概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第一章教案

1、 第一講 概率的定義及性質(zhì) 授課題目 1.0 概率論研究的對(duì)象1.1 隨機(jī)試驗(yàn)1.2 樣本空間、隨機(jī)事件1.3 頻率與概率，概率的性質(zhì) 教學(xué)目的與要求1、理解隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等概念 2、理解樣本空間、樣本點(diǎn)的概念,會(huì)用集合表示樣本空間和事件 3、掌握事件的基本關(guān)系與運(yùn)算 4、掌握概率的性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：事件的基本關(guān)系與運(yùn)算，概率的性質(zhì)難點(diǎn)：用集合表示樣本空間和事件 講授內(nèi)容：1.0 概率論研究的對(duì)象一 兩類現(xiàn)象-確定現(xiàn)象與不確定現(xiàn)象先從實(shí)例來看自然界和社會(huì)上存在著兩類不同的現(xiàn)象.例1 水在一個(gè)大氣壓力下,加熱到100就沸騰.例2 向上拋擲一個(gè)五分硬幣,往下掉.例

2、3 太陽從東方升起.例4 一個(gè)大氣壓力下,20的水結(jié)冰.例1,例2,例3是必然發(fā)生的,而例4是必然不發(fā)生的.個(gè)確切結(jié)果)稱之為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象.微積分,線性代數(shù)等就研究必然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具.與此同時(shí),在自然界和人類社會(huì)中,人們還發(fā)現(xiàn)具有不同性質(zhì)的另一類現(xiàn)象先看下面實(shí)例.例5 用大炮轟擊某一目標(biāo),可能擊中,也可能擊不中.例6 在相同的條件下,拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,其結(jié)果可能是正面(我們常把有幣值的一面稱作正面)朝上,也可能是反面朝上.例7 次品率為50%的產(chǎn)品,任取一個(gè)可能是正品,也可能是次品.例8 次品率為1%的產(chǎn)品,任取一個(gè)可能是正品,也可能是正品. 例5例8這類現(xiàn)象歸納起來可以看作在相同

3、條件下一系列的試驗(yàn)或觀察,而每次試驗(yàn)或觀察的可能結(jié)果不止一個(gè),在每次試驗(yàn)或觀察之前無法預(yù)知確切結(jié)果,即呈現(xiàn)出不確定性(即這些現(xiàn)象的結(jié)果事先不能完全確定),這一類型現(xiàn)象我們稱之為不確定性現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象,也稱之為隨機(jī)現(xiàn)象. 二 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性、概率論研究的對(duì)象 對(duì)于不確定性現(xiàn)象,人們經(jīng)過長時(shí)期的觀察或?qū)嵺`的結(jié)果表明,這些現(xiàn)象并非是雜亂無章的,而是有規(guī)律可尋的.例如,大量重復(fù)拋一枚硬幣,得正面朝上的次數(shù)與正面朝下的次數(shù)大致都是拋擲總次數(shù)的一半.在大量地重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性,就是我們以后所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.而概率論正是研究這種隨機(jī)(偶然)現(xiàn)象,尋找他們的內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科. 概率

4、論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ),由于隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性,使得概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有及其廣泛的應(yīng)用.另一方面,廣泛的應(yīng)用也促進(jìn)概率論有了極大的發(fā)展. 1.1 隨機(jī)試驗(yàn) 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的試驗(yàn)或觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡稱試驗(yàn),它具有下列特性(征):(1) 試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;(2) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);(3) 每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但在一次試驗(yàn)之前不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.隨機(jī)實(shí)驗(yàn)記為E.例1 E1:投擲一枚硬幣,觀察正反面朝上的情況.它有兩種可能的結(jié)果就是“正面朝上”或“反面朝上”,投擲之前不能預(yù)言哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，且這個(gè)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行，所以

5、E1是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。例2 E2：擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。它有6種可能的結(jié)果就是“出現(xiàn)1點(diǎn)”，“出現(xiàn)2點(diǎn)”，“出現(xiàn)6點(diǎn)”。但在投擲之前不能預(yù)言哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，且這個(gè)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行，所以E2是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。例3 E3：在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試他的壽命。我們知道燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）t0,但在測(cè)試之前不能確定它的壽命有多長，這一試驗(yàn)也可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行，所以E3是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。1.2 樣本空間、 隨機(jī)事件對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)我們感興趣的是試驗(yàn)結(jié)果。隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能的結(jié)果，稱之為基本事件，它是不能再分的最簡單的事件。因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確的，從而所有的基本事件也是明

6、確的，我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的所有基本事件所組成的集合（全體）叫做試驗(yàn)E的樣本空間，通常用字母表示，中的點(diǎn)，即基本事件。有時(shí)也稱做樣本點(diǎn)，常用表示。例4 試驗(yàn)E2：投擲一枚硬幣?！罢娉稀焙汀胺疵娉稀笔荅1的基本事件，所以樣本空間=正，反。例5 試驗(yàn)E2：擲一顆骰子。 令i表示“出現(xiàn)i點(diǎn)”。（i=1，2，6），是E2的基本事件，所以樣本空間=1，2，8。例6 試驗(yàn)E3：測(cè)試燈泡壽命。 令t表示“測(cè)得燈泡壽命為t小時(shí)”，則0t+是E3的基本事件，所以=t|0t+.例7 一個(gè)盒子中有十個(gè)相同的球，但5個(gè)是白色的，另外5個(gè)是黑色的，攪勻后從中任意摸取一球。令1=取得白球，2=取得黑球，則=1，2。例8

