測量不確定度與數(shù)據(jù)處理復習綱要

1、測量不確定度與數(shù)據(jù)處理復習綱要§1 測量及其誤差 1 測量的概念 測量：為確定被測對象的測量值，首先要選定一個單位，然后用這個單位與被測對象進行比較，求出它對該單位的比值倍數(shù)，這個數(shù)即為數(shù)值。表示一個被測對象的測量值時必須包含數(shù)值和單位兩個部分。 目前，在物理學上各物理量的單位，都采用中華人民共和國法定計量單位，它是以國際單位制（SI）為基礎的單位。它是以米（長度）、千克（質(zhì)量）、秒（時間）、安培（電流強度）、開爾文（熱力學溫度）、摩爾（物質(zhì)的量）和坎德拉（發(fā)光強度）作為基本單位，稱為國家單位制的基本單位；其它量（如力、能量、電壓、磁感應強度等等）的單位均可由這些基本單位導出，稱為國

2、際單位制的導出單位。 2 直接測量、間接測量、等精度測量 測量分為直接測量和間接測量。直接測量是指把待測物理量直接與作為標準的物理量相比較，例如用直尺測某長度，間接測量是指按一定的函數(shù)關系，由一個或多個直接測量量計算出另一個物理量。 同一個人，用同樣的方法，使用同樣的儀器并在相同的條件下對同一物理量進行的多次測量，叫做等精度測量。以后說到對一個量的多次測量，如無另加說明，都是指等精度測量。 3 測量的正確度、精密度和精確度 正確度表示測量結(jié)果系統(tǒng)誤差的大小，精密度表示測量結(jié)果隨機性的大小，精確度則綜合反映出測量的系統(tǒng)誤差與隨機性誤差的大小。 4 誤差的概念 測量值x與真值X之差稱為測量誤差，簡

3、稱誤差。 x-X。 誤差的表示形式一般分為絕對誤差與相對誤差。 絕對誤差使用符號±x。x表示測量結(jié)果x與直值X之間的差值以一定的可能性（概率）出現(xiàn)的范圍，即真值以一定的可能性（概率）出現(xiàn)在x-x至x+x區(qū)間內(nèi)。 相對誤差使用符號。由于僅根據(jù)絕對誤差的大小還難以評價一個測量結(jié)果的可靠程度，還需要看測定值本身的大小，故用相對誤差能更直觀的表達測定值的誤差大小。絕對誤差、相對誤差和百分誤差通常只取12位數(shù)字來表示。 5 誤差的分類與來源 一般將誤差分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差三類。 （1）、系統(tǒng)誤差 在相同的測量條件下多次測量同一物理量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，當測量條件改變時，

4、它也按某一確定的規(guī)律而變化，這樣的誤差稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差的來源可歸結(jié)為下幾個方面：儀器誤差、調(diào)整誤差、環(huán)境誤差、方法（或原理）誤差、人員誤差。（2）、隨機誤差在相同的測量條件下多次測量同一物理量時產(chǎn)生的時大時小、時正時負、以不可預知的方式變化的誤差稱為隨機誤差。隨機誤差產(chǎn)生的原因主要是由于各種不確定的因素所造成的測量值的無規(guī)則的漲落。 服從正態(tài)分布的隨機誤差具有下面的一些特性：單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。對稱性：絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同。有界性：有一定測量條件下，誤差的絕對值不超過一定限度。抵償性：隨機誤差的算術(shù)平均值隨著測定次數(shù)的增加而越來越

5、趨向于零，（3）、粗大誤差用當時的測量條件不能解釋為合理的誤差稱為粗大誤差。其產(chǎn)生的主要原因是實驗者在操作、讀數(shù)、記錄、計算等方面的粗心而造成的。含有粗大誤差的測量值會明顯歪曲客觀事實，因而必須用適當?shù)姆椒▽⑵涮蕹?）、誤差的轉(zhuǎn)化由于系統(tǒng)誤差和隨機誤差有時難以分辨，并在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，因此，現(xiàn)代誤差理論已使用不確定度來評價測量結(jié)果，在誤差分類上也不再使用系統(tǒng)誤差這個名詞，而是根據(jù)其來源及是否能用統(tǒng)計方法進行處理，分別歸類于A類不確定度和B類不確定度。6 測量結(jié)果的最佳值與隨機誤差的估算(1)、測量結(jié)果的最佳值算術(shù)平均值設對某一物理量進行了幾次等精度的重復測量，所得的一系列測量值分別

