正四面體與正方體

1、關于正四面體與正方體1第一頁，共33頁幻燈片2多面體題根多面體題根 解正方體解正方體一、正方體高考十年二、正四面體與正方體三、正方體成為十年大難題四、解正方體五、解正四面體第二頁，共33頁幻燈片3一、正方體高考十年一、正方體高考十年 十年來，立體幾何的考題一般呈“一小一大”的形式.分數(shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一. 立幾題的難度一般在0.55左右，屬中檔考題，是廣大考生“上線競爭”時勢在必奪的“成敗線”或“生死線”.十年的立幾高考，考的都是多面體. 其中：（1）直接考正方體的題目占了三分之一；（2）間接考正方體的題目也占了三分之一.因此有人說，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞著正方體出題

2、.第三頁，共33頁幻燈片4解 析外接球的表面積，比起內接正方體的全面積來，自然要大一些，但絕不能是它外接球的表面積，比起內接正方體的全面積來，自然要大一些，但絕不能是它的的(C)(C)約約6 6倍或倍或(D)(D)約約9 9倍，否定倍，否定(C)(C)，(D)(D)；也不可能與其近似相等，否定；也不可能與其近似相等，否定(A)(A)，正確答案只能是正確答案只能是(B) .(B) .（1995年）年） 正方體的全面積為正方體的全面積為a2，則其外接球的表面積為，則其外接球的表面積為考題 1 （正方體與其外接球）第四頁，共33頁幻燈片5考題 2 （正方體中的線面關系）小問題很多，但都不難小問題很多

3、，但都不難. 熟悉正方體各棱、各側面間位置關系的熟悉正方體各棱、各側面間位置關系的考生，都能迅速作答考生，都能迅速作答. 如解答（如解答（1），只要知道棱），只要知道棱AD與后側面與后側面垂直就夠了垂直就夠了.說 明11EDAFV（1997年）如圖，在正方體年）如圖，在正方體ABCD- - A1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是BB1、CD的中點的中點（1）證明）證明ADD1F；（2）求）求AE與與D1F所成的角；所成的角；（3）證明面）證明面AED 面面A1FD1；（4）設）設AA1=2,求三棱錐求三棱錐F- -A1ED1的體積的體積 . 第五頁，共33頁幻燈片6考題 3 （正方體的側面

4、展開圖）考查空間想象能力考查空間想象能力. 如果能從展開圖（右上）想到立體如果能從展開圖（右上）想到立體圖（右），則能立即判定命題、為假，而命題、圖（右），則能立即判定命題、為假，而命題、為真，答案是為真，答案是C.解 析（2001年）右圖是正方體的平面展開圖在這個正方體中年）右圖是正方體的平面展開圖在這個正方體中，BM與與ED平行；平行；CN與與BE是異面直線；是異面直線；CN與與BM成成60角；角；DM與與BN垂直垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是以上四個命題中，正確命題的序號是（A）（B）（C）（D）第六頁，共33頁幻燈片7（2002年）年） 在下列四個正方體中，能得出在下列四個正方

5、體中，能得出ABCD的是的是考題4 （正方體中主要線段的關系）射影法：作射影法：作AB在在CD所在平面上的射影，由三垂線定理知其正所在平面上的射影，由三垂線定理知其正確答案為確答案為A.平移法：可迅速排除平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故選（，故選（A）.解 析第七頁，共33頁幻燈片8（2003年）年） 棱長為棱長為a的正方體中，連結相鄰面的中心，以的正方體中，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為這些線段為棱的八面體的體積為 考題 5 （正方體與正八面體）解 析將正八面體一分為二，得將正八面體一分為二，得2個正四棱錐，正四棱個正四棱錐，正四棱錐的底面積為正方形面積的錐的

6、底面積為正方形面積的 ，再乘，再乘 得得 .答案選答案選C.213161第八頁，共33頁幻燈片9 考題 6 （正方體中的三角形）解 析在正方體上任選在正方體上任選3個頂點連成三角形可得個頂點連成三角形可得 個三角形，要得直個三角形，要得直角非等腰三角形，則每個頂點上可得三個角非等腰三角形，則每個頂點上可得三個(即正方體的一邊與過即正方體的一邊與過此點的一條面對角線此點的一條面對角線)，共有，共有24個，得個，得 ，所以選，所以選C. 38C2438C第九頁，共33頁幻燈片10在三棱錐OABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成角的