7、 試驗(yàn)E4：將一硬幣拋擲兩次。則=（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。其中（正，正）表示“第一次正面朝上，第二次正面朝上”，余類推。 例9 個(gè)盒子中有十個(gè)完全相同的球，分別標(biāo)以號(hào)碼1，2，10，從中任取一球，令i=取得球的標(biāo)號(hào)為i,則=1，2，10。 在隨機(jī)試驗(yàn)中，有時(shí)關(guān)心的是帶有某些特征的基本事件是否發(fā)生。如在例5中E2試驗(yàn)，我們可以研究 A表示“出現(xiàn)2點(diǎn)”即A=出現(xiàn)2點(diǎn) B表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)” C表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)4”這些結(jié)果是否發(fā)生？ 在例9中，我們可以研究 D=球的標(biāo)號(hào)=6 E=球的標(biāo)號(hào)是偶數(shù) F=球的標(biāo)號(hào)5這些結(jié)果是否發(fā)生？ 其中A是一個(gè)基本事件，而B是由出現(xiàn)2點(diǎn)，出現(xiàn)4點(diǎn)和

8、出現(xiàn)6點(diǎn)這三個(gè)基本事件組成的，當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)基本事件中有一個(gè)發(fā)生，B發(fā)生。所以B，C，E，F(xiàn)是由若干個(gè)有某些特征的基本事件所組成的，相對(duì)與基本事件，就稱她們是復(fù)合事件。無論是基本事件還是復(fù)合事件，它們?cè)谠囼?yàn)中發(fā)生與否，艘?guī)в须S機(jī)性，所以都叫隨機(jī)事件或簡稱事件，今后我們常用大寫字母A，B，C等表示事件。 我們已經(jīng)知道樣本空間包含了全體基本事件，而任一隨機(jī)事件不過是有某些特征的基本事件所組成，所以從集合論的觀點(diǎn)來看，任一隨機(jī)事件不過是樣本空間的一個(gè)子集而已，而且時(shí)間發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生。如在例5中，隨機(jī)事件A、B、C都是的子集，它們可以簡單地表示為 =1，2，3，4，5，6 A=2

9、，B=2，4，6 C=1，2，3，4在例9中 =1，2，10 D=6，E=2，4，5，8，10 F=1，2，3，4，5 事件D只含一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，而在事件E和F中各含5個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果。所以我們也可以這樣說，只包含一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的事件為基本事件，由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本事件復(fù)合而成的事件為復(fù)合事件。 在試驗(yàn)E中必然會(huì)發(fā)生的事情叫必然事件，不可能發(fā)生的事情叫不可能事件，例如例5E2中“點(diǎn)數(shù)不大于6”是必然事件，“點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件，因?yàn)槭撬谢臼录M成的，因而在任一次試驗(yàn)中，必然要出現(xiàn)中的某一基本事件，即。也就是在試驗(yàn)中，必然會(huì)發(fā)生，所以今后用來代表必然事件，類似地，空集可以看作是的子集，它在

10、任一次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，所以是不可能事件。必然事件和不可能事件的發(fā)生與否，已經(jīng)失去了今后研究的方便，我們把它們當(dāng)作一種特殊的隨機(jī)事件。 小結(jié) 將隨機(jī)事件表示成由樣本點(diǎn)組成的集合，就可以將事件間的關(guān)系和運(yùn)算歸結(jié)為集合之間的關(guān)系和運(yùn)算，這不僅對(duì)研究事件的關(guān)系和運(yùn)算是方便的，而且對(duì)研究隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)概率的運(yùn)算也是非常有益的。 三 事件之間的關(guān)系和運(yùn)算 一個(gè)樣本空間中，可以有很多的隨機(jī)事件。概率論的任務(wù)之一，是研究隨機(jī)事件的規(guī)律，通過對(duì)簡單事件規(guī)律的研究去掌握更復(fù)雜事件的規(guī)律。為此，下面我們引進(jìn)事件之間的一些重要關(guān)系和運(yùn)算，通過研究事件間的各種關(guān)系，進(jìn)而研究事件間的概率的各種關(guān)系，

11、就有可能利用較簡單事件的概率去推算較復(fù)雜的事件的概率。 在以下的敘述中，設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為，還給了中的一些事件，如A，B，Ak(K=1,2,)等等。（一）事件的包含及相等 如果事件A的發(fā)生必然導(dǎo)致事件B的發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或稱事件A是事件B的特款（子事件），記作AB或BA，比如在例5中，A=2，B=2，4，6，顯然AB。 如果將事件用集合表示，則A是B的子事件即為A是B的子集合（B包含集合A）。用圖1。1（a）給包含關(guān)系一個(gè)直觀的幾何解釋，設(shè)樣本空間是一個(gè)正方形，園A與園B分別表示事件A與事件B，由于A中的點(diǎn)全在B中，所以事件B包含事件A。 如果有AB且BA，則稱事件A與事件B相等

12、，記作A=B。易知，相等的兩個(gè)事件A、B，總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生，亦即A=B等價(jià)于它們是由相同的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的。 如在例9中，若A=球的標(biāo)號(hào)為偶數(shù)，B=球的標(biāo)號(hào)為2、4、6、8、10，則顯然有A=B，所謂A=B，就是A、B中含有相同的樣本點(diǎn)。 對(duì)任一事件A，有A。 （二）事件的和（并） “二事件A與B中至少有一個(gè)事件發(fā)生”，這樣的一個(gè)事件叫做事件A與B的和（或并），記作AB（或A+B）。 AB是由所有包含在A中的或包含在B中的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成。 如果將事件用集合表示，則事件A與B的和事件AB即為集合A與B的并。如圖1.1（b）所示。 如在例5中，A=2，4，6，B=1，2，3，4則C=AB=1，

