淺談化歸思想在解析幾何中的應(yīng)用

1、淺談化歸思想在解析幾何中的應(yīng)用（范金衛(wèi) 05級本科一班 指導(dǎo)老師: 閆彥宗）摘要: 化歸思想貫穿于解析幾何全部內(nèi)容, 是蘊涵在解析幾何知識中的主要數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想的含義、根本特征及模式作了初步探討, 并結(jié)合解析幾何的相應(yīng)知識進一步挖掘化歸思想.關(guān)鍵詞: 化歸思想; 解析幾何; 數(shù)學(xué)思想方法.1化歸思想的含義、模式及根本特征在對問題作仔細觀察的基礎(chǔ)上, 展開豐富的聯(lián)想, 以求喚起對有關(guān)舊知識的回憶, 開啟思維的大門, 順利地借助舊知識、舊經(jīng)驗來處理面臨的新問題, 這種數(shù)學(xué)思想稱之為“化歸思想”1 . 數(shù)學(xué)史上, 對化歸思想給出具有代表意義的作品是G·波利亞在1944年發(fā)表的怎樣解

2、題表, 這張表集中體現(xiàn)了化歸思想在解決數(shù)學(xué)問題上的精華G·波利亞提出的數(shù)學(xué)解題思維過程的四個階段, 即: 弄清問題, 擬定計劃, 實現(xiàn)計劃和回顧這四個階段的思想實質(zhì)是: 理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思.G·波利亞在這張表中用了一系列的問題, 啟發(fā)找到解題途徑, 這種思維過程的正確探索程序其思想核心在于不斷變換問題, 連續(xù)地簡化問題, 把數(shù)學(xué)解題看成問題的化歸過程, 最終歸結(jié)到熟悉的基本問題加以解決, 其模式為2:圖1 客觀事物是不斷發(fā)展變化的, 事物之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化是現(xiàn)實世界的普遍規(guī)律1數(shù)學(xué)中充滿了矛盾, 如: 已知與未知、復(fù)雜與簡單、熟悉與陌生、困難和容易等1實現(xiàn)這些矛盾的轉(zhuǎn)

3、化、化未知為已知, 化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易就是化歸思想的實質(zhì)1任何數(shù)學(xué)問題的解決過程都離不開轉(zhuǎn)化過程1所以, 化歸是最基本的數(shù)學(xué)思想, 是數(shù)學(xué)中用以解決問題的最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一.化歸的基本思想是: 人們在解決數(shù)學(xué)問題時,常常是將待解決的問題A, 通過某種轉(zhuǎn)化手段, 歸結(jié)為另一個問題B, 而問題B是相對較易解決或已有固定解決程序的問題, 且通過對問題B的解決可以得到原問題的解答可表示為圖2 :關(guān)于化歸方法, 匈牙利著名女數(shù)學(xué)家羅莎·彼得在她的名著無窮的玩藝中曾經(jīng)做過十分生動的描述【3】. 她說: “假如在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴.”羅莎的比喻很形象地導(dǎo)

4、出了化歸思想的根本特征: 在解決問題的過程中, 不是直接攻擊問題, 而是對此問題進行變形、轉(zhuǎn)化、歸納, 設(shè)法將所面臨的新問題轉(zhuǎn)化為某一個或某些已經(jīng)解決過的、規(guī)范化的問題, 以便運用已有的理論、方法和技術(shù)使問題得到解決.學(xué)生學(xué)習(xí)化歸思想時, 應(yīng)明確化歸方法的三個基本要素: (1) 化歸對象; (2) 化歸目標; (3) 化歸方法. 當前需要解決的問題是化歸的對象; 熟悉化、簡單化和直觀化是一切化歸應(yīng)遵循的基本原則; 實施化歸的關(guān)鍵是實現(xiàn)問題的規(guī)范化、模式化; 化未知為已知, 化難為易, 化繁為簡, 化一般為特殊, 化抽象為具體等是化歸的方向; 實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的途徑和轉(zhuǎn)化的手段稱之為化歸的方法.2

5、化規(guī)思想在解析幾何中的應(yīng)用解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，最根本的做法就是設(shè)法把空間幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量化4，即先把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用代數(shù)的知識解決后，再到幾何中去. 因此，化歸思想是解析幾何的基本思想，在解析幾何學(xué)習(xí)中，劃歸思想的體現(xiàn)處處可見.例1 證明了兩個問題的數(shù)量積滿足交換律及兩個向量的數(shù)量積右分配律之后，緊接著要證明兩個向量的數(shù)量積滿足左分配律。即：. 證明此結(jié)論時，就不必要象證明右分配律那樣借助幾何作圖法和向量在軸上的射影的相關(guān)知識證明了，而是利用化歸思想，結(jié)合兩個向量的數(shù)量積滿足交換律，把兩個向量的數(shù)量積的左分配律轉(zhuǎn)化為右分配律，然后利用右分配律把式子

6、展開即得所要結(jié)論. 證明過程如下：.例2 以知, 是三個兩兩不共線的向量，且有證得三點共線的充分必要條件是：分析：要證明三點共線，最直接的工具是向量共線定理，而這里面和是已知三個向量的分解式中的系數(shù)，所以這里要找出向量共線定理與和的聯(lián)系.證明：必要性，因為三點共線，所以有與共線，即 = 又是不同的三點，所以,于是， 從而有 ， 而 根據(jù)向量共線定理可得： += 三點共線時有.充分性:假設(shè)成立，那么.由得 即 又與共點三點共線.例3 證明:已知分別是三角形三邊上的定必分點,如果他們把 三角形的邊分成定比, , . 那么三點共線的充要條件是: .分析:要證明三點共線的充要條件與 這三個比值有關(guān)聯(lián)想

7、到和已知解過的例2結(jié)論相似,問題可不可以化歸為用例1的結(jié)論呢? 也即找出關(guān)于點的向量,的線性分解式. 事實上, ,.由已知.而即: =,同理 .所以+到這里問題完全就化規(guī)為例2,從而原題得證.對于兩向量共線問題,可以通過下圖3【5】化未知為已知,化復(fù)雜為簡單,化陌生為熟悉,化困難為容易來尋找解題策略. 對于直線與空間相關(guān)位置的判定轉(zhuǎn)化為相關(guān)的法向量及方向向量垂直與否的判定等,在空間曲面的研究中,像橢球面,雙曲面,拋物面等.利用平行線平面截割法將復(fù)空間圖形的研究化歸為比較熟悉的平面曲線的研究等,都是化歸思想在起作用.例4 識別方程所表示的圖形 (1) 解：曲面（1）被三坐標面截得的曲面分別為：（2） （3） （4）其中，（2）為坐標面上的雙曲線，（3）為坐標面上的橢圓，（4）為坐標面上的雙曲線. 曲面(1)被平行于坐標面的一族平行平面截得的一族曲線為: 即: (5)這是一組橢圓,其中的任一橢圓的雙頂點與分別在雙曲線(2)和(4).這樣就可以推想出曲面(1)的大致形狀,并且當截線(2),(3),(4),(5)畫出后,就可以得到它的大致圖形了.參考文獻: 1 孔企平 張維忠 黃榮金. 數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) M . 北京:高等教育出版社, 2003. 2 曹才翰 章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)M . 北京:北京師范大學(xué)出版社, 2006. 3 朱成杰. 數(shù)