6、為：x1、x2、xixn。測量結(jié)果的算術(shù)平均值為：。 xi是隨機變量，也是一個隨機變量，隨著測量次數(shù)n的增減而變化。由隨機誤差的上述統(tǒng)計特性可以證明，當測量次數(shù)n無限增多時，算術(shù)平均值就是接近真值的最佳值。(2)、隨機誤差的表示法隨機誤差的大小常用標準誤差、平均誤差和極限誤差表示。（3）、隨機誤差的估算由于真值X無法知道，因而誤差i也無法計算。但在有限次測量中，算術(shù)平均值是真值的最佳估算值，且當時，。所以，我們可以用各次測量值與算術(shù)平均值之差殘差或偏差來估算誤差。 ， i是可以計算的，當用i來計算標準誤差時，稱之為標準偏差。a . 標準偏差使用符號x表示，其計算式為：。 標準偏差x所表示的意義

7、是：任一次測量值xi的誤差落在（±x）范圍內(nèi)的概率為68.3%。b. 平均值的標準偏差使用符號表示，其計算式為：， 平均值的標準偏差是n次測量中任一次測量值標準誤差的倍。它表示在范圍內(nèi)包含真值X的可能性是68.3%。 7有限次測量的情況和t因子測量次數(shù)趨于無窮只是一種理論情況，這時物理量的概率密度服從正態(tài)分布。當次數(shù)減少時，概率密度曲線變得平坦，成為t分布，也叫學生分布。當測量次數(shù)趨于無限時，t分布過渡到正態(tài)分布。對有限次測量的結(jié)果，要使測量值落在平均值附近，具有與正態(tài)分布相同的置信概率，P =0.68，顯然要擴大置信區(qū)間，擴大置信區(qū)間的方法是把x乘以一個大于1的因子tP。在t分布下

8、，標準偏差記為 xt = tPx，tP與測量次數(shù)有關。表1-1 tp與n的關系tP nP34567891015200.681.321.201.141.111.091.081.071.061.041.0310.902.922.352.132.021.941.861.831.751.731.711.650.954.303.182.782.572.462.372.312.262.152.091.960.999.935.844.604.033.713.503.363.252.982.862.58例 測量某一長度得到9個值：42.35，42.45，42.37，42.33，42.30，42.40，42.4

9、8，42.35，42.29（均以mm為單位）。求置信概率為0.68、0.95、0.99時，該測量列的平均值、標準偏差x。解：計算得到平均值=42.369mm計算得到標準偏差x = 0.021mm。n=9，查表得P=0.68, t=1.07, 由式xt = tPx得xt =1.07×0.021mm=0.022mmP=0.95, t=2.31, xt =2.31×0.021mm=0.048mmP=0.95, t=3.36, xt =3.36×0.021mm=0.070mm8儀器誤差儀器的最大允差儀：儀器的最大允差就是指在正確使用儀器的條件下，測量所得結(jié)果的最大允許誤差

10、。一般儀器誤差的概率密度函數(shù)遵從均勻分布。均勻分布：在儀范圍內(nèi)，各種誤差（不同大小和符號）出現(xiàn)的概率相同，區(qū)間外出現(xiàn)的概率為0。9儀器的標準誤差儀對于均勻分布的儀器最大允許誤差，可計算得標準誤差為：。 §2 有效數(shù)字及其運算測量結(jié)果的數(shù)字中，只保留一個欠準數(shù)，即數(shù)字的最后一位是欠準數(shù)，其余都是可靠數(shù)。測量結(jié)果中所有可靠數(shù)字和一個欠準數(shù)統(tǒng)稱為有效數(shù)字。它們正確而有效地表示了實驗的結(jié)果。1、直接測量的讀數(shù)原則直接測量讀數(shù)應反映出有效數(shù)字，所以在直接測量讀數(shù)時：（1）應估讀到儀器最小刻度以下的一位欠準數(shù)；（2）有效數(shù)字位數(shù)的多少既與使用儀器的精度有關，又與被測量本身大小有關。2、多次直接測

