淺談交流電的向量表示法

1、淺談交流電的向量表示法開封市供電公司、電工進(jìn)網(wǎng)作業(yè)培訓(xùn)班輔導(dǎo)教師 胡慈丹我們都知道，當(dāng)我們用交流電壓表測量兩相對地220V 之間的交流電壓時，是380 V。測量兩點電壓，相當(dāng)于兩點對地（或?qū)簿€）電壓相減，這里為什么“220-2200”而是380呢？這要從交流電的向量談起。1              什么是向量。向量也稱矢量，就是帶方向的量，我們平常所用的是算術(shù)量或代數(shù)量，是不帶方向的。舉個例子。某人從家中（圖1中A 點）向北走3公里到 B點，然后再向西走4公里

2、到C點，如果問他走了多少路，那么：3+4=7，他走了7公里，這是算術(shù)量，但如果問他從家到停止的地方移動了多少距離，即位移多少，那么就“3+47”了。我們用比例尺量一下AC兩點的長度，是5公里。圖中帶箭頭的線段AB、BC、AC就是向量。2  交流電的向量。眾所周知，交流電是隨時間按正弦規(guī)律變化的，圖2（a）以交流電壓為例，表現(xiàn)了這一特性。圖2左邊圓形中，縱直徑表示電壓的比例尺，橫直徑從圓心O向右是開始軸。帶箭頭的線段，以Um為半徑，以不變的角速度，以逆時針方向旋轉(zhuǎn)，它與橫軸的夾角跟著變化，它的垂直高度（線段在縱軸上的投影，就是正弦）代表的瞬時值也在變化，每經(jīng)過一個時間t，就有相應(yīng)的角度

3、和瞬時值與之對應(yīng)。如此往復(fù)下去，向右展開為一條無限長的曲線，就是正弦曲線。圖中“帶箭頭的線段”既有長度（Um），又有方向（角度），所以就是向量。交流電的向量是旋轉(zhuǎn)向量，向量每旋轉(zhuǎn)一周360º的時間稱為一個周期，用T表示。每秒鐘包含的周期數(shù)稱為頻率，用f表示。圖中不同箭頭表示了一個向量的不同角度。    向量旋轉(zhuǎn)的角度又稱為相位。向量在一個時間起點下所處的相位稱為初相位。比如圖2（a）中當(dāng)開始（時間在0秒）時向量處在OA 位置，那么這個向量初相位就是0，對應(yīng)于右邊圖2（a）的曲線。當(dāng)開始（時間在0秒）時向量處在OB位置，那么這個向量初相位就是，曲

4、線示于圖2（b）。表達(dá)式是：u=Umsin(t+)其中，u為瞬時值，Um為峰值，=2f為角速度，f為頻率，我國為每秒50周（50赫芝），2相當(dāng)于一周360°，t為時間秒，為初相位。電流表示相同。t=2ft表示向量在旋轉(zhuǎn)，向量的某一瞬間位置由時間變量t決定的相位和初相位常數(shù)之和來確定。而以下我們研究向量分析和計算時，因為各向量都以同速旋轉(zhuǎn)，向量的位置就由初相位、也就是相對位置來決定了。Um是交流電壓的極大值、峰值或稱振幅值，代表向量的長度。但這使用著很不方便，因為我們平時無法直接得到這個值，常將有效值用于向量中，比如220V,380V 等。有效值我們經(jīng)常在使用，有的讀者未必說得清楚。概

5、念是這樣的：比如交流電壓，數(shù)值每時每刻都在變化，沒有一個穩(wěn)定的值，那么怎樣用穩(wěn)定的方法表示呢？科學(xué)上讓交流電和直流電分別帶相同的電阻負(fù)載，當(dāng)兩者所發(fā)熱量相等時，那么此時測到的直流電壓就是交流電壓，這是可以用理論計算出來的，等于交流電最大值（或峰值）的0.707倍，電流也是這樣。交流電壓或電流表也是按有效值原理制成的，故可以穩(wěn)定地顯示交流電的電壓或電流有效值。我們平常非特別說明，都是指的有效值。有效值電壓、電流、電動勢用大寫字母表示，如U、I、E等，如圖2(a)曲線上的U。極大值用大寫字母下腳加m表示,如Um、Im、Em等。現(xiàn)在再回到向量上來。不同的交流電向量有不同的初相位，他們之間的差稱為相位

