圓的方程題型總結(jié)(按題型,含詳細(xì)答案)

1、圓的方程題型總結(jié)、基礎(chǔ)知識1 .圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;圓心,半徑.圓的一般方程為 ;圓心 ,半徑.二元二次方程 Ax2+ Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0表示圓的條件為：；(2) _.2 .直線和圓的位置關(guān)系：直線Ax By C 0,圓(x a)2 (y b)2 r：,圓心到直線的距離為 d.貝 U： (1) d=;(2)當(dāng) 時(shí)，直線與圓相離；當(dāng) 時(shí)，直線與圓相切；當(dāng) 時(shí)，直線與圓相交；(3)弦長公式：.3 .兩圓的位置關(guān)系l ,、2 ,22,、2 ,22國 Ci: (x-a)+ (y- b) = 口 ；圓 C2： (x- a2) + (y- b2) =2則有：兩圓相離 ； 外切 ；

2、相交 ； 內(nèi)切 ；內(nèi)含 .二、題型總結(jié)：(一)圓的方程 1.x2 y2 3x y 1 0的圓心坐標(biāo).半徑 .2.點(diǎn)(2a,a 1)在圓x2+y2 2y4=0的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A. - 1<a<1 B. 0< a<1C. - 1<a<-D. - - <a<1553.若方程x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)所表示的曲線關(guān)于直線y x對稱，必有( )A. E F B.D F C.D ED. D,E,F 兩兩不相等 4.圓 x2 y2 ax 2ay 2a2 3a 0 的圓心在()A.第一象PMB.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四

3、象限 .5.若直線3x- 4y+ 12=0與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為 A,B,則以線段AB為直徑的圓的方程是( )八2222A. x+y+4x-3y=0 B. x + y - 4x- 3y= 02222C. x + y + 4x- 3y- 4=0 D. x + y - 4x-3y+8=06.過圓x2 y2 4外一點(diǎn)hP 4,2作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A,B ,則 ABP的外接圓方程是()A. (x 4)2+( y 2)2=4B.x2+(y 2)2=4C. (x 4)2+(y 2)2=5D. (x 2)2+( y 1)2=5 7.過點(diǎn)A(1,- 1), B(- 1,1)且圓心在直線x+ y- 2= 0上的圓

4、的方程(/、2 /、2a. (x- 3) + (y+ 1) =4 b.一，、2 ,、2C. (x- 1) + (y- 1) = 1 D.22(x+ 3) + (y- 1) = 422(x+ 1) + (y+1) = 18.圓 x2 y2 2x 6y 9A. (x 7)2 (y 1)2 1_ 2_ 2C (x 6) (y 2)10關(guān)于直線2x y 5 0對稱的圓的方程是B. (x7)2(y2)21_ 2_ 2D.(x6)(y2)1 9.已知 ABC勺三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是A (4, 1), B (6, 3), C(3, 0),求 ABC外接圓的方程. 10.求經(jīng)過點(diǎn) A(2, 1),和直線xy 1相

5、切，且圓心在直線y2x上的圓的方程.2.求軌跡方程22 11.圓x y 4y 12 0上的動點(diǎn)Q ,定點(diǎn)A 8,0 ,線段AQ的中點(diǎn)軌跡方程12.方程x y 1 Jx2 y2 4 0所表示的圖形是（）A. 一條直線及一個(gè)圓B.兩個(gè)點(diǎn)C. 一條射線及一個(gè)圓D.兩條射線及一個(gè)圓13.已知?jiǎng)狱c(diǎn) M到點(diǎn)A （2, 0）的距離是它到點(diǎn) B （8, 0）的距離的一半，求：（1）動點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn) N的軌跡.3.直線與圓的位置關(guān)系 14.圓儀-1）2+丫2=1的圓心到直線丫=*的距離是（ ）A. 1B. 3C. 122D. 15.過點(diǎn)（2,1）的直線中，被x2 +2x +

6、4y =0截得弦長最長的直線方程為A. 3x- y-5= 0B.3x+ y-7=0C. x+ 3y-3= 0D.x- 3y + 16.已知直線l過點(diǎn)2,0）,當(dāng)直線l與圓x2y22x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率 k的取值范圍是（A.(2 2,2 2)B. (v2,舊C.D.4 17.圓 x24x0在點(diǎn)P（1, 丁3）處的切線方程為A. xx 3yC. x3y 18.過點(diǎn) P (2, 1)作圓 C： x2+y2ax+2ay+2a+1=0的切線有兩條，則a取值范圍是（A. a> 3B. av 32C. 3V a< 519.直線 x 2y 3 0與圓(x 2)2_2 八 一D. 3 V a v

