2022年2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段性測試題八立體幾何初步

1、階段性測試題八 立體幾何初步 本試卷分第一卷選擇題 和其次卷非選擇題 兩部分滿分 150 分考試時(shí)間 120 分鐘第一卷 選擇題共 50 分一，選擇題 本大題共 10 個(gè)小題,每道題5 分,共 50 分,在每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有哪一項(xiàng)符合題目要求的1 2021 ·南寧模擬 在空間中,“兩條直線沒有公共點(diǎn)”是“這兩條直線平行”的 A 充分不必要條件 B 必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件 答案 B 解析 在空間中,兩條直線沒有公共點(diǎn), 可能是兩條直線平行,也可能是兩條直線異面, 兩條直線平行就兩條直線沒有公共點(diǎn),所以“ 兩條直線沒有公共點(diǎn) ”是“這兩條直線平行 ”的必

2、要不充分條件2 文2021 太·原一模 已知 m,n,l 1, l2 表示直線, ,表示平面如 m, n, l1,l 2, l1 l2 M,就 的一個(gè)充分條件是A m且 l1Bm且 nC m且 nl2Dml1 且 nl 2 答案 D可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 對選項(xiàng) A ,B ,C 都有 與 相交的情形只有選項(xiàng)D 是兩平面平行的判定,應(yīng)選D.可編輯資料 - - - 歡迎下載理2021錦·州一模 如圖,空間四邊形OABC 中,OA a,OB可編輯資料 - - - 歡迎下載,bOC c.點(diǎn) M 在 OA 上,且 OM2MA,N 為 BC 中點(diǎn),就MN 121A. 2

3、a 3b 2c可編輯資料 - - - 歡迎下載B 2a1b 1可編輯資料 - - - 歡迎下載322ca b 1222221D 3a3b 2c 答案 B 解析 由向量加法法就可知MN MO ON 2 1 OC3OA2OB21 3a2b c可編輯資料 - - - 歡迎下載211 3a2b2c.32021 ·洛陽調(diào)研 三條直線兩兩垂直, 那么在以下四個(gè)結(jié)論中, 正確的結(jié)論共有 這三條直線必共點(diǎn). 其中必有兩條是異面直線.三條直線不行能共面.其中必有兩條在同一平面內(nèi)A 4 個(gè)B3 個(gè)C 2 個(gè)D1 個(gè) 答案 D 解析 三條直線兩兩垂直時(shí), 它們可能共點(diǎn) 如正方體同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱 ,也可

4、能不共點(diǎn)如正方體ABCDA1B1C1D1 中的棱 AA1,AB, BC,故結(jié)論不正確,也說明必有結(jié)論不正確.假如三條直線在同一個(gè)平面內(nèi), 依據(jù)平面幾何中的垂直同一條直線的兩條直線平行, 就導(dǎo)出了其中兩條直線既平行又垂直的沖突結(jié)論,故三條直線不行能在同一個(gè)平面內(nèi),結(jié)論正確.三條直線兩兩垂直,這三 條 直 線 可能 任何兩 條 都不 相 交,即 任 意兩 條 都異面 如 正方 體 ABCD A1B1C1D1 中的棱 AA1, BC 和 C1D1,故結(jié)論不正確4 2021 ·廈門一模 設(shè) a,b, c 是空間的三條直線, , 是空間的兩個(gè)平面,就以下命題的逆命題不成立的是 A 當(dāng) c時(shí),如

5、 c,就 B 當(dāng) b,且 c時(shí),如 c,就 bcC當(dāng) b,且 c 是 a 在 內(nèi)的射影時(shí),如b a,就 cb D當(dāng) b 時(shí),如 b ,就 可編輯資料 - - - 歡迎下載 答案 D 解析 D 的逆命題是b,就 b,明顯不成立5 2021 ·南昌一模 圓柱的側(cè)面開放圖是長12cm,寬 8cm 的矩形,就這個(gè)圓柱的體積為可編輯資料 - - - 歡迎下載2883A.1923可編輯資料 - - - 歡迎下載cmB.cm可編輯資料 - - - 歡迎下載288C. cm19233 或cmD192 cm3可編輯資料 - - - 歡迎下載 答案 C 解析 分兩種情形,112 為底面圓周長,就2r 1