13、2，3，4，6。 事件的和可推廣到有限多個(gè)事件和可列（數(shù)）無窮多個(gè)事件的情形。 用A1A2An或Ai表示A1，A2，Ai中至少發(fā)生其一這一事件，用A1A2或Ai表示A1，A2中至少發(fā)生其一這一事件。 （三）事件的積（交） “二事件A與B同時(shí)發(fā)生”這樣的事件稱作事件A與B的積（或變），記作AB或AB。AB是由既包含在A中又包含在B中的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成，它對(duì)應(yīng)與圖1.1（c）中的陰影部分。 如在例5中，A=2，4，6，B=1，2，3，4，則 C=AB=2，4 如果將事件用集合表示，則事件A與B的積事件C即為集合A與B的交。 類似地，也可以將事件的積推廣到有限多個(gè)和可列（數(shù)）無窮多個(gè)事件的情況。 用A1

14、A2Ai或A1，A2，An同時(shí)發(fā)生這一事件；用A1A2或表示A1，A2，同時(shí)發(fā)生的事件。 （四）事件的差 “事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這樣的事件稱為事件A與B的差，記作A-B。A-B是由所有包含在A中而不包含在B中的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成，它對(duì)應(yīng)于圖1.1（d）中的陰影部分。 比如例5中，A=2，4，6，B=1，2，3，4，則C=A-B=6。 由事件的差的定義可知，對(duì)于任意的事件A，有A-A=，A-=A，A-=。 （五）事件的差 如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說AB是一個(gè)不可能事件，即AB=，則稱二事件A與B是互不相容的（或互斥的）。A，B互不相容等價(jià)于它們不包含相同的試驗(yàn)結(jié)果。互不相容事件A與

15、B沒有公共的樣本點(diǎn)，如圖1.1（e）所示。 若用集合表示事件，則A，B互不相容即為A與B是不交的。 如果n個(gè)事件A1，A2，An中，任意兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即 AiAj=(1ijn) 則稱這n個(gè)事件A1，A2，An是互不相容的（或互斥的）。在任意一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中基本事件都是互不相容的。還容易看出，事件A與B-A是互不相容的。 （六）對(duì)立事件 若A是一個(gè)事件，令=-A，稱是A的對(duì)立事件或逆事件。容易知道，在一次試驗(yàn)中，若A發(fā)生，則必不發(fā)生（反之亦然），即A與中必然有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生，即事件A與滿足條件 A=，A=。 由所有不包含在A中的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成，圖1.1（f）中陰影部分表示。 比如

16、例5中，A=2，4，6，B=1，3，5，則=B，=A，所以A，B互為對(duì)立事件。必然事件與不可能事件也是互為對(duì)立事件。 若A，B二事件是互為對(duì)立事件。則A，B必互不相容，但反之不真。 由事件關(guān)系的定義看出，它與集合的關(guān)系是一致的，因此集合的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)事件的運(yùn)算也都適用。 事件的運(yùn)算法則：1. 交換律 AB=BA，AB=BA。2. 結(jié)合律 ABC=A(BC)=(AB) C ABC=(AB)C=A(BC)3. 分配律 A(BC)=ABAC ABC=(AB)(AC)4. 對(duì)偶性 =,= 例10 擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：事件A表示“奇數(shù)點(diǎn)”；B表示“點(diǎn)數(shù)小于5”；C表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)”。用集

17、合的列舉法表示下列事件：，A，B，C，AB，A-B，AB，AC，C-A， 解 =1，2，3，4，5，6 A=1，3，5 B=1，2，3，4 C=2，4 AB=1，2，3，4，5A- B=5AB=1，3AC=B- A=2，4=1，2，3，4，6例11 設(shè)A，B，C是三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：（1）B，C都發(fā)生，而A不發(fā)生。（2）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生。ABC（3）A，B，C中恰有一個(gè)發(fā)生。（4）A，B，C中恰有兩個(gè)發(fā)生。（5）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生。（6）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。例12 事件Ai表示某射手第i次（i=1,2,3）擊中目標(biāo)試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录海?）A

18、1A2表示前二次中至少有一次擊中目標(biāo)； （2）A1A2A3表示三次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)； （3）表示第三次射擊未擊中目標(biāo)； （4）A2-A3=A2表示第二次射擊目標(biāo)而第三次射擊目標(biāo)未擊中目標(biāo)； (5）表示后兩次射擊均擊中目標(biāo)； （6）表示前兩次射擊中至少有一次未擊中目標(biāo)。 1.3 頻率與概率 在相同的條件下,進(jìn)行了n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率,并記為fn(A). 我們觀察一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的各種事件，就其一次具體的試驗(yàn)而言，其結(jié)果帶有很大的偶然性，似乎沒有規(guī)律可言。但是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，頻率fn(A)就可能呈現(xiàn)一定的規(guī)律性