7、或 a > 25 21,已知圓C xy 2 2 25 及直線 l : 2m 1 Xm 1 y 7m 4.(y 3)2 9交于e、F兩點(diǎn)，則 EOF (。為原點(diǎn))的面積為()A. 3B, 3246.5C. 5D.經(jīng)520.過點(diǎn) M (0, 4),被圓(x 1)2y24截得弦長為2V3的直線方程為(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交;(2)求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時(shí)直線l的方程.22.已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn), 求實(shí)數(shù)m的值.4.圓與圓的位置關(guān)系2222 23.圓x y 2x 0與圓x y

8、4y 0的位置關(guān)系為 24.已知兩圓 C/x2 y2 10,C2：x2 y2 2x 2y 14 0.求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的公共弦所在的直線方程 25.兩圓x2+y24x+6y=0和x2+y26x=0的連心線方程為（）A. x+y+3=0B. 2x-y-5=0C. 3x y 9=0 26.兩圓 C1 ： x22y 2x 2y 2A. 1條B. 2條27.已知圓C1的方程為f（x, y）D 4x-3y+7=0_220, C2：x y 4x 2y 1 0的公切線有且僅有（C. 3條D.0 ,且P（x0, yo）在圓Ci外，圓C2的方程為f(x,y)= f(x0,yo),則 Ci與圓 C2一定()A .相離

9、B.相切C.同心圓D.相交28.求圓心在直線x y 0上，且過兩圓x222y2 2x 10y 24 0 , x22y 2x 2y 8 0父點(diǎn)的圓的方程.5.綜合問題2 29.點(diǎn)A在圓x2y 2y上，點(diǎn)B在直線yx 1上，則AB的最小-22y 4于A, B兩點(diǎn)，則四邊形2 30.若點(diǎn)P在直線2x 3y 10 0上，直線PA,PB分別切圓 x2PAOB面積的最小值為（）A 24 B 16 C 8 D 431.直線y x b與曲線x <1 y2有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則 b的取值范圍是（）B.1 b 1且 b <2c.1 b 1.以上答案都不對 32.如果實(shí)數(shù)x, y滿足x2 y2 4x 1

10、0求:(1) y的最大值； x(2) y x的最小值；22(3) x y的最值.33. 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報(bào)：臺風(fēng)中心位于輪船正西70 km處,受影響的范圍是半徑長 30 km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響圓的方程題型總結(jié)參考答案9.解：解法一：設(shè)所求圓的方程是222(x a) (y b) r .-3,2%因?yàn)?A (4, 1), B (6, 3), C (3, 0)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程，于是(4 a)2 (1 b)2 r2,a 1,(6 a)2 ( 3 b)2 r2,可解得 b 3

11、, (3 a)2 (0 b)2 r2.r2 25.所以 ABC的外接圓的方程是(x 1)2 (y 3)2 25 .解法二：因?yàn)?ABC外接圓的圓心既在 AB的垂直平分線上，也在 BC的垂直平分線上，所以先求 ABBC的垂直平分線方程,求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心線段AB的中點(diǎn)為（5,1）,線段BC的中點(diǎn)為AB的垂直平分線方程為,一,，、一3BC的垂直平分線方程 y -23(x1-(x 5), 2|).坐標(biāo).I,解由聯(lián)立的方程組可得1, .ABC外接圓的圓心為E ( 1, 3),3.半徑 r | AE | 7(4 1)2(1 3)2 5 .22故 ABC外接圓的萬程是（x 1） （y 3）25 .10

12、.解：因?yàn)閳A心在直線 y 2x上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為（a,-2 a）,據(jù)題意得:,(a 2)2( 2a 1)2| a 2a 1 |2)2 (1 2a)2 A1 a):圓心為（1 , -2）,半徑為J2 ,所求的圓的方程為（x 1）2(y2)22.11. ( x 4)2+( y1)2=4;M的軌跡就是集合13.解：（1）設(shè)動點(diǎn)M （x, y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)1_ .P M |MA| | MB |.2由兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為(x 2)2-21 ：-22y-V(x 8) y ,平方后再整理，得 x22y2 16. 可以驗(yàn)證,這就是動點(diǎn)M的軌跡方程.（2J設(shè)動點(diǎn)N的坐標(biāo)為（xy）,

13、 M的坐標(biāo)是（Xi ,由于A （2, 0）,且N為線段 AM的中點(diǎn)，所以2x1x ,20 yl ,2, y1 2yy 肛.所以有Xi 2x2由（1）題知，M是圓x2 y2 16上的點(diǎn),所以M坐標(biāo)（刈y。滿足：x12 y12 16將代入整理，得（x 1）2 y2 4 .所以N的軌跡是以(1,0)為圓心，以2為半徑的圓(如圖中的虛圓為所求).14.解法一：如圖，在矩形 APBQ中，連結(jié)AB, PQ交于M ,顯然OM AB, |AB PQ ,i在直角三角形 AOM中，若設(shè)Q(x , y),則M (土上,-y-). 22,_.22_2由 OM |AMOA ,即(1)2(I)2 1(x a)2 (y b