6、2,r 6可編輯資料 - - - 歡迎下載V6 22883可編輯資料 - - - 歡迎下載 ·· 8cm 可編輯資料 - - - 歡迎下載428 為底面圓周長,就2r 8,r ,可編輯資料 - - - 歡迎下載V4 21923可編輯資料 - - - 歡迎下載 ·· 12cm應(yīng)選 C.可編輯資料 - - - 歡迎下載6 文2021 江·西文 將長方體截去一個(gè)四棱錐, 得到的幾何體如以下圖, 就該幾何體的左視圖為 可編輯資料 - - - 歡迎下載 答案 D 解析 如以下圖,點(diǎn)D1 的投影為C1,點(diǎn) D 的投影為 C,點(diǎn)A的投影為 B,應(yīng)選 D.理2

7、021 安·徽理 一個(gè)空間幾何體的三視圖如以下圖,就該幾何體的表面積為 A 48B32817C 48 817D80 答案 C可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 由三視圖知該幾何體的直觀圖如下圖所示該幾何體的下底面是邊長為4 的正方形上底面是長為4,寬為 2 的矩形,兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面,上 底長為 2,下底長為 4,高為 4.另兩個(gè)側(cè)面是矩形寬為4,長為421217.21可編輯資料 - - - 歡迎下載S 表 4 2× 4× 24×4×2 4×17× 22可編輯資料 - - - 歡迎下載 48817.7文2021 煙&

8、#183;臺(tái)市模擬 設(shè) b，c 表示兩條直線, ，表示兩個(gè)平面,以下命題中是真命題的為b b可編輯資料 - - - 歡迎下載A.bcB. c.cbc可編輯資料 - - - 歡迎下載c c可編輯資料 - - - 歡迎下載C.c.D.c 可編輯資料 - - - 歡迎下載 答案 C可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 結(jié)合線面位置關(guān)系選C.理2021 焦·作一模 已知直線AB, CD是異面直線, ACAB,AC CD,BD CD,且 AB 2,CD 1,就異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為 A 30°B45°C 60°D75° 答案 C 解析

9、 設(shè) AB 與 CD 所成的角為 ,|AB CD|·就 cos |cosAB, CD| ,|AB|CD|由于 AB·CDAC CDDB ·CD AC·CD CD2DB·CD01201,AB可編輯資料 - - - 歡迎下載|2.cos | · CD| |11可編輯資料 - - - 歡迎下載|AB|CD|2×1可編輯資料 - - - 歡迎下載由于 0° 90°, 60°.故異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為60°. 8如下圖,某幾何體的正視圖主視圖 ,側(cè)視圖 左視圖 和俯視圖分別是等

10、邊三角形,等腰三角形和菱形,就該幾何體體積為可編輯資料 - - - 歡迎下載A 43B4C 23D2 答案 C 解析 由三視圖可知該幾何體為如以下圖的四棱錐,依據(jù)三視圖所供應(yīng)的數(shù)據(jù)可得幾何體的體積為可編輯資料 - - - 歡迎下載1V 31×23× 22可編輯資料 - - - 歡迎下載· 23 23 2可編輯資料 - - - 歡迎下載 23. 點(diǎn)評(píng) 此題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)，三視圖，幾何體的體積運(yùn)算，空間想象才能及運(yùn)算求解才能,屬中檔題9 文2021 大·綱全國卷文 已知直二面角l ,點(diǎn) A,AC l,C 為垂足,點(diǎn) B,BDl ,D 為垂足如 AB 2

11、,AC BD 1,就 CD A 2B.3C.2D1 答案 C 解析 此題考查了異面直線的距離的求法, 正確畫出圖形, 嫻熟把握線面垂直的判定和性質(zhì), 把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中, 利用勾股定理求解連接 AD,設(shè) CD x,AD2AC2CD21 x2.可編輯資料 - - - 歡迎下載由題意：ABD 為 Rt,BDA 90°,AB2AD2BD2,4 1 x2 1x2,即 CD2.理2021 大·綱全國卷理 已知直二面角 l ,點(diǎn) A ,ACl,C 為垂足, B,BD l,D 為垂足如 AB 2,ACBD 1,就D 到平面 ABC 的距離等于 可編輯資料 - - - 歡迎下載A.2