19、。就會(huì)發(fā)現(xiàn)某些事件發(fā)生的可能性大些，另外一些事件發(fā)生的可能性小些，而有些事件發(fā)生的可能性大些，而有些事件發(fā)生的可能性大致相同。比如一個(gè)口袋中裝有10個(gè)球，其中8個(gè)紅球，2個(gè)白球。從中任意摸出一個(gè)球，則摸到紅球的可能性就比摸到白球的可能性大。假如這10個(gè)球中的紅球和白球都是5個(gè)，則默禱紅球和摸到白球的可能性就大致相同。所以一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小是它本身所固有的，不依人們的主觀意志而改變的一種客觀的度量。很自然，人們希望用一個(gè)數(shù)量來刻劃事件發(fā)生的可能性大小，而且事件發(fā)生可能性大的，這個(gè)數(shù)就大，事件發(fā)生可能性小，這個(gè)數(shù)就小。 我們將刻劃事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱作該事件發(fā)生的概率，并用P（A

20、）表示事件A發(fā)生的概率。二 隨機(jī)事件的概率，概率的統(tǒng)計(jì)定義 （一） 頻率 概率的古典定義是以等可能性為基礎(chǔ)的，但在很多實(shí)際問題中等可能性不一定成立。為了在一般情況下仍可用數(shù)量來描述事件發(fā)生的可能性大小，我們引進(jìn)頻率的概念。 定義2 設(shè)事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)n次，比值 f(A)= 叫做事件A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。 試考察下面的例子： 例14 在同樣條件下，多次拋一硬幣，考察“正面朝上”的次數(shù)。投擲次數(shù)n出現(xiàn)正面次數(shù) n頻率 n/n204810610.518404020480.50681200060190. 501624000120120.5005 例15 一口袋中有6只乒乓球，其中4白，2紅

21、。每次試驗(yàn)任取一球，觀察顏色紅作記錄，放回袋中攪勻，再重復(fù).取球次數(shù)n出現(xiàn)白球次數(shù)n頻率n/n2001390.6954002010.6536004010.668 對(duì)例14 例15進(jìn)行分析： 例14中，頻率在0.5附近擺動(dòng)，當(dāng)n增大時(shí)，逐漸穩(wěn)定于1/2；例15中，頻率在0.66附近擺動(dòng)，當(dāng)n增大時(shí)，逐漸穩(wěn)定于2/3。 經(jīng)驗(yàn)表明，雖然在n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)n不確定，因而事件A的頻率n/n也不確定，但是當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)多次時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率具有一定的穩(wěn)定性。這就是說，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分多時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率常在一個(gè)確定的數(shù)字附近擺動(dòng)。這種頻率的穩(wěn)定性，說明隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是事件本身固有的。不

22、依人們意志而改變的一種客觀屬性，那么用這個(gè)數(shù)字（常數(shù)）來刻劃事件A發(fā)生的可能性大或小，這是比較恰當(dāng)，這是我們下面將給出概率統(tǒng)計(jì)定義的客觀基礎(chǔ)。 易知頻率具有下列性質(zhì)：性質(zhì)一 0f(A) 1性質(zhì)二 f()=1性質(zhì)三 若A，B不相容，則 f(A)= f(A)+ f(B) （二） 概率的統(tǒng)計(jì)定義定義3 在不變的一組條件下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率n/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng)，且一般說來，n越大，擺動(dòng)幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A發(fā)生的概率，記作P（A）。 數(shù)值P即（P（A）就是在一次試驗(yàn)中對(duì)事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)量描述。例如，在例14中用0.5來描述擲一枚勻稱硬幣“正面朝上”出現(xiàn)的可能

23、性，在例15中用2/3來描述摸出的一個(gè)乒乓球是白球出現(xiàn)的可能性。注意兩點(diǎn)：（1） 事件的頻率與概率有本質(zhì)區(qū)別，頻率有隨機(jī)波動(dòng)性是變數(shù)，而概率是個(gè)常數(shù)。（2） 概率的統(tǒng)計(jì)定義只是一種描述，它指出了事件的概率是客觀存在的。但并不能用這個(gè)定義計(jì)算P（A）。實(shí)際上，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率向概率靠近，因此當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，頻率可以作為概率的近似值。（三）性質(zhì)由頻率的性質(zhì)，可得概率的性質(zhì)性質(zhì)1 對(duì)任一事件A，有 0P（A）1性質(zhì)2 設(shè)為必然事件，則P（）=1性質(zhì)3 設(shè)A，A2 ，An互不相容，則 P（）=三 概率的數(shù)學(xué)定義及其性質(zhì) 前面講了怎樣針對(duì)不同的問題 ，分別用概率的古典定義，概率的統(tǒng)計(jì)定義來

24、計(jì)算概率的方法。在當(dāng)時(shí)解決了不少問題，但它們?cè)诶碚撋嫌腥毕?，?yīng)用上有局限性。如古典概率型要求基本事件是等可能的，但在實(shí)際問題中往往不知道是否滿足。而統(tǒng)計(jì)概率要求試驗(yàn)次數(shù)充分大，但究竟次數(shù)應(yīng)該大到什么程度沒有明確規(guī)定，因此都不能作為數(shù)學(xué)定義。但我們看到它們從各自的定義出發(fā)都是共同的屬性（性質(zhì)1，2，3），這些從客觀事實(shí)總結(jié)出來的共同屬性，可以作為建立概率的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)。（C）定義定義4 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是樣本空間，若對(duì)于E的每一隨機(jī)事件A，有確定的實(shí)數(shù)P（A）與之對(duì)應(yīng)，如果它滿足下列條件： 1 對(duì)于每一事件A，有0P（A）1 2 P（）=13 對(duì)于兩兩互不相容的可列無窮多個(gè)事件A，A2 ，An