7、大小是 （用反三角函數(shù)表示） 考題 7 2006年四川卷第13題正方體的一“角”如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求證：MN面ADD1A1；（2）求二面角PAED的大??；（3）求三棱錐PDEN的體積. 考題8 2006年四川卷第19題兩正方體的“并”P第十頁，共33頁幻燈片11如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側棱CC1上的一點，CP=m. ()試確定m,使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3 ；()在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D

8、1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并證明你的結論.2分析：熟悉正方體對角面和對角線的考生，對第()問，可心算出結果為m=1/3；對第()問，可猜出這個Q點在O1點.可是由于對正方體熟悉不多，因此第()小題成了大題，第()小題成了大難題. 考題9 （2006年湖北卷第18題）第十一頁，共33頁幻燈片12 考題考題 10 （2006年安徽卷第年安徽卷第16題）題）NoImage多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面，其余頂點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：3； 4；

9、5； 6； 7以上結論正確的為_.（寫出所有正確結論的編號）第十二頁，共33頁幻燈片13二、正四面體與正方體二、正四面體與正方體從“正方體高考十年”和“全國熱炒正方體”中，我們看到正方體在立體幾何中的特殊地位. 在實踐中，正方體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看作是由正方體演變而來. 我們認定了正方體是多面體的“根基”. 我們在思考：（1）正方體如何演變出正四面體？（2）正方體如何演變出正八面體？（3）正方體如何演變出正三棱錐？（4）正方體如何演變出斜三棱錐？第十三頁，共33頁幻燈片14考 題 1 （正四面體化作正方體解）說 明本題如果就正四面體解正四面體，則問題就不是一個小題目了

10、，而是有相當計算量的大題. 此時的解法也就淪為拙解.第十四頁，共33頁幻燈片15拙解 硬碰正四面體第十五頁，共33頁幻燈片16聯(lián)想 、 、 的關系正四面體的棱長為 ，這個正四面體豈不是由棱長為1的正方體的6條“面對角線”圍成？2則三棱錐BA1C1D是棱長為 的正四面體.于是正四面體問題可化歸為對應的正方體解決.2為此，在棱長為1的正方體BD1中，（1）過同一頂點B作3條面對角線BA1、BC1、BD；（2）將頂點A1，C1，D依次首尾連結.A1C1DBACA1B1D1C1DB第十六頁，共33頁幻燈片17妙解 從正方體中變出正四面體以 長為面對角線，可得邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，

11、這個正方體的體對角線長為 ，則其外接球的半徑為 ，則其外接球的表面積為S=4R2=4( )23以 為棱長的正四方體B-A1C1D與以1為棱長的正方體有共同的外接球，故其外接球的表面積也為S=3.答案為A.2323232第十七頁，共33頁幻燈片18尋根 正方體割出三棱錐在正方體中割出一個內接正四面體后，還“余下”4個正三棱錐.每個正三棱錐的體積均為1/6，故內接正四面體的體積為1/3 .這5個四面體都與正方體“內接”而“共球”.事實上，正方體的內接四面體（即三棱錐）共有 -12=58個.至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根.48C第十八頁，共33頁幻燈片19按理說，立體幾何考題屬中檔考題，難

12、度值追求在0.4到0.7之間. 所以，十年來立幾考題哪怕是解答題也沒有出現(xiàn)在壓軸題中. 從題序上看，立幾大題在6個大題的中間部分，立幾小題也安排在小題的中間部分.然而，不知是因為是考生疏忽，還是命題人粗心，竟然在立幾考題中弄出了大難題，其難度超過了壓軸題的難度，從而成為近十年高考難題的高難之最！三、正方體成為十年大難題三、正方體成為十年大難題第十九頁，共33頁幻燈片20命題 將正方體一分為二2003年全國卷第18題，天津卷第18題，河南卷第19題等，是當年數(shù)學卷的大難題. 其難度，超過了當年的壓軸題.在命題人看來，其載體是將正方體沿著對角面一分為二，得到了一個再簡單不過的直三棱柱.圖中的點E正