12、 3C.6 3 答案 CB.3 3D1可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 解法 1：如圖,在直二面角 l 中, ACl,AC,平面ABC平面BCD.過 D 作 DH BC,垂足為 H,就 DH 平面ABC,即 DH 為 D 到平面 ABC 的距離AC,BC,ACBC.可編輯資料 - - - 歡迎下載在 RtABC 中,AC1, AB 2,ACB 90°,BCAB2AC222 123.在 RtBCD 中, BC3, BD 1,CDBC2BD2312.可編輯資料 - - - 歡迎下載1由 BD·CD 21BC·DH 得21×1×221×

13、;3·DH,2可編輯資料 - - - 歡迎下載DH 6.3解法 2：如下圖,連接AD, AB 2, AC1,同解法 1 可得 BC3, CD2.可編輯資料 - - - 歡迎下載1SRtACB 2AC·BC13.× 1×322可編輯資料 - - - 歡迎下載112SRtBCD 2CD·BD2×2× 1 2 .設(shè) D 到平面 ABC 的距離為 h,就11由 V 三棱錐 D ABC V 三棱錐 A BCD 得3SABC·h3SBCD ·AC,可編輯資料 - - - 歡迎下載13133即 × 2 h &

14、#215;22 × 1,可編輯資料 - - - 歡迎下載.h63 點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了線線垂直，線面垂直，面面垂直的有關(guān)定理和點(diǎn)到平面的距離以及空間想象才能和數(shù)據(jù)處理的才能10文2021 西·安一模 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1 2AB,E 為 AA1 中點(diǎn),就異面直線 BE 與 CD1 所成角的余弦值為 1015A.10B.5可編輯資料 - - - 歡迎下載C.31010 答案 CD.3可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 此題考查異面直線所成角的定義,以及空間想象才能，基本運(yùn)算才能如以下圖,連接A1B,可編輯資料 - - - 歡迎下載ABCD A

15、1B1C1D1 為正四棱柱,A1BD1C,A1BE 為異面直線 BE 與 CD1 所成的角AA12AB,設(shè)AB a,就 AA1 2a,又E 為 AA1 的中點(diǎn),A1Ea, BE2a,A1B5a, 在A1BE 中,由余弦定理,得可編輯資料 - - - 歡迎下載2a2 5a2a26a2310可編輯資料 - - - 歡迎下載cosA1BE2· 2a·5a 210a210.可編輯資料 - - - 歡迎下載理2021 咸·陽調(diào)研 如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1 中,ABBC 2,AA1 1,就 BC1 與平面 BB1D1D 所成角的正弦值為 6255A.3B.5可編

16、輯資料 - - - 歡迎下載5C. 15 答案 DD. 10可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 以 B 為原點(diǎn),直線BC，BA，BB1 分別為 x 軸，y 軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,就D2,2,0, B10,0,1, C12,0,1設(shè)平面 BB1D1D 的一個(gè)法向量 n x,y, z,就n可編輯資料 - - - 歡迎下載· BD02x2y0,取 n1, 1,0,可編輯資料 - - - 歡迎下載· BB 0n1z0可編輯資料 - - - 歡迎下載直線 BC1 的方向向量 BC12,0,1,直線BC1 與平面 BB1D1D 所成的角為 ,中意 sin|BC1·n

17、|可編輯資料 - - - 歡迎下載|BC1| ·|n|105.可編輯資料 - - - 歡迎下載其次卷 非選擇題共 100 分二，填空題 本大題共 5 個(gè)小題,每道題 5 分,共 25 分,把正確答案填在題中橫線上 11長方體ABCDA1B1C1D1 的頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,AB AA11,BC2,就 A, B 兩點(diǎn)間的球面距離為 答案 3 解析 此題考查了組合體及球面距離的定義,需要有較強(qiáng)的空間想象才能,第一確定球心及球半徑,球心即長方體的中心,即體對 角線交點(diǎn),連接AC1, BD1 交于 O 點(diǎn),進(jìn)一步求出半徑為1,AOB 3,球面距離3R 3·13.122021