25、，有 P（）=稱為概率的有限可加性。 P（）=稱為概率的可列可加性。則實(shí)數(shù)P（A）稱為事件A的概率。 對(duì)以前將過的古典定義，統(tǒng)計(jì)定義都滿足這定義中的要求，因此它們都是這個(gè)一般定義范圍內(nèi)的特殊情形。 （二） 性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)是A的對(duì)立事件，則 P（A）=1-P（） （1-2）注意 若P（A）不易算但可計(jì)算P（），故P（A）=1- P（）性質(zhì)2 P（）=0性質(zhì)3 設(shè)A，B為二事件，若AB，則 P（B-A）= P（B）- P（A）推論 若AB，則P（A） P（B）性質(zhì)4 設(shè)A，B為二事件，則 P（AB）= P（A）+ P（B）- P（AB） （1-3）推論 P（AB） P（A）+ P（B）性質(zhì)4還可

26、以用數(shù)學(xué)歸納法推廣到任意有限個(gè)事件的情形：P（AA2 An）=-+（-1） （1-4）特別地，設(shè)A，A，A，是三個(gè)事件，則有 P（AAA）= P（A）+ P（A）+ P（A）-P（AA）- P（AA）- P（AA）+ P（AAA）小結(jié)與提問： 本節(jié)課介紹了隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事什、樣本空間等概念，還介紹了概率的定義；提問：由事件間的關(guān)系與運(yùn)算，一個(gè)復(fù)合事件的表示方式是否一定是唯一的？課外作業(yè)：P32. 1,2. 第二講 古典概率 授課題目1.4 古典概型 教學(xué)目的與要求1、 了解頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義2、 掌握古典概率的計(jì)算3、 了解概率的公理化定義，掌握用概率的性質(zhì)求概率的方法 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：

27、用有關(guān)性質(zhì)、定理、公式計(jì)算概率難點(diǎn)：概率的計(jì)算 講授內(nèi)容： 在概率論的發(fā)展歷史上，人們?cè)槍?duì)不同的問題，從不同的角度給出里定義概率和計(jì)算概率的各種方法。，本節(jié)先介紹概率的古典定義、統(tǒng)計(jì)定義，最后將給出概率的數(shù)學(xué)定義及其性質(zhì)。 1.4 古典概型 在古代較早的時(shí)候，人們利用研究對(duì)象的物理或幾何性質(zhì)所具有的對(duì)稱性確定了計(jì)算概率的一種方法，稱為概率的古典定義。為此，先介紹一個(gè)概念。在有些隨機(jī)試驗(yàn)中 ，每次試驗(yàn)可能發(fā)生的結(jié)果是有限的（樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限），由于某種對(duì)稱性條件，使得每種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的（基本事件發(fā)生的可能性相等），則稱這些事件是等可能的。 例如，在1.1例4拋擲硬幣試驗(yàn)

28、中，樣本空間=中有兩個(gè)樣本點(diǎn)（反面朝上），且和發(fā)生的可能性是相等的，因而可以規(guī)定P（）=P（）=1/2。又如抽樣檢查產(chǎn)品時(shí)，一批產(chǎn)品中每一個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性在客觀上是相同的，因而抽到任一產(chǎn)品是等可能的。 在1.1例9中，樣本空間=1，2，10，中有10個(gè)樣本點(diǎn)，且基本事件發(fā)生的可能性都相等。因而可以規(guī)定P=（1）=P（2）=P（10）=1/10。 一般情況下，我們給出古典概型及古典概率定義如下：（一）定義 定義1 如果隨機(jī)試驗(yàn)E滿足下述條件：1.試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的，即樣本空間的元素（即基本事件）只有有限個(gè)，設(shè)=， 2.每個(gè)基本事件，的出現(xiàn)（發(fā)生）是等可能的。則稱這個(gè)問題為古典概型（或稱這

29、種數(shù)學(xué)模型為古典概型）。則任一隨機(jī)事件A所包含的基本事件數(shù)K與基本事件總數(shù)n的比值，叫做隨機(jī)事件A的概率，記作P（A），即 P（A）= 我們稱由（11）給出的概率為古典概率，概率的這種定義，稱為概率的古典定義。 對(duì)于古典概型應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：（1）古典概型是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，因此它是非常重要的概率模型。 （2）判斷是否古典概型的關(guān)鍵是等可能性，而有限性較容易看出。但等可能性較難判定，一般在包含有n個(gè)元素的樣本空間中，如果沒有理由認(rèn)為某些基本事件發(fā)生的可能性比另一些基本事件發(fā)生的可能性大時(shí)，我們就可以認(rèn)為每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，即都等于1/n。還有重要一點(diǎn)，是把事件A包含的基本事件數(shù)，數(shù)準(zhǔn)

30、、數(shù)夠。對(duì)于較簡單情況，可以把試驗(yàn)E的所有基本事件全列出，這樣就容易應(yīng)用公式（11）式求之。當(dāng)n較大時(shí),不可能全列出,這就要求讀者具有分析想象能力,還應(yīng)熟悉關(guān)于排列與組合的基本知識(shí),事件間的關(guān)系及運(yùn)算亦要熟,才能去計(jì)算古典概率. (3)計(jì)算古典概率時(shí),首先要判斷有限性和等可能性是否滿足:其次要弄清楚樣本空間是怎樣構(gòu)成的.對(duì)于復(fù)雜問題只要求基本事件的總數(shù)n,同時(shí)求出所討論事件A包含的基本事件數(shù)h,再利用公式(11)計(jì)算出P(A). 下面舉一些如何應(yīng)用公式(11)計(jì)算概率的例子.例1 從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件,求其中恰有1件次品的概率. 解 設(shè)所論事件為A,基本事件的總數(shù)為

