起 聯(lián)系，從而解決問題。 教后反思： 一強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識這節(jié)課是一堂高三復(fù)習(xí)課， 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了曲線方程的概念， 求曲線的方程的步驟等基礎(chǔ)知識， 設(shè)計中我以 4 個填空題作為基本問題， 學(xué)生通過對4 個填空題的分析解答， 找到求點的軌跡方程的 4 種方法。 一方面加深了對曲線和方程概念的理解、 記憶和運(yùn)用基礎(chǔ)知識的目的，另一方面也鞏固

13、了求曲線方程的基本方法。二重視基本技能訓(xùn)練在課堂教學(xué)中要落實雙基教學(xué)， 讓學(xué)生熟練地掌握基本技能， 必須將基本技能由淺入深、由低到高、 由簡單到復(fù)雜， 形成系列， 先讓學(xué)生運(yùn)用基礎(chǔ)知識和基本熱能解決一些簡單的基本問題， 最后綜合和靈活運(yùn)用它們解決一些較復(fù)雜的問題， 本節(jié)課中， 求曲線的軌跡方程的熱能訓(xùn)練有三個層次：1. 運(yùn)用求點的軌跡方程的常用方法解決簡單的基本問題（如練習(xí)）2. 運(yùn)用求點的軌跡方程的常用方法解決一般的軌跡問題（如問 1 ）3. 靈活運(yùn)用點的軌跡方程的方法解決較復(fù)雜的軌跡問題三教學(xué)生“學(xué)會思考”在高三階段，相對來說，學(xué)生缺少的主要是“能力”一一知識運(yùn)用的能力、分析問題的能力、

14、解決問題的能力。 所以， 我們要始終把對學(xué)生能力的培養(yǎng)、 提高放在十分重要的位置，因此在本堂課的設(shè)計中， 把求軌跡問題思考的出發(fā)點作為本課的核心內(nèi)容。 通過本課的復(fù)習(xí)，力求使學(xué)生在遇到求軌跡問題時， 學(xué)會自己思考問題， 知道自己該如何下手， 而不是利用各種方法進(jìn)行簡單機(jī)械地操作， 設(shè)計問 1 力求培養(yǎng)學(xué)生縱向思維和橫向思維， 提升學(xué)生分析問題，解決問題的能力。問 3 中設(shè)計了研究性問題， 使得學(xué)生不僅要復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識，還需要通過復(fù)習(xí)發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)而解決問題， 著重培養(yǎng)學(xué)生類比、 推廣等探究能力， 整堂課強(qiáng)調(diào)過程教學(xué)、啟發(fā)思維，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，讓學(xué)生真正參與其中。四如何實施解題教學(xué)解題教學(xué)在高三總復(fù)習(xí)中占有相當(dāng)?shù)谋戎亍?在解題教學(xué)中， 必須讓學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣，強(qiáng)調(diào)表達(dá)規(guī)范。這里包括審題規(guī)范、語言表達(dá)規(guī)范、答案規(guī)范，因