18、83;遼寧卷 如下圖,網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖,就這個(gè)多面體最長的一條棱的長為 可編輯資料 - - - 歡迎下載 答案 23 解析 由主視圖和俯視圖可知幾何體是正方體切割后的一部分四棱錐 C1ABCD,仍原在正方體中,如以下圖：多面體最長的一條棱即為正方體的體對角線,由正方體棱長為AB 2 知最長棱長為 23.132021 ·天津理 一個(gè)幾何體的三視圖如以下圖單位： m,就該幾何體的體積為 m3.可編輯資料 - - - 歡迎下載 答案 6 解析 此題主要考查幾何體的三視圖的仍原圖形依據(jù)三視圖知仍原后的圖形為一個(gè)長方體上面放一個(gè)圓錐因而 V V 長

19、方體 V 圓錐 ,又知長方體長，寬，高分別為 3，2，1,圓錐的底面半徑為 1, 高為 3,從而求出體積為 6.14文2021 安·徽宣城一模 a,b,c是空間中互不重合的三條直線,下面給出五個(gè)命題：如 ab,bc,就 ac.如 ab,b c,就 ac.如 a 與 b 相交, b 與 c 相交,就 a 與 c 相交.如 a平面 , b平面 ,就 a,b 確定是異面直線.如 a,b 與 c 成等角,就 ab.上述命題中正確選項(xiàng) 只填序號(hào) 答案 可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 由基本性質(zhì) 4 知正確.當(dāng) ab,bc 時(shí), a 與 c 可以相交，平行,也可以異面,故不正確.當(dāng) a

20、與 b 相交, b 與 c 相交時(shí), a 與 c 可以相交，平行,也可以異面,故不正確.a,b,并不能說明 a 與 b 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),故不正確.當(dāng) a, b 與 c 成等角時(shí), a 與 b 可以相交，平行,也可以異面故不正確理2021 山·東日照調(diào)研 在棱長為 1 的正方體 ABCD A1B1C1D1中,E，F(xiàn) 分別為棱 AA1，BB1 的中點(diǎn), G 為棱 A1B1 上的一點(diǎn),且 A1G 01,就點(diǎn) G 到平面 D1EF 的距離為 5 答案 5可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 方法一：A1B1平面 D1EF,G 到平面 D1EF 的距離為 A1 到平面 D 1EF 的距

21、離,在A1D1E 中,過 A1 作 A1HD1E 交 D1E 于 H,明顯 A1H平面D1EF,就 A1H 即為所求,可編輯資料 - - - 歡迎下載在 RtA1D1E 中,1× 1可編輯資料 - - - 歡迎下載1A HA1D1·A1ED1E25521.1 2可編輯資料 - - - 歡迎下載方法二：等體積法,設(shè)h 為 G 到平面 D1EF 的距離VGD 1EF VA1 D 1EF VFD 1A1E,1× 1×5h1111,2× × × ×2225h 5 .15文2021 福·建文 如圖,正方體 ABCD

22、 A1B1C1D1 中, AB2,點(diǎn) E 為 AD 的中點(diǎn),點(diǎn) F 在 CD 上,如 EF平面 AB1C,就線段EF 的長度等于 可編輯資料 - - - 歡迎下載 答案 2 解析 此題考查線面平行由 EF平面 AB1C,EF.平面 ABCD,平面 ABCD平面 AB1CAC,知 EFAC.所以由 E 是中點(diǎn)知 EF12.AC 2 理 2021 大·綱全國卷已知點(diǎn)E， F分別在正方體ABCD A1B1C1D1 的棱 BB1，CC1 上,且 B1E2EB,CF 2FC1,就面 AEF 與面 ABC 所成的二面角的正切值等于 3 答案 2 解析 本小題考查的內(nèi)容是二面角的求法,可接受幾何法