13、是正方體的中心.第二十頁，共33頁幻燈片21考題如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90.側棱AA1，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B與平面ABD所成角的大小(結果用反三角函數(shù)值表示)；()求點A1到平面AED的距離.第二十一頁，共33頁幻燈片22解 析（轉下頁）考場反饋：按出題人給出的圖形（右上），答題時無法作輔助線.第二十二頁，共33頁幻燈片23（轉下頁）解 析（續(xù)上）考場反饋：按出題人給出的這種解析，無法在原圖上顯示.第二十三頁，共33頁幻燈片24解 析（續(xù)上）（解畢）閱卷人說：在見到的答卷中，幾乎沒

14、有看到這種“標準答案”.第二十四頁，共33頁幻燈片25難點突破：斜二測改圖法，把問題轉到正方體中.本題難在哪里？從正方體內切出的直三棱柱的畫法不標準！第二十五頁，共33頁幻燈片26難題（0318）的題圖探究正方體立體圖常見的畫法有兩種：（1）斜二測法（圖右）此法的缺點：A1、B、C 三點“共線”導致“三線”重合（2）正等測法（圖右）此法的缺點：A、C、C1、A1“共線”導致“五線”重合難題的圖近乎第二種畫法（圖右）：將正方體的對角面置于正前面.第二十六頁，共33頁幻燈片27四、解正方體四、解正方體正方體既然這么重要，我們就不能把這個“簡單的正方體”看得太簡單. 像數(shù)學中其他板塊的基礎內容一樣，

15、越簡單的東西，其基礎性就越深刻，其內涵和外延的東西就越多.我們既然認定了正方體是多面體的根基，那我們就得趁著正方體很“簡單”的時候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的關系，都弄個清楚明白！第二十七頁，共33頁幻燈片28正方體，（ ）個面， 線面距轉（ ）面距，（ ）個頂點（ ）棱。 尋找（ ）要根據。頂點連線（ ）條， 異面直線求距離，一頂（ ）線來相交。 確定（ ）是難題。三頂確定三角形， 正方體，是個寶，要求三頂不共（ ）。 各種關系藏得巧。四頂確定四面體， 正四面體（ ）條棱，要求四頂不共（ ）。 選自6面（ ）線；三種線段結數(shù)緣， 正八面體（ ）個頂，根1、根2和（ ）。 6面（ ）

16、對得準。68 12 28 7 線 面點射影垂足6對角6中心根3關于正方體 你已經知道了多少？關于正方體 還有許多許多！例如，8個頂點中，4頂共面的有（ ）個，4頂異面的（ ）個。正是4頂異面的個數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個數(shù)。第二十八頁，共33頁幻燈片29五、解正四面體五、解正四面體統(tǒng)計十年的高考立幾題，除直接考“解正方體”的題目比重最大以外，接下來的就是“解正四面體”的題目了. 其實，正四面體并不能與正方體平起平坐，正四面體本質上是正方體的“演生體”，通俗地說：正四面體是正方體的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了.在十年的高考“正四面體”中，凡是就“兒子解兒子”的解法，都是拙法

17、；凡是由“老子解兒子”的辦法都是妙法！第二十九頁，共33頁幻燈片30正四面體棱長設作1，則對應的正方體棱長為底面正三角形高為（ ）； 底面正三角形的外半徑為（ ）；正三角形的內半徑為（ ）； 正四面體的斜高為（ ）；斜高在底面上的射影為（ ）； 斜面與底面成角余弦值（ ）；正四面體高為（ ）； 外接球半徑為（ ）；內切球半徑為（ ）.22一句話小結 正四面體與正方體的對應量只相差一個系數(shù)： （或 ）2224612623336323633136第三十頁，共33頁幻燈片31 （2006年湘卷理9）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 A. B. C. D.222323.PDA1P.C1B22A1PC1妙解 （找老子解兒子）2答案為C第三十一頁，共33頁幻燈片32拙解 （就兒子解兒子）如圖所示：即求三角形PCD的面積.因為CD=2，四面體A-BCD是正三棱錐，則PD=PC，三角形PCD是等腰三角形. 過P作CD的中線交CD于Q，則球心在PQ上