6、差。因頻率相同（本文均指同頻率），這個相位差是永久不變的，可以說是“相對靜止”的。就 象幾個人長跑比賽，在發(fā)令槍響時，各處于不同的起跑線上同時起跑，又始終堅持相同的速度，不管跑多少圈，他們的相對位置是不變的。于是我們就能以標(biāo)明初相位的方式將諸多交流電的量表示出來。圖3是兩個電壓向量， U 1的初相位為0，U2的初相位為。因逆時針方向    為正方向， U2引前U1一個角度。圖4畫出三相交流電壓的向量圖， UA初相位為0， UB 初相位240º； UC初相位120º；UA引前UB120º，UB引前UC120º，UC又

7、引前UA120º，此順序稱為正相序。 3交流電量（電壓、電動勢或電流）的相加。交流電路中，經(jīng)常遇到兩個及以上交流電的量（電壓、電動勢或電流）相加或相減的情況。比如兩個同相位的交流電量相加，直接將兩個有效值相加就行了，但我們經(jīng)常遇到的是兩個不同相位的交流電量相加，怎么辦呢？一個辦法是，將各瞬時值加起來，得到一條兩者之和的正弦曲線，再取有效值。不過這樣太麻煩了。第二個辦法就是我們要講的辦法，只須將兩者向量相加，得出向量和。因為曲線是由向量描繪的，向量按一定規(guī)則相加，也等于曲線相加，但方便多了。 4向量的加減運算作圖法。41向量的加法運算平行四邊形法。我們以圖3向量為例，U1、U2相加，作

8、法示于圖5。U1初相位為0，U2初相位為1，先以U2末端為起點作U1平行線，長度與U1相等，再在U1末端作U2的平行線，長度與U2相等；然后從原點出發(fā)連接對角線， 畫上箭頭，就是向量的和U3 ，2是其初相位。如圖5.由平行四邊形法派生出三角形法。只在U2末端作U1的平行線，連接三角形的底邊即可。 假如我們來作圖3左邊兩向量的相加，得出向量和，該和的幅度、相位、頻率（交流電的三要素）具備，也能據(jù)此在右邊描繪出曲線，而等于前兩條曲線之和，所以向量相加和曲線相加是等效的。如果兩個以上交流電量相加，先加好兩個，再將這兩個的和與第三量相加，依次類推。42 向量的減法運算減正等于加負(fù)。還用圖3為例，作法如

9、圖6。U3=U1- U2= U1+（-U2） 先作U2的反向延長線，并與U2長度相等得-U2，然后再用平行四邊形法相加，得U1和U2之差U3 ，2是該向量差的初相位。作圖時用比例尺和量角器，最后用比例尺測量運算結(jié)果。向量的加減運算精確的方法是幾何法和復(fù)數(shù)法。5應(yīng)用實例。51電壓三角形。例1       交流電壓U加于電感和電阻串聯(lián)的電路上,如圖(a),請作電壓關(guān)系的向量圖。作圖：圖7(a)為串聯(lián)電路，交流電壓U是電阻上的電壓降UR與電感上的電壓降UL的向量和。電流I為公共所有，作參考向量，取初相位為0，先作一水平向量I，如圖7(b)

10、。電阻上的電壓降UR根據(jù)理論與電流同相位，應(yīng)作于電流I的向量上。電感上的電壓降，根據(jù)理論其相位較電流越前90º，由此作向量UL，再用三角形法，作出UR與UL的向量和U。注意，UR和UL是不能作代數(shù)相加的。比如UR=100V， UR=120V，那么，他們的和不是220V，而用向量相加是156V（用勾股定理）。 圖7(b) UR、UL 與U組成電壓三角形，是電壓U較電流I引前的角度。同樣，仿此可以作出電阻與電容串聯(lián)電路的電壓三角形，不過在作電容上的電壓降時，電壓UC應(yīng)滯后電流90º。52三相電壓之和。在電壓互感器二次回路中，有將三相電壓線圈首尾分別相連，串聯(lián)起來最后開口，如圖8