23、或向量法方法一： 幾何法 如圖,延長 FE 交 CB 的延長線于 P,就 AP 為面 AEF 與面 ABC 的交線,連結(jié) AC,可編輯資料 - - - 歡迎下載PB BC,CAP90°.由三垂線定理,FAP 90°,FAC 為二面角的平面角2FC32tanFACAC 3.2方法二： 向量法 建立如以下圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,令邊長為 3,可編輯資料 - - - 歡迎下載A3,0,0, E3,3,1,F0,3,2,平面 ABC 的法向量為 0,0,1,設(shè)平面 AEF 的法向量為 n x, y, z,n·AE 03y z 0,n3x3y2z 0· AF

24、0令 x1,z 3,y 1,n 1, 1,3,可編輯資料 - - - 歡迎下載3令平面夾角為,cos1× 3, sin2 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載|n|1111.tan23三，解答題 本大題共 6 個(gè)小題,共 75 分,解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟 16本小題滿分 12 分2021 鄭·州模擬 如下圖所示, 在四棱錐 P ABCD 中,底面 ABCD 為正方形,側(cè)棱 PD底面 ABCD,E，F(xiàn) 分別是 AB，PC 的中點(diǎn)可編輯資料 - - - 歡迎下載1如 AB2, PA 4,求四棱錐 PABCD 的體積.2求證： EF平面 PAD. 解析 1解：PD

25、底面ABCD,AD平面 ABCD,PDAD,AB 2,AP4,PDAP2AD2AP2 AB2 23,1VP ABCD 3SABCD ·PD可編輯資料 - - - 歡迎下載1 ·4·23 383.3可編輯資料 - - - 歡迎下載2證明：作 FGDC 交 PD 于點(diǎn) G,就 G 為 PD 的中點(diǎn),可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載連接 AG,FG 綊1CD,又 CD 綊 AB, 2可編輯資料 - - - 歡迎下載故 FG 綊 AE,四邊形 AEFG 為平行四邊形EFAG,又 AG平面 PAD,EF平面 PAD,EF平面 PAD.17本小

26、題滿分 12 分一個(gè)多面體的直觀圖,正 主視圖 正前方觀看 ,俯視圖 正上方觀看 ,側(cè) 左視圖 左側(cè)正前方觀看 如下圖所示1探求 AD 與平面 A1BCC1 的位置關(guān)系并說明理由.2求此多面體的表面積和體積可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 從俯視圖可得：底面四邊形 ABCD 和側(cè)面四邊形 A1C1CB是矩形又從正 主視圖可得 BCAB,BCBA1,且 AB BA1 B,故BC面ABA1,又ABA1 是正三角形三棱柱是正三棱柱1底面四邊形 ABCD 是矩形,ADBC,又BC面 A1BCC1,AD面 A1BCC1.2依題意可得 AB BCa, 由 V Sh,可編輯資料 - - - 歡迎下載又

27、 S132a× sin60 °×a× a,24可編輯資料 - - - 歡迎下載V Sh32×a33,4 a4 aS 側(cè) c×h 3a× a 3a2,S23232表 S 側(cè) 2S 底3a 2× 4 a 3 2 a .可編輯資料 - - - 歡迎下載3所以此多面體的表面積和體積分別為3 2 a2,3a3.可編輯資料 - - - 歡迎下載418本小題滿分12分文2021 天·津文 如圖,在四棱錐PABCD 中,底面 ABCD 為平行四邊形, ADC 45°,AD AC1,O 為 AC 的中點(diǎn), PO平

28、面 ABCD, PO 2, M 為 PD 的中點(diǎn)可編輯資料 - - - 歡迎下載1證明PB平面 ACM .2證明 解析 AD平面 PAC.1證明：連接 BD,MO,在平行四邊形ABCD 中,由于O 為 AC 的中點(diǎn),所以O(shè) 為 BD 的中點(diǎn),又 M 為 PD 的中點(diǎn),所以PBMO.由于 PB平面 ACM,MO平面 ACM,所以 PB平面 ACM.2證明：由于ADC45°,且 AD AC 1,所以DAC 90°,即 ADAC,又 PO平面ABCD,AD平面 ABCD,所以 POAD,而可編輯資料 - - - 歡迎下載AC POO,所以 AD平面PAC.理2021 安·