31、n= 事件A包含的基本事件數(shù)為h= 所以 P(A)=例2 一百個(gè)產(chǎn)品中有三個(gè)廢品,任取五個(gè),求其廢品數(shù)分別為0,1,2,3的概率.解 基本事件總數(shù)n=設(shè)事件(i=0,1,2,3)表示取出的五個(gè)產(chǎn)品中有i個(gè)廢品, 所包含的基本事件數(shù)所以 P P P P例3 甲乙丙三人去住三間房子.求:(1) 每間恰有一人的概率是多少?(2) 空一間的概率是多少?解 相當(dāng)顧客去選房間,每人豆油三間房可取,故基本事件總數(shù)(選法)有n=(1)每房一人,甲有三間可選.甲選定后,乙只有二間可選.丙無選擇余地,故k=3*2*1=6,設(shè)A表示每房一人事件,所以有P(A)=k/n=6/27=2/9(2)設(shè)空一間事件記為B.方法

32、一 空一間房,必有一間住了二人.若甲先選有三種可取,乙丙只能合住余下兩間之一,故.也可乙先選或丙先選,于是,故P(B)=k/n=18/27=2/3.方法二 三人中任二人結(jié)合,有種結(jié)合法,分兩組去選房,所以P(B)=k/n=例4 設(shè)有n個(gè)不同的球,每一球以等可能落入N(Nn)個(gè)盒子中的每一個(gè)盒子里(設(shè)每個(gè)盒子能容納的球數(shù)是沒有限制的)設(shè)A=指定的n個(gè)盒子中各有一球,B=任何n個(gè)盒子中恰有一球,C=某指定的一個(gè)盒子中恰有m(mn)個(gè)球.求:P(A),P(B),P(C).解 每一個(gè)球都可以放進(jìn)這N個(gè)盒子中的任一個(gè)盒子,故有N種放法,n個(gè)球放進(jìn)N個(gè)盒子就有種放法,所以基本事件總數(shù)為.(1)今固定n個(gè)盒

33、,第一個(gè)球有n中放法,第二個(gè)球有n-1種放法,第n個(gè)球有1種放法,因此A包含的基本事件數(shù)為n!,所以P(A)=n!/ .(2)因?yàn)槿魏蝞個(gè)盒可以從N個(gè)盒中任意選取,共有種選法,選出這n個(gè)盒后,再按(1)知事件B包含的基本事件數(shù)為.(3)因?yàn)閙個(gè)球可以從n個(gè)球中任意選出,共有種選法,其余n-m個(gè)球可以任意落入其余的N-1個(gè)盒中,共有種選法。根據(jù)乘法原理，因此事件C包含的基本事件數(shù)為，所以P（C）=/。 這個(gè)例子是古典概型中一個(gè)很典型的問題，不少實(shí)際問題都可以歸結(jié)為它。 例5 袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中一次隨機(jī)地摸出3個(gè)球，求摸出的3個(gè)球全是紅球的概率，摸出的全是白球的概率，摸出的是一個(gè)紅

34、球，二個(gè)白球的概率。 解 （1）從15個(gè)球中隨機(jī)地任取3個(gè)球所有可能取法有種，即基本事件總數(shù)為n=15*14*13/3!=455. 設(shè)A=所摸出的3個(gè)球全是紅球 又紅球有10個(gè)，因此取3個(gè)都是紅球的所有可能取法有種，即A包含的基本事件數(shù)為k=,所以P（A）=/=14/91。 （2）設(shè)B=所摸出的3個(gè)球全是白球 P（B）=k/n=10/455=2/91 (3)設(shè)C=摸出的一個(gè)紅球，二個(gè)白球 P（C）=k/n=10*10/455=20/91 例6 盒子中有6只燈泡，其中有2只次品，4只正品，無放回地從中任取兩次，每次取一只，求： （1）所取二只都是正品的概率； （2）取到二只中有一只是正品另一只是

35、次品的概率； 解 無放回地取球，取二次等價(jià)于一次任取二只，即六個(gè)取二的組合數(shù)n=15,這15種可能組合，每組被取到的機(jī)會(huì)是均等的。 （1）二只均正品，相當(dāng)從4只正品任取三只的組合數(shù)，設(shè)所論事件為A，它包含的基本事件數(shù)為k=6,所以P（A）=k/n=6/15=0.4. (2)設(shè)所論事件為B，它所包含的基本事件數(shù)為，所以P（B）= 例7 把1，2，3，4，5的諸數(shù)各寫在一張紙片上任取其中三個(gè)排成自左而右的次序。問： （1）所得三位數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？ （2）所得三位數(shù)不小于200的概率是多少？ 解 從5個(gè)數(shù)中任取三個(gè)，這三個(gè)數(shù)不管怎么排列都是一個(gè)三位數(shù)，故基本事件總數(shù)n= (1)設(shè)A=三位數(shù)是偶

36、數(shù)，偶數(shù)，必是“個(gè)”位數(shù)是2或4，而“十”位，“百”位可任取，“個(gè)位”有2或4兩種可能，于是“十”位是4種可能，“百”位有3種可能，所以A包含的基本事件數(shù)k=2*4*3=24,故P（A）=2*4*3/5*4*3=2/5。 （2）設(shè)B=所得三位數(shù)不小于200，百位數(shù)只要取2，3，4，5之一，所組三位數(shù)必大于200 K=4*4*3(百位數(shù)有4種可能取法，十位數(shù)有4種可能取法，個(gè)位數(shù)有3種可能取法)故 P（B）=k/n=443/543=4/5 例8 把10本書任意地放在書架上。求其中指定的三本書放在一起的概率是多少？ 解 設(shè)所論事件為A，基本事件的總數(shù)為 n=p=10! 下面求事件A包含的基本事件數(shù)

