高中的數(shù)學(xué)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(經(jīng)典練習(xí)題目)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案高中數(shù)學(xué)精英講解-冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)【第一部分】知識復(fù)習(xí)【第二部分】典例講解考點(diǎn)一：冪函數(shù)例1、比較大小例2、冪函數(shù)，(mN)，且在(0，)上是減函數(shù)，又，則m=A0B1C2D3解析：函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)，則有，又，故為偶函數(shù)，故m為1例3、已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式； (2)討論的奇偶性冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，解得，又是偶數(shù)，(2)，當(dāng)且時(shí)，是非奇非偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，是奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，奇又是偶函數(shù)例4、下面六個(gè)冪函數(shù)的圖象如圖所示，試建立函數(shù)與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5

2、)(D)，(6)(B).變式訓(xùn)練：1、下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）Ay=2x By=2x1 Cy=(x1)2Dy=2、下列說法正確的是（）Ay=x4是冪函數(shù)，也是偶函數(shù) By=x3是冪函數(shù)，也是減函數(shù)C是增函數(shù)，也是偶函數(shù) Dy=x0不是偶函數(shù)3、下列函數(shù)中，定義域?yàn)镽的是（）Ay=By= Cy=Dy=x14、函數(shù)的圖象是（）ABCD5、下列函數(shù)中，不是偶函數(shù)的是（）Ay=3x2By=3x2 CDy=x2x16、若f(x)在5，5上是奇函數(shù)，且f(3)f(1)，則（）Af(1)f(3)Bf(0)f(1) Cf(1)f(1)Df(3)f(5)7、若y=f(x) 是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在y=

3、f(x)圖象上的是（）A(a，f(a)B(a，f(a) C(a，f(a)D(a，f(a )8、已知，則下列正確的是（）A奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)C奇函數(shù)，在R上為減函數(shù) D偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)9、若函數(shù)f(x)=x2ax是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（）A2B1 C0D110、已知f(x)為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，又f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，且f(1)=0，則滿足f(x)>0的的取值范圍是（）AB(0，1) CD 11、若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則_12、函數(shù)的定義域是_13、若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_14、是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是_DACAD ABACD9、，函數(shù)為

4、偶函數(shù)，則有f(x)=f(x)，即x2ax=x2ax，所以有a=010、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性，則有函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<0，當(dāng)1<x<0時(shí)，f(x)>0，又f(1)=f(1)=0，故當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0則滿足f(x)>0的 11、 解析：點(diǎn)代入得，所以12、解：13、 解析：，解得14、解：則有，又為偶函數(shù)，代入驗(yàn)證可得整數(shù)a的值是5 考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)例1、若函數(shù)y=axm1(a>0)的圖像在第一、三、四象限內(nèi)，則（）A.a>1B.a>1

5、且m<0 C.0<a<1且m>0D.0<a<1例2、若函數(shù)y=4x3·2x3的值域?yàn)?,7，試確定x的取值范圍例3、若關(guān)于x的方程有負(fù)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍例4、已知函數(shù)(1)證明函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)； (2)求函數(shù)f(x)的值域例5、如果函數(shù)（a>0，且a1）在1，1上的最大值是14，求a的值例1、解析：y=ax的圖像在第一、二象限內(nèi)，欲使其圖像在第一、三、四象限內(nèi)，必須將y=ax向下移動而當(dāng)0<a<1時(shí)，圖像向下移動，只能經(jīng)過第一、二、四象限或第二、三、四象限只有當(dāng)a>1時(shí)，圖像向下移動才可能經(jīng)過第一、三

6、、四象限，故a>1又圖像向下移動不超過一個(gè)單位時(shí)，圖像經(jīng)過第一、二、三象限，向下移動一個(gè)單位時(shí)，圖像恰好經(jīng)過原點(diǎn)和第一、三象限欲使圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則必須向下平移超過一個(gè)單位，故m1<1，m<0故選B答案：B例2、分析：在函數(shù)y=4x3·2x3中，令t=2x，則y=t23t3是t的二次函數(shù)，由y1,7可以求得對應(yīng)的t的范圍，但t只能取正的部分. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性我們可以求出x的取值范圍解答：令t=2x,則y=t23t3，依題意有：x0或1x2，即x的范圍是(，01,2小結(jié)：當(dāng)遇到y(tǒng)=f(ax)類的函數(shù)時(shí)，用換元的思想將問題轉(zhuǎn)化為較簡單的函數(shù)來處理，再結(jié)合