14、)2 r2, 224也即x2 y2 2r2 (a2 b2),這便是Q的軌跡方程.解法二：設(shè)Q(x,y)、A(xi ,yi)、B(x2, y?),則x：y，r2 ,x22、2r2.又 PQ2 |AB2,即22222(x a) (y b) (xi xz)(y1刈)2r2(x1x2 丫缶).又AB與PQ的中點(diǎn)重合，故x a x1 x2, y b y1 y2 ,即 ,、2,.、2- 2(x a) (y b) 2r2(xx2 y*)十，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).這就是所求的軌跡方程.;=0 或 15x+8y 32=0;22.解:(1)直線方程l : 2m 1 x m 1 y 7m 4,可以

15、改寫為m 2x y 7 x y 4 0,所以直線必經(jīng)過直線2x y 7 0和x y 4 0的交點(diǎn).由方程組2x y 7 0,解得x 3,即兩直線的交點(diǎn)為 A(3,1)又x y 4 0y 1因?yàn)辄c(diǎn)A 3,1與圓心C 1,2的距離d 屈 5,所以該點(diǎn)在C內(nèi)，故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒 相交.(2)連接AC ,過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D . BD為直線被圓所截得的最短弦長 .此時(shí)，AC| V5, BC 5,所以BD 2425 5 445 .即最短弦長為 475 .又直線AC的斜率kAc 1,所以直線BD的斜率為2.此時(shí)直線方程為：y 1 2x 3,即2x y 5 0.23

16、.解：由x x2y x 6y m 025y2 20y 12 m 02y 3 0y1 V2 412 m y25又 O" OQxix2+yiy2=0,而 xix2=9 6( yi+y2)+4 yy= 4m 275.4m 27512 m 0 解得 m=3. 524.相交；25.29.解法一：(利用圓心到兩交點(diǎn)的距離相等求圓心)將兩圓的方程聯(lián)立得方程組22 _x y2x 10y 24 0x2 y2 2x 2y 8 0解這個(gè)方程組求得.兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo) A (4, 0), B (0, 2).因所求圓心在直線 x y 0上，故設(shè)所求圓心坐標(biāo)為 (x, x),則它到上面的兩上交點(diǎn)(4, 0)和(0,

17、 2)的距離相等，故有 & 4 x)2 (0 x)2 jx2 (2 x)2 ,即4x 12,x3, yx 3,從而,圓心坐標(biāo)是(一3,3).又r & 4 3)232斤,故所求圓的方程為(x 3)2 (y3)210 .解法二：(利用弦的垂直平分線過圓心求圓的方程)同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo) A(4, 0), B (0, 2),弦AB的中垂線為2x y 3 0,它與直線x y 0交點(diǎn)(一3, 3)就是圓心，又半徑 r 加，故所求圓的方程為(x 3)2 (y 3)2 10 .解法三：(用待定系數(shù)法求圓的方程)同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為 A (4, 0), B (0, 2).設(shè)所求圓的方程為

18、(x a)2 (y b)2 r2,因兩點(diǎn)在此圓上，且圓心在x y 0上，所以得方程組(4a)2 b2 r2a 3a2 (3 b)2 r2，,解之得b 3，a b 0r 10故所求圓的方程為(x 3)2 (y 3)2 10 .解法四：（用“圓系”方法求圓的方程.過后想想為什么）設(shè)所求圓的方程為x2 y2 2x 10y 24 （x2 y2 2x 2y 8） 0 （1）,即x2 y2竺x笛丫 80.111一，一、，一.15可知圓心坐標(biāo)為（J 5）.1' 1因圓心在直線x y 0上，所以1 5一 °,解得 2.11將2代人所設(shè)方程并化簡，求圓的方程x2 y2 6x 6y 8 0.33. (1)4；(2) 厭 2；(3)x2y24/3；x2y274/3.minmax34解法一：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為（x1，y1）、（x2,y2）.一方面，由OP OQ ,得kop koQ1,即- 11 ,也即：xx2y1y20 .x1 x2x 2y 3 0另一方面，（x1，yj、（x2,y2）是方程組22的實(shí)數(shù)解，即x y x 6y m 0x1x2是方程25x 10x 4m 27 0的兩個(gè)根.94m 27_x1 x2 2 , x1x2 . d5又P、Q在直線x 2y 3 0上，1 一 .1 .1 y1y2(3x1)(3