37、： 三本書必須排在一起的排法共有P=3！種，如果將這3本書看作1本書，與剩下的7本書的所有排列共有P=8！種，根據(jù)乘法原理，總共有P P=3！8！種排法，所以k= P P=3！8！所以 P（A）=3！8！/10！=1/15=0.67例9 一袋中有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中取二次，每一次取一個(gè)，求取到的兩個(gè)球都是白球的概率？設(shè)A=取到的兩個(gè)球都是白球解 1）有放回地抽取由于每次抽取后均放回，因此每次都是從6個(gè)球中抽取 從6個(gè)球中任取2個(gè)的所有可能取法有6種，即基本事件總數(shù) n=6 又白球有4個(gè)，因此取2個(gè)都是白球的所有可能取法有4種，即A包含的基本事件數(shù)為 k=6所以 P（A）=4/6=0.44

38、4 2）不放回地抽取 方法一 （計(jì)順序） 由于抽取后不放回，因此第一次從6個(gè)球中抽取。而第二次抽取只能在剩下的5個(gè)球中抽取，故基本事件總數(shù) n=6=P同理A包含的基本事件數(shù) k=43=P所以不放回抽取時(shí) P（A）=P/P=43/6=0.4 方法二 （不計(jì)順序） 在6個(gè)球中取2球（不計(jì)順序）的所有可能取法有C種，故基本事件總數(shù) n= C 同理，A包含的基本事件數(shù) k= C 所以 P（A）= C/ C=0.4 例10 袋中有10個(gè)小球，4個(gè)紅的，6個(gè)白的。今按取法1和取法2連續(xù)從袋中取3個(gè)球，按兩種取法分別求下列事件的概率： A=3個(gè)球都是白的 B=2個(gè)紅的，1個(gè)白的其中 取法1 每次抽取一個(gè)，看

39、后放回袋中，再抽取下一個(gè)，這種取法稱為放回抽樣。 取法2 每次抽取一個(gè)，不放回袋中，再抽取下一個(gè)，這種取法稱為不放回抽樣。 解 （1）放回抽樣 由于每次抽取的小球看過顏色后都放回袋中。因此，每次都是從10個(gè)小球中抽取。根據(jù)乘法原理，從10個(gè)小球中取3個(gè)的所有可能的取法共有10=1000種，即樣本空間中的元素個(gè)數(shù)為：n=10若A發(fā)生，即3次取的都是白球，事件A包含的基本事件數(shù)為k =6所以 P（A）=k/n=6/ 10=0.216 若B發(fā)生，即3次取的小球中有2次取的是紅球，一次取的是白球，考慮到紅球出現(xiàn)的次序，因此事件B包含的基本事件數(shù)為： K=C所以 P（B）=k/n= C/ 10=0.28

40、8 (2) 不放回抽樣 第一次從10個(gè)小球中抽取1個(gè)，由于不再放回，因此第二次從9個(gè)球中抽取1個(gè)，第三次從8個(gè)球中抽取1個(gè)，因而基本事件總數(shù) n= P=10 類似討論可知，事件A包含的基本事件數(shù) k= P=654因而 P（A）=k/n=654/10 0.167 事件B包含的基本事件數(shù) k=C436所以 P（B）=k/n= C436/100.3 例11 一批產(chǎn)品中有n個(gè)正品 m個(gè)次品，逐個(gè)進(jìn)行檢查，若已查明前k(kn)個(gè)都是正品，求第k+1次檢查時(shí)仍得正品的概率是多少？ 解 由已知條件知基本事件總數(shù)為 n+m-k 設(shè)A=第k+1次檢查時(shí)仍得正品的事件，則A包含的基本事件數(shù)為 n-k 所以 P（A

41、）=（n-k）/(n+m-k)例12 兩封信隨機(jī)地向四個(gè)郵筒投寄，球第二個(gè)郵筒恰好投入一封信的概率。 解 設(shè)A=第二個(gè)郵筒只投入一封信。兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒，共有4種可能投法。即基本事件的總數(shù)為 n=4=16 另外，兩封信隨機(jī)地向四個(gè)郵筒投寄，而第二個(gè)郵筒恰好投入一封信的投法：首先兩封信投入第二個(gè)郵筒恰好一封信有兩種投法，再將剩下的另一封信投入其余三個(gè)郵筒又有三種投法。即事件A包含的基本事件數(shù)為 k=C C=23=6所以 P（A）= C C/4=3/8同樣還可以計(jì)算前兩個(gè)郵筒各有一封信的概率P（B）：例13 將15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，這15名新生中有3名優(yōu)秀生。設(shè) A=每一個(gè)班級(jí)

42、各分配到一個(gè)優(yōu)秀生 B=3名優(yōu)秀生分配到同一班 求 P（A） P（B） 解 15名新生平均分配到三個(gè)班中的分法總數(shù)為 n=15!/(5!5!5!)= C C C (1) 將3名優(yōu)秀生分配到三個(gè)班級(jí)使每個(gè)班級(jí)都有一名優(yōu)秀生的分法共3！種。對(duì)于每種分法，其余12名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法共有12！/4！4！4！種，因此事件A包含的基本事件數(shù)為 k=3!12!/4!4!4!所以 P（A）=k/n=25/91=0.2747 （2）將3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)內(nèi)的分法共有3種，對(duì)于這每一種分法，其余12名新生的分法（一個(gè)班級(jí)2名，另一個(gè)班級(jí)5名）有 12！/2！5！5！ 種 因此事件B包含的基本事件