7、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到原問題的解例3、分析：求參數(shù)的取值范圍題，關(guān)鍵在于由題設(shè)條件得出關(guān)于參數(shù)的不等式解答：因?yàn)榉匠逃胸?fù)實(shí)數(shù)根，即x0，所以，解此不等式，所求a的取值范圍是例4、分析：對于(1)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義去證明；對于(2)，可用反解法求得函數(shù)的值域解答：(1)，設(shè)x1x2，則因?yàn)閤1x2，所以2x12x2，所以,所以又10, 10,所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函數(shù)f(x)在其定義域(，)上是增函數(shù)(2)設(shè)，則，因?yàn)?02x0，所以，解得1y1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1，1) 例5、分析：考慮換元法，通過換元將函數(shù)化成簡單形式來求值域解：設(shè)t=ax>

8、0，則y=t22t1，對稱軸方程為t=1若a>1，x1，1，t=ax，當(dāng)t=a時(shí)，ymax=a22a1=14解得a=3或a=5(舍去)若0<a<1，x1，1，t=ax當(dāng)時(shí)， 解得（舍去）所求的a值為3或變式訓(xùn)練：1、函數(shù)在R上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）AB C D2、函數(shù)是（）A奇函數(shù)B偶函數(shù) C既奇又偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)3、函數(shù)的值域是（）A B CD4、已知,則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過（）A第一象限B第二象限 C第三象限D(zhuǎn)第四象限5、函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢B CD6、函數(shù)，滿足f(x)>1的x的取值范圍是（）AB CD7、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）AB CD8、已知，則下

9、列正確的是（）A奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)C奇函數(shù)，在R上為減函數(shù) D偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)9、函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）AB CD10、下列說法中，正確的是（）任取xR都有； 當(dāng)a>1時(shí)，任取xR都有；是增函數(shù)； 的最小值為1；在同一坐標(biāo)系中，的圖象對稱于y軸AB CD 11、若直線y=2a與函數(shù)y=|ax1|(a0且a1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍_.12、函數(shù)的定義域是_13、不論a取怎樣的大于零且不等于1的實(shí)數(shù)，函數(shù)y=ax21的圖象恒過定點(diǎn)_14、函數(shù)y=的遞增區(qū)間是_.15、已知9x10·3x90，求函數(shù)y=()x14

10、()x2的最大值和最小值16、若關(guān)于x的方程25|x1|4·5|x1|m=0有實(shí)根，求m的取值范圍17、設(shè)a是實(shí)數(shù)，(1)試證明對于a取任意實(shí)數(shù)，f(x)為增函數(shù)；(2)試確定a的值，使f(x)滿足條件f(x)f(x)恒成立18、已知f(x)（a>0且）（1）求f(x)的定義域、值域（2）討論f(x)的奇偶性（3）討論f(x)的單調(diào)性答案及提示：1-10 DADAD DDACB1、可得0<a21<1，解得.2、函數(shù)定義域?yàn)镽，且，故函數(shù)為奇函數(shù).3、可得2x>0，則有，解得y>0或y<1.4、通過圖像即可判斷.5、.6、由，由，綜合得x>1或

11、x<1.7、即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，由，可得，又，則函數(shù)在上為減函數(shù)，故所求區(qū)間為.8、函數(shù)定義域?yàn)镽，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，又，函數(shù)在R上都為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).9、可得.10、中當(dāng)x=0時(shí)，兩式相等，式也一樣，式當(dāng)x增大，y減小，故為減函數(shù) 11、0a提示：數(shù)形結(jié)合.由圖象可知02a1，0a.12、提示：由得23x2，所以3x1，13、(2,2) 提示：當(dāng)x=2時(shí)，y=a01=214、(，1提示：y=()x在(，)上是減函數(shù)，而函數(shù)y=x22x2=(x1)21的遞減區(qū)間是(，1，原函數(shù)的遞增區(qū)間是(，115、解：由9x10·3x90得(3x1)(3x9)0，解