11、量結(jié)果的有效數(shù)字取舍規(guī)則一般只取12位數(shù)字，因此的末位數(shù)應取在x所取的一位上，即末位與x的一位對齊。關于和x尾數(shù)的取舍，常采用下列的法則：（1）遇尾數(shù)為4或4以下的數(shù)，則“舍”。（2）遇尾數(shù)為6或6以上的數(shù)，則“入”。（3）遇尾數(shù)為5的數(shù)，要看前一位。前一位為奇數(shù)，則“入”，前一位為偶數(shù)則“舍”。3、有效數(shù)字運算規(guī)則運算結(jié)果的有效數(shù)字應由誤差計算結(jié)果來確定。但是，在作誤差計算以前的測量值運算過程中，可由有效數(shù)字運算規(guī)則進行初次的取舍，以簡化運算過程。有效數(shù)字的取舍的總原則是：運算結(jié)果只保留一位欠準數(shù)。4、量具和儀器的有效數(shù)字對于標刻度的量具和儀器，如果被測量量很明確，照明好，儀器的刻度清晰，要

12、估讀到最小刻度的幾分這一（如1/10、1/5、1/2）。這最小刻度的幾分之一，即為測量值的估計誤差，記作估，測量值中能讀準的位數(shù)加上估讀的這一位為有效數(shù)字。§3 測量的不確定度1 不確定度的概念及計算測量不確定度是與測量結(jié)果相關聯(lián)的參數(shù)，表征測量值的分散性、準確性和可靠程度，或者說它是被測量值在某一范圍內(nèi)的一個評定。測量不確定度分為A類標準不確定度和B類標準不確定度。一個完整的測量結(jié)果不僅要給出該測量值的大小，同時還應給出它的不確定度，用不確定度來表征測量結(jié)果的可信賴程度，測量結(jié)果應寫成下列標準形式：=x±U（單位），Ur=±U/x×100% 式中x為測

13、量值，對等精度多次測量而言，x是多次測量的算術(shù)平均值：U為不確定度，Ur為相對不確定度。A類標準不確定度A類標準不確定度是在一系列重復測量中，用統(tǒng)計方法計算的分量，它的表征值用平均值的標準偏差表示，即 考慮到有限次測量服從t分布，A類標準不確定度應表示為：B類標準不確定度測量中凡是不符合統(tǒng)計規(guī)律的不確定度統(tǒng)稱為B類不確定度，記為UB。對一般有刻度的量具和儀表，估計誤差在最小分格的1/101/5，通常小于儀器的最大允差儀。所以通常以儀表示一次測量結(jié)果的B類不確定度。實際上，儀器的誤差在儀，儀范圍內(nèi)是按一定概率分布的。一般而言，uB與儀的關系為uB=儀/C C稱置信系數(shù)。正態(tài)分布條件下，測量值的B

14、類不確定度 kP稱置信因子，置信概率P與kP的關系見下表：表 P0.5000.6830.9000.9500.9550.9900.997kP0.67511.651.9622.583根據(jù)概率統(tǒng)計理論，在均勻分布函數(shù)條件下，一次測量值的B類標準差UB=kPuB=kP儀/C，C =，當P=0.683時，kP=1，即UB=/。在正態(tài)分布條件下，一次測量值的B類標準差UB=kPuB=kP儀/C，C =3，當P=0.683時，kP=1，即UB=/3。C 合成標準不確定度和展伸不確定度假設測量誤差在-B，B范圍內(nèi)服從正態(tài)分布，這時B類標準不確定度為uB=B /C，測量值的合成標準不確定度為 P =0.68 將

15、合成標準不確定度乘以一個與一定置信概率相聯(lián)系的包含因子（或稱覆蓋因子）K，得到增大置信概率的不確定度，叫做擴展不確定度。若置信概率為0.95, K=2U0.95=2U0.68=2 P =0.95 若置信概率為0.99, K=3U0.99=3U0.68=3 P =0.99 。2 測量結(jié)果的表示根據(jù)所用的置信概率，測量結(jié)果的最終表達式為 X=±U0.68 P =0.68 X=±U0.95 P =0.95 X=±U0.99 P =0.99式中為不含系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果，通常就是測量列的平均值。不確定度取1位或2位有效數(shù)字，測量值X的最后一位與不確定度的最后一位對齊。 3

