高中數(shù)學(xué)最值問題

1、最值問題的解法一、 配方法例：當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值解析：，當(dāng)時(shí)，顯然由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，二、 判別式法對(duì)于所求的最值問題，如果能將已知函數(shù)式經(jīng)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無實(shí)根的問題，則常可利用判別式求得函數(shù)的最值例：已知，求的最值解析：由已知，變形得，則，即有 故 因此 ，無最小值例3：若、且滿足：，則= = 解析：由已知，變形得：，則，即有，于是，即 即同理，則，即有，于是，即 即注意：關(guān)于、的有交叉項(xiàng)的二元二次方程，通常用此法例4：已知函數(shù)，求的最值解析：函數(shù)式變形為：，由已知得，即：，即：因此 ，例5：已知函數(shù)的值域?yàn)?，求常?shù)解析： ，即由題意：所以，即，注意：判別式求

2、函數(shù)的值域或已知值域求參數(shù)，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，通過方程有實(shí)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域或參數(shù)的值.形如(、不同時(shí)為0)，常用此法求得例6：在條件下，求的最大值解析：設(shè)，因，故 ，則 即 因?yàn)?，故，于是 即 將代入方程得 ，所以注意：因僅為方程有實(shí)根，的必要條件，因此，必須將代入方程中檢驗(yàn)，看等號(hào)是否可取三、 代換法(一)局部換元法例7：求函數(shù)的最值解析：令，則，函數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?，即有，所以在2，內(nèi)遞增故 所以 當(dāng)時(shí)，無最大值； 當(dāng)時(shí)，無最大值例8：求函數(shù)的最值解析：設(shè) ()，則由原式得當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)取等號(hào)故，無最小值例9：已知,求函數(shù)的最值解析：令則 且，于

3、是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，注意：若函數(shù)含有和，可考慮用換元法解(二)三角代換法(有時(shí)也稱參數(shù)方程法)例10：已知、，求的最值解析：設(shè)，(為參數(shù))因 ，故 故當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，例11：實(shí)數(shù)、適合：，設(shè)，則+=_解析：令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以 例12：求函數(shù) ()的最值解析：令，則又令，則 即有 所以，注意：利用重要不等式時(shí)，要滿足“一正二定三相等”例13：已知、且，求的最值解析：化為，得參數(shù)方程為故 ，(三)均值換元法例14：已知，求證：的最小值為解析：由于本題中、的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，故不能用三角換元，但根據(jù)其和為，我們可以令，()，則 的最小值為在即時(shí)取等號(hào)四、 三角函數(shù)有界法對(duì)于，總有，例15：求函

4、數(shù)的最值解析：因?yàn)?，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，五、 均值不等式法例16：在任意三角形內(nèi)求一點(diǎn)，使它到三邊之積為最大解析：設(shè)三角形的三邊長分別為、，面積為，三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離分別為、(定值) 即 (時(shí)取等號(hào))因此，當(dāng)此點(diǎn)為三角形的重心時(shí)(這時(shí)、面積相等)，它到三邊之積為最大例17：有矩形的鐵皮，其長為30，寬為14，要從四角上剪掉邊長為 的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的矩形盒子，問為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？解析：依題意，矩形盒子底邊長為 ，底邊寬為 ，高為 盒子容積 (顯然：、)設(shè) ，要用均值不等式則解得：，從而 故矩形盒子的最大容積為576 也可：令或注意：均值不等式應(yīng)

5、用時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件(一正二定三相等)，當(dāng)條件不滿足時(shí)要靈活運(yùn)用拆項(xiàng)、湊項(xiàng)、湊系數(shù)、平方等技巧湊配系數(shù)，適當(dāng)時(shí)可以用待定系數(shù)法來求例18：已知(、均為銳角)，那么的最大值等于_解析：因、均為銳角，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為例19：求函數(shù)的最小值(、)解析： 當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，函數(shù)取得最小值六、 單調(diào)性法(一)利用若干次“”(或“”)求函數(shù)的最值例20：求函數(shù)在，內(nèi)的最小值解析：當(dāng)時(shí)，上式中的兩個(gè) “”中的等號(hào)同時(shí)成立，所以是 “精確的”不等式因而 另：此題還可用換元以及函數(shù)單調(diào)性來判斷(二)形如的函數(shù)的最值(1)，時(shí)，函數(shù)在，內(nèi)遞增，在，內(nèi)遞減，在，內(nèi)遞減，在，內(nèi)遞增(2)，時(shí)，

6、函數(shù)在，內(nèi)遞減，在，內(nèi)遞增，在，內(nèi)遞增，在，內(nèi)遞減(3)，時(shí)，函數(shù)在，內(nèi)遞減，在，內(nèi)遞減(4)，時(shí)，函數(shù)在，內(nèi)遞增，在，內(nèi)遞增例21：求函數(shù)的最值解析：函數(shù)令，則，于是 在，內(nèi)遞減，在，內(nèi)遞增所以當(dāng)，即時(shí)，；無最大值例22：求函數(shù)的最大值解析：令，則，函數(shù)在，內(nèi)遞增所以在，內(nèi)也是遞增的當(dāng)，即時(shí)，七、 平方開方法例23：已知、是不相等的正數(shù)，求函數(shù)的最值解析：因、是不相等的正數(shù)，與不能同時(shí)為，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，八、 數(shù)形結(jié)合法有些代數(shù)和三角問題，若能借助幾何背景和幾何直觀而求其最值，常能受到直觀明快，化難為易的功效例24：求函數(shù)的最值解析：將函數(shù)式變形為，只需求函數(shù)的最值把看成兩點(diǎn)，連線的斜率，(即

7、為單位圓上的點(diǎn))，則當(dāng)直線為單位圓的切線時(shí)，其斜率為最大或最小設(shè)過點(diǎn)的單位圓的切線方程為，即 則圓心到切線的距離為，解得：，從而函數(shù)最大值為；最小值為九、 利用二次函數(shù)的性質(zhì)例25：設(shè)，且，求當(dāng)、為何值時(shí)，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值解析：由，得由，且可得，從而(當(dāng)時(shí)左邊取“=”號(hào)，時(shí)右邊取“”號(hào))，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，即當(dāng)、時(shí)，；當(dāng)、時(shí)，例26：求函數(shù)的最值解析：要使有意義，必須有，即 故 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)(或)時(shí)，.例27：求函數(shù)的最值解析：因?yàn)?，結(jié)合二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)：當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，十、 放縮法例28：若、，且，則的最大值是（）解析：同理，三式相加，即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)十一、導(dǎo)數(shù)法例29：求函數(shù)在上的最值解析：，得，所以函數(shù)最大值為36，最小值為注意：要求三次及三次以上的函數(shù)的最值，以及利用其他方法很難求的函數(shù)的最值，通常都用該方法，導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡便的方法，應(yīng)該引起足夠重視例30：求函數(shù)的最值解析：函數(shù)的定義域?yàn)?；，又是上的連續(xù)函數(shù)故有在上遞增，在上遞減，故函數(shù)最大值為，最小值為當(dāng)然，解最值問題的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，例如，還有復(fù)合函數(shù)法，反函數(shù)