12、得13x9.0x2，令()x=t，則t1，y=4t24t2=4(t)21.當(dāng)t=即x=1時(shí)，ymin=1；當(dāng)t=1即x=0時(shí)，ymax=2. 16、解法一：設(shè)y=5|x1|，則0y1，問題轉(zhuǎn)化為方程y24ym=0在(0，1內(nèi)有實(shí)根.設(shè)f(y)=y24ym，其對稱軸y=2，f(0)0且f(1)0，得3m0.解法二：m=y24y，其中y=5|x1|(0，1，m=(y2)243，0)17、(1)設(shè)，即f(x1)f(x2)，所以對于a取任意實(shí)數(shù)，f(x)在(，)上為增函數(shù)(2)由f(x)=f(x)得，解得a=1，即當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=f(x)18、解：（1）定義域?yàn)镽值域?yàn)椋?，1）（2），f(x)

13、為奇函數(shù)（3）設(shè)，則當(dāng)a>1時(shí)，由，得，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)同理可判斷當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在R上為減函數(shù) 考點(diǎn)三：對數(shù)函數(shù)例1、求函數(shù)的定義域和值域，并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2、已知函數(shù)f(x)=lg(ax22x1)（aR）.（1）若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例3、已知的最大值和最小值以及相應(yīng)的x值. 例4、已知f(x)=loga(ax1)（a0，a1）.（1）求f(x)的定義域；（2）討論f(x)的單調(diào)性；（3）求函數(shù)y=f(2x)與y=f1(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).例1 解：由x

14、22x30 ，得 x22x30，1x3，定義域?yàn)?(1，3)；又令 g(x)=x22x3=(x1)24，當(dāng) x(1，3) 時(shí)， 0g(x)4. f(x)=2 ，即函數(shù) f(x) 的值域?yàn)?，）； g(x)=(x1)24 的對稱軸為 x=1. 當(dāng)1x1 時(shí)， g(x) 為增函數(shù)，為減函數(shù). 當(dāng) 1x3 時(shí)， g(x)為減函數(shù)， f(x)為增函數(shù)即 f(x) 在（1，1 上為減函數(shù)；在 1，3 ）上為增函數(shù) 例2、分析：令g(x)=ax22x1，由f(x)的定義域?yàn)镽，故g(x)0對任意xR均成立，問題轉(zhuǎn)化為g(x)0恒成立，求a的取值范圍問題；若f(x)的值域?yàn)镽，則g(x)的值域?yàn)锽必滿足B（

15、0，），通過對a的討論即可解答：（1）令g(x)=ax22x1，因f(x)的定義域?yàn)镽， g(x)0恒成立函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，有a1.（2）因f(x)的值域?yàn)镽，設(shè)g(x)=ax22x1的值域?yàn)锽，則B（0，）.若a0，則B=（，1（0，）；若a=0，則B=R，滿足B（0，）.若a0，則=44a0， a1.綜上所述，當(dāng)f(x)的值域?yàn)镽時(shí)，有0a1.例3、分析：題中條件給出了后面函數(shù)的自變量的取值范圍，而根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將函數(shù)化成關(guān)于log2x的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題來求解.解答：當(dāng)t=3時(shí)，y有最大值2，此時(shí)，由log2x=3，得x=8.當(dāng)x=2時(shí)，y有最