16、標準不確定度的傳遞與合成間接測量量 y=f (x1,x2,xn) 其中x1,x2,xn如果為相互獨立的直接測量量，則有間接測量量的不確定度： 其中u(xi)為測量量xi的標準不確定度，常用的函數(shù)不確定度傳遞公式在下表列出。常用函數(shù)不確定度傳遞公式函數(shù)表達式傳遞（合成）公式W=x±yW=x·yW=x / yW=W=kxW=kW=sin xUW=|cos x|UxW=ln x求間接測量結(jié)果的不確定度的步驟如下：（1）對函數(shù)求全微分（對加減法），或先取對數(shù)再求全微分（對乘除法）；（2）合并同一分量的系數(shù)，合并時，有的項可以相互抵消，從而得到最簡單的形式；（3）系數(shù)取絕對值；（4）

17、將微分號變?yōu)椴淮_定度符號；（5）求平方和。§4常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法有：列表法、作圖法、回歸法和逐差法。1 列表法數(shù)據(jù)在列表處理時，應該遵循下列原則：（1）各欄目（縱或橫）均應標明名稱及單位，若名稱用自定的符號，則需加以說明。（2）列入表中的數(shù)據(jù)主要應是原始測量數(shù)據(jù)，處理過程中的一些重要中間結(jié)果也應列入表中。（3）欄目的順序應充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算的程序，力求簡明、齊全，有條理。（4）若是函數(shù)測量關系的數(shù)據(jù)表，則應按自變量由小到大或由大到小的順序排列。列表法是其他數(shù)據(jù)處理的基礎。2 作圖法（1）圖示法選取合適的坐標紙，把兩組互相關聯(lián)的物理量的每一對測量值標記成坐標紙上的

18、一個點，用符號“+”表示，叫作數(shù)據(jù)點，然后根據(jù)實驗的性質(zhì)，把這些點連成折線，或擬合成直線或曲線，這就是圖示法。圖示法要注意以下幾點：1）要根據(jù)需要選用直角坐標紙、對數(shù)坐標紙、半對數(shù)坐標紙、極坐紙等。2）坐標紙面積的大小應與數(shù)據(jù)的有效位數(shù)相匹配。如果實驗數(shù)據(jù)很精確，而坐標紙很小，作圖的誤差就遠遠超過了實驗誤差。3）用數(shù)據(jù)點擬合非線性關系的曲線時，最好借助云形規(guī)（也稱曲線板），以使擬合的曲線光滑。各數(shù)據(jù)點到所擬合的曲線（沿縱軸方向）的距離之和應為最小。4）每個圖都要在底部或頂部空白處標出圖的名稱，如“電壓表校準曲線”、“pV”圖等。5）要畫坐標軸，軸上應有標度值，標度值不一定從零開始，習慣上，橫軸

19、代表自變量，縱軸代表應變量，坐標軸端可畫箭頭，在箭頭外標明該軸所代有的物理量名稱及單位（最好都用符號表示，如t/）。如果不畫箭頭，則在軸中部、軸的外側(cè)標記，在縱軸上標記時，應將紙轉(zhuǎn)90°，即沿著軸的方向書寫。6）測量值都有誤差，把縱軸所代表的物理量的測量值及其誤差用一定長的直線段標在圖上，這個小線段叫作誤差桿。桿的中心點對應于測量值，誤差桿用一些符號來表示，其長度代表該測量值的誤差范圍yi。（2）圖解法解實驗方程為簡單起見，若數(shù)據(jù)點擬合成一條直線，則可以進一步求出反映該實驗物理規(guī)律的解析方程線性方程，線性方程的一般形式為 y=ax+b 參數(shù)a為直線的斜率，b為直線在y軸上的截距。圖解法求解實驗方程，其參數(shù)的誤差與所有測量數(shù)據(jù)