29、;徽理 如圖, ABEDFC 為多面體,平面ABED 與平面ACFD 垂直,點(diǎn) O 在線段 AD 上,OA1,OD2, OAB,OAC, ODE, ODF 都是正三角形1證明直線 BCEF.2求棱錐 F OBED 的體積 解析 1證法 1： 綜合法 如下圖所示,設(shè)G 是線段 DA 延長線與線段 EB 的延長線的交點(diǎn),由于 OAB 與ODE 都是正三角形,1且 OD 2,所以 OB 綊2DE, OG OD2.同理,設(shè) G是線段 DA 延長線與線段 FC 延長線的交點(diǎn), 有 OC1綊2DF ,OG OD 2.又由于 G 和 G都在線段 DA 的延長線上,所以G 與 G 重合可編輯資料 - - -

30、歡迎下載11在GED 和GFD 中,由 OB 綊2DE 和 OC 綊2DF ,可知 B, C分別是 GE 和 GF 的中點(diǎn),所以BC 是GEF 的中位線,故 BCEF.證法 2：向量法 過點(diǎn) F 作 FQAD,交 AD 于點(diǎn) Q,連接 QE,由平面 ABED平面ADFC,知 FQ平面ABED,從而 FQQE, FQDQ.以 Q 為坐標(biāo)原點(diǎn), QE為 x 軸正方向, QD為 y 軸正方向, QF為 z軸正方向,建立如以下圖空間直角坐標(biāo)系333可編輯資料 - - - 歡迎下載由條件知 E3, 0,0, F0,0,3,B2 , 2, 0, C0, 2,可編輯資料 - - - 歡迎下載32 可編輯資料

31、 - - - 歡迎下載就有BC 3,0,3,EF 3,0,3可編輯資料 - - - 歡迎下載22 可編輯資料 - - - 歡迎下載所以EF 2BC,即得 BCEF.2解：由 OB 1, OE 2,EOB60°,知 SEOB3 2 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載而OED 是邊長為 2 的正三角形,故SOED3.33所以 S 平行四邊形OBEDSEOB SOED 2.過點(diǎn) F 作 FQAD,交 AD 于點(diǎn) Q,由平面 ABED平面ACFD 知,可編輯資料 - - - 歡迎下載FQ 就是四棱錐 FOBED 的高,且 FQ3,所以 VF OBED3四邊形 OBED 2.1 FQ·

32、;S 3可編輯資料 - - - 歡迎下載19本小題滿分 12 分文2021 鄭·州一模 如以下圖,正三棱柱A1B1C1ABC 中,點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn), BC2BB1,設(shè) B1D BC1F.求證：(1) A1C平面 AB1D.(2) BC1平面 AB1D.可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 1連結(jié) A1B,設(shè) A1B 與 AB1 交于 E,連結(jié) DE.點(diǎn)D 是 BC 中點(diǎn),點(diǎn) E 是 A1B 中點(diǎn),DEA1C,A1C平面 AB1D, DE平面 AB1D,A1C平面 AB1D.2ABC 是正三角形,點(diǎn)D 是 BC 的中點(diǎn),ADBC.平面ABC平面B1BCC1,平面 ABC 平面

33、 B1BCC1BC, AD平面 ABC,AD平面B1BCC1,BC1平面 B1BCC1,ADBC1.可編輯資料 - - - 歡迎下載點(diǎn)D 是 BC 的中點(diǎn), BC2BB1,BD22 BB1.可編輯資料 - - - 歡迎下載BDCC12BB1 BC 2 ,RtB1BDRtBCC1.BB1DCBC1,BDB1CC1B.且CBC1CC1B 90°,CBC1BDB1 90°.BC1B1D,又 AD B1DD,BC1平面AB1D. 理2021 九·江第一次模擬 已知直三棱柱ABC A1B1C1 中, AB 5,AC 4, BC3, AA1 4,點(diǎn) D 在 AB 上1如 D