16、小值.當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值2.例4、分析：題設(shè)中既含有指數(shù)型的函數(shù)，也含有對數(shù)型的函數(shù)，在討論定義域，討論單調(diào)性時(shí)應(yīng)注意對底數(shù)a進(jìn)行討論，而（3）中等價(jià)于求方程f(2x)=f1(x)的解解答：（1）ax10得ax1.當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，），當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ǎ?）.（2）令g(x)=ax1，則當(dāng)a1時(shí)，g(x)=ax1在（0，）上是增函數(shù).即對0x1x2，有0g(x1)g(x2)，而y=logax在（0，）上是增函數(shù)， logag(x1) logag(x2)，即f(x1)f(x2) f(x)= loga(ax1)在（0，）上是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，g(x)=

17、ax1在(,0)上是減函數(shù).即對x1x20，有g(shù)(x1)g(x2)0而y=logax在（0，）上是減函數(shù)， logag(x1) logag(x2)，即f(x1)f(x2) f(x)=loga(ax1)在（，0）上是增函數(shù).綜上所述，f(x)在定義域上是增函數(shù)（3） f(2x)= loga(a2x1)，令y=f(x)= loga(ax1)，則ax1=ay， ax=ay1， x= loga (ay1)(yR) f1(x)= loga (ax1)（xR）由f(2x)=f1(x)，得loga(a2x1)= loga(ax1) a2x1= ax1，即(ax)2ax2=0. ax=2或ax=1（舍） x=

18、loga2.即y=f(2x)與y= f1(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=loga2變式訓(xùn)練：一、選擇題1、當(dāng)a>1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax與y=logax的圖象是（）ABCD2、將y=2x的圖象（），再作關(guān)于直線y=x對稱的圖象，可得函數(shù)y=log2(x1)和圖象A先向左平行移動1個(gè)單位 B先向右平行移動1個(gè)單位C先向上平行移動1個(gè)單位 D先向下平行移動1個(gè)單位3、函數(shù)的定義域是（）A（1，）B（2，） C（，2）D（1，24、函數(shù)y=lg(x1)3的反函數(shù)f1(x)=（）A10x31B10x31 C10x31D10x315、函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A（，1）B（2，） C（，）D（，

19、）6、已知f(x)=|logax|，其中0<a<1，則下列各式中正確的是（）ABCD7、是（）A奇函數(shù)而非偶函數(shù) B偶函數(shù)而非奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，則下列不等式中正確的是（）A BC D9、函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則y=log0.2f(x)的圖象示意圖為（）ABCD10、關(guān)于x的方程（a0，a1），則（）A僅當(dāng)a1時(shí)有唯一解 B僅當(dāng)0a1時(shí)有唯一解C必有唯一解 D必?zé)o解 二、填空題11、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_.12、函數(shù)在2x4范圍內(nèi)的最大值和最小值分別是_. 13、若關(guān)于x的方程至少

20、有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_.14、已知（a0，b0），求使f(x)0的x的取值范圍.15、設(shè)函數(shù)f(x)=x2xb，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a1)，(1)求a，b的值；(2)試在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的條件下，求x的取值范圍16、已知函數(shù)f(x)=loga(x3a)（a0且a1），當(dāng)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q（x2a，y）是y=g(x)圖象上的點(diǎn).（1）寫出y=g(x)的解析式；（2）若當(dāng)xa2，a3時(shí)，恒有|f(x)g(x)|1，試求a的取值范圍.答案及提示：1-10 DDDDA

21、 BBBCC1、當(dāng)a>1時(shí)，y=logax是單調(diào)遞增函數(shù)，是單調(diào)遞減函數(shù)，對照圖象可知D正確.應(yīng)選D.2、解法1：與函數(shù)y=log2(x1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的曲線是反函數(shù)y=2x1的圖象，為了得到它，只需將y=2x的圖象向下平移1個(gè)單位.解法2：在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y=2x與y=log2(x1)的圖象，直接觀察，即可得D.3、由0，得 0<x11， 1<x2.5、應(yīng)注意定義域?yàn)椋ǎ?）（2，），答案選A.6、不妨取，可得選項(xiàng)B正確7、由f(x)=f(x)知f(x)為偶函數(shù)，答案為B.8、由ab>1，知，故且，故答案選B.10、當(dāng)a1時(shí)，01，當(dāng)0a1時(shí)，1，作出y=ax與