11、A，稱“開口三角”，作絕緣監(jiān)視用。如果每相電壓100V，在開口處接一個交流電壓表V，當(dāng)三相電壓平衡時，會指示多少？這是三相電壓的串聯(lián)接法，開口處應(yīng)該是三相電壓相加，但不是300V。這是向量相加,看圖8B。先用平行四邊形法，將UB、UC相加，于是得出一條與UA方向相反、大小相等的向量- UA，再與UA相加，得零。當(dāng)三相電壓平衡時，三相電壓之和為零。53三相電流之和。在電流互感器二次回路中,三相二次電流經(jīng)過負(fù)載（儀表或繼電器電流線圈）后，連接在一起，與N端相連，形成三相電流之和IN ，如圖8B（a）。如果每相電流均為1A，當(dāng)三相電流平衡時，圖中所接交流電流表會指示3A嗎？這是三相電流之向量和，不是

12、3 A。作圖法與上例相仿，三相電流之和為零。但值得一提的是，工程中，常常采用A、C兩相電流互感器，形成A、C兩相電流之向量和，那么，IN=IA+IC= -IB。這時流過電流表的電流是1A。 54交流電的線電壓。現(xiàn)在我們回到本文開頭提到的問題，測量交流電兩相對地電壓均為220V的火線之間的電壓，為什么是380V 。（火線對地電壓稱相電壓，火線之間的電壓稱線電壓）圖9(a)是三只測量兩相火線的交流電壓表及測量接線。當(dāng)每相對地電壓均為220V 且三相電壓平衡時，三只電壓表均指示380 V。我們證明一個就夠了。看圖9(b)?？缃訙y量UA 、UB的線電壓UAB，相當(dāng)于：UAB=UA- UB=

13、UA+（- UB）利用三角法，在UA末端引一條與UB方向相反、大小相等的平行線段-UB，連接三角形底邊，作UA與- UB的相加，即為UAB?，F(xiàn)在來證明UAB的長度。很容易證明，UAB與UA的夾角是30º。從三角形頂點向底邊作一條垂直平分線。那么，1/2 UAB=UAcos30º=0.866UAUAB=2×0.866 UA=1.732 UA當(dāng)UA=220V時，UAB=2×0.866×220V=380V如果對三角函數(shù)掌握不夠，用比例尺按題意作圖，并用比例尺測量結(jié)果也是380V。注意UAB不能寫作UBA，兩者方向是相反的。55三相功率測量的“兩元件法

14、”。電工測量中，對三相三線制有功功率或有功電能的測量，常采用“兩元件法”。第一功率元件P1：取A相電流IA ，線電壓UAB；第二功率元件P2：取C相電流IC ，線電壓UCB；最后將兩元件功率相加。本例要求畫出向量圖表示上述關(guān)系。先畫出兩元件法接線圖如圖10(a)。作向量圖：先作三相電壓向量圖；作A、C兩相電流IA、IC ，按一般功率因數(shù)，分別稍稍滯后UA、UC一個角度1、2；用74例作線電壓UAB ；仿74例先作線電壓UBC，再作UBC的相反向量UCB；標(biāo)出第一元件UAB和IA的夾角30º+1以及第二元件UCB和IC的夾角30º-2。作圖完畢。見圖10（b）。功率計算公式為

15、：P1=IAUABCOS(30º+1)P2=ICUCBCOS(30º-2)P= P1+ P2= IAUABCOS(30º+1) + ICUCBCOS(30º-2) 用向量圖分析接線原理，一目了然?，F(xiàn)在有廠家生產(chǎn)的相位電壓表或多功能測試儀表，可以在表計的顯示屏上一次顯示出圖10（b）所示向量圖來，非常直觀，可以很方便地查出接線錯誤。 6結(jié)束語。    交流電表示為向量，力學(xué)、位移等都是空間向量，而交流電向量是按時間變化的量，是旋轉(zhuǎn)向量。時間向量所以可以用空間向量表示，比如日晷，是按照太陽照射標(biāo)桿在盤面上的投影的旋轉(zhuǎn)表示時間的，這個盤面就是空間。對于交流電的向量，必需注意的是，不同量交流電必須是同頻率