34、是 AB 中點(diǎn),求證： AC1平面 B1CD.可編輯資料 - - - 歡迎下載2當(dāng)BD AB11時(shí),求二面角BCD B 的余弦值5可編輯資料 - - - 歡迎下載 解析 1證明：連結(jié) BC1,交 B1C 于 E,連結(jié) DE.直三棱柱 ABCA1B1C1, D 是 AB 中點(diǎn),側(cè)面BB1C1C 為矩形, DE 為ABC1 的中位線,可編輯資料 - - - 歡迎下載DEAC1.DE平面 B1CD,AC1平面 B1CD,AC1平面 B1CD.2ACBC,如下圖,以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C xyz.就 B3,0,0, A0,4,0,A10,4,4,B13,0,4可編輯資料 - - - 歡迎下載

35、設(shè) Da,b,0a>0,b>0,點(diǎn)D 在線段 AB 上,且 BD1BD1可編輯資料 - - - 歡迎下載124AB 5,即BA.5可編輯資料 - - - 歡迎下載a5 , b 5.可編輯資料 - - - 歡迎下載1所以BC3,0, 4,BA 3,4,0,CD 12405 ,5,平面 BCD 的法向量為 n 0,0,1,設(shè)平面 B1CD 的法向量為 n2x, y,1,可編輯資料 - - - 歡迎下載 3x 40,可編輯資料 - - - 歡迎下載由BC·n 0, CD·n 0,得124,可編輯資料 - - - 歡迎下載1225 xy0 5可編輯資料 - - - 歡迎

36、下載44所以 x 3, y4,n23,4,1n·n2 3設(shè)二面角 BCD B1 的大小為 , cos |n|n2|13.31所以二面角 B CD B 的余弦值為.1320本小題滿分 13 分文2021 遼·寧文 如圖,四邊形 ABCD 為2正方形, QA平面 ABCD, PDQA, QA AB 1PD.1證明： PQ平面 DCQ.2求棱錐 Q ABCD 的體積與棱錐 PDCQ 的體積的比值 解析 1由條件知 PDAQ 為直角梯形由于 QA平面ABCD,所以平面 PDAQ平面ABCD, 交線為 AD.又四邊形 ABCD 為正方形, DCAD,可編輯資料 - - - 歡迎下載所

37、以 DC平面PDAQ,可得 PQDC.可編輯資料 - - - 歡迎下載在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ PQ22 PD,就 PQQD.可編輯資料 - - - 歡迎下載又 DQ DC D,所以 PQ平面DCQ.2設(shè) ABa.由題設(shè)知 AQ 為棱錐 QABCD 的高,所以棱錐 QABCD 的體積 V 13,13a由1知 PQ 為棱錐 P DCQ 的高,而 PQ2a,DCQ 的面積21為a2,所以棱錐 PDCQ 的體積 V 3223a .故棱錐 Q ABCD 的體積與棱錐 PDCQ 的體積的比值為1.理2021 廣·東理 如下圖,在錐體P ABCD 中, ABCD是邊長為 1的菱形,且

38、DAB 60°,PAPD2,PB 2, E,F分別是BC, PC 的中點(diǎn)1證明： AD平面 DEF .2求二面角 PAD B 的余弦值 解析 1證明：取 AD 中點(diǎn) G,連接 PG, BG.可編輯資料 - - - 歡迎下載四邊形ABCD 為菱形且 E, G 分別為 BC,AD 中點(diǎn),就 BG 綊 DE.又 F 為 PC 中點(diǎn),就 EFPB,就平面 DEF 平面 GBP.G 是 AD 中點(diǎn)且 PAPD,PGAD.1在ABG 中, AG 2,AB1,且DAB 60°,可編輯資料 - - - 歡迎下載,由余弦定理得BG32AB2 AG2 BG2,就 AGBG.可編輯資料 - - - 歡迎下載PG BGG,AG平面PGB,即 AD平面DEF .2解：由 1知二面角 PAD B 的平面角為PGB.2在 RtPGA 中, PGPA2 AG27.可編輯資料 - - - 歡迎下載在PGB 中, BG32 ,PB 2,由余弦定理知,可編輯資料 - - - 歡迎下載73可編輯資料 - - - 歡迎下載cosPGBPG2 BG2 PB2 2PG·BG44472137.可編輯資料