43、數(shù)為 k=312!/2!5!5!所以 P（B）=k/n=6/91=0.0659 由以上舉出的例題可知，古典概型大體可以概括為三類問題：（1） 摸球問題 （產(chǎn)品的隨機(jī)抽樣問題）；（2） 分房問題：（3） 隨機(jī)取數(shù)問題。（二）性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)A為任一事件，則0P（）1性質(zhì)2 設(shè)為必然事件，則P（）=1性質(zhì)3 （有限可加性）設(shè)A，A，A ，A互不相容，則 P（ ）=以上介紹概率的4條性質(zhì)，對(duì)概率的計(jì)算帶來很大方便，下面舉些例子說明這些性質(zhì)的應(yīng)用。例16 一袋中有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，不放回的從袋中抽取二次，每次取一個(gè)。設(shè) A=取到的二個(gè)球顏色相同 B=取到的二個(gè)球中至少有一個(gè)白球求P（A），P（B）。

44、解 設(shè)C=取到的二個(gè)球都是白球 D=取到的二個(gè)球都是紅球則 A=CD， B= 易知 P（C）=C/ C=0.4，P（D）= C/ C=0.067所以 P（A）=P（CD）P(C)+P(D)=0.4+0.067=0.467P(B)=P()=1-P(D)=1-0.067=0.933 例17 有100件產(chǎn)品，其中有10件是次品，任取10件，問至少有一件是次品的概率是多少？解 方法一 設(shè)A=有1件次品，i=0,1,2,10顯然 = ，ij設(shè) A=至少有一件次品，則 A= AA2 A P（A）= C C/ C P（A2）= C C/ C . P（A）= C C/ C所以 P（A）=（C C+ C C+

45、C C）/ C 要計(jì)算P（A）的最后結(jié)果是比較麻煩的。 方法二 事件A的對(duì)立（逆）事件為= A。由公式（12）有 P（A）=1-P（）= 1-P（A）=1- C C/ C=0.6695 可見方法二比方法一好，計(jì)算量少多了。小結(jié) 由此例可看出，應(yīng)當(dāng)善于利用公式P（A）=1-P（）。為了計(jì)算事件A的概率，我們可以先計(jì)算對(duì)立事件的概率，然后利用這個(gè)公式求得事件A的概率，這樣往往可以使計(jì)算簡化。小結(jié)與提問： 本章學(xué)習(xí)了古典概型，為了利用概率的古典定義來計(jì)算概率，首先應(yīng)確定試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)，再確定隨機(jī)事件A所包含的基本事件數(shù)，則后者與前者之比，即為所求的概率P（A）。提問：設(shè)A,B是具有正概率的事件

46、，你能給出下列概率的大小嗎？ P(A),P(AB),P(AB),P(A)+P(B)課外作業(yè)：P32 3,4,5,6,8,9第三講幾個(gè)重要公式 事件的獨(dú)立性 授課題目1.5 條件概率，乘法公式、 全概率公式，貝葉斯公式1.6 事件的獨(dú)立性 教學(xué)目的與要求1、 理解和掌握條件概率，乘法公式、 全概率公式、獨(dú)立性2、 了解貝葉斯公式 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：用有關(guān)性質(zhì)、定理、公式計(jì)算概率、獨(dú)立性難點(diǎn)：全概率公式，貝葉斯公式 講授內(nèi)容： 1.5 條件概率，乘法公式全概公式，貝葉斯公式 一 條件概率 直到現(xiàn)在，我們對(duì)P（A）的討論都是相對(duì)于某組確定的條件S而言的，P（A）就是在條件組S實(shí)現(xiàn)之下，事件A發(fā)生的

47、概率（為簡略起，“條件組S”通常不再提及），除了這組基本條件“S”之外，有時(shí)我們還要提出附加的限制條件，也就是要求“在事件B已經(jīng)發(fā)生的前提下”事件A發(fā)生的概率。這就是條件概率問題。為此，先考慮下述問題。例1 某班有30名學(xué)生，其中20名男生，10名女生，身高1.70米以上的有15名，其中12名男生，3名女生。（1） 任選一名學(xué)生，問該學(xué)生的身高在1.70米以上的概率是多少？（2） 任選一名學(xué)生，選出來后發(fā)現(xiàn)是個(gè)男生，問該同學(xué)的身高在1.70米以上的概率是多少？ 答案是很容易求出的；（1）的答案是15/30=0.5（2）的答案是12/20=0.6但是，這兩個(gè)問題的提法是有區(qū)別的，第二個(gè)問題是一種新的提法。“是男生”本身也是一個(gè)隨機(jī)事件，記作A，把在事件A發(fā)生（即發(fā)生是男生）的條件下，事件B（身高1.70米以上）發(fā)生的概率是多少？我們把這種概率叫做在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率，記作P（B|A），即不同于P（AB）。注意到P（A）=20/30，P（AB）=12/30，從而有 P（B|A）=12/20= 這個(gè)式子的直觀含義是明顯的，在A發(fā)生的條件下B發(fā)生當(dāng)然是A發(fā)生且B發(fā)生，即AB發(fā)生，但是，現(xiàn)在A發(fā)生成了前提條件，因此應(yīng)該以A做為整個(gè)樣本空間