解析幾何全冊課件

1、解析幾何課件(第四版)第四章第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面第五章第五章 二次曲線的一般理論二次曲線的一般理論第一章第一章 向量與坐標(biāo)向量與坐標(biāo)第三章第三章 平面與空間直線平面與空間直線第二章第二章 軌跡與方程軌跡與方程第一章第一章 向量與坐標(biāo)向量與坐標(biāo)1.1 向量的概念向量的概念1.3 數(shù)量乘向量數(shù)量乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解向量的線性關(guān)系與向量的分解1.6 向量在軸上的射影向量在軸上的射影 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)標(biāo)架與坐標(biāo)1.7 兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積1.9 三向量的混合積三向量的混合積1.8 兩向量的向量積兩向量的向

2、量積第二章第二章 軌跡與方程軌跡與方程2.1 平面曲線的方程平面曲線的方程 2.2 曲面的方程曲面的方程2.3 空間曲線的方程空間曲線的方程第三章第三章 平面與空間直線平面與空間直線3.1 平面的方程平面的方程3.3 兩平面的相關(guān)位置兩平面的相關(guān)位置3.2 平面與點的相關(guān)位置平面與點的相關(guān)位置3.4 空間直線的方程空間直線的方程3.7 空間兩直線的相關(guān)位置空間兩直線的相關(guān)位置 3.5 直線與平面的相關(guān)位置直線與平面的相關(guān)位置3.6 空間直線與點的相關(guān)位置空間直線與點的相關(guān)位置第四章第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面 與二次曲面與二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面4.2 錐面

3、錐面 4.4 橢球面橢球面 4.5 雙曲面雙曲面 4.6 拋物面拋物面第五章第五章 二次曲線的一般理論二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置二次曲線與直線的相關(guān)位置 5.3 二次曲線的切線二次曲線的切線5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線二次曲線的漸近方向、中心、漸近線5.4 二次曲線的直徑二次曲線的直徑5.6 二次曲線方程的化簡與分類二次曲線方程的化簡與分類 5.5 二次曲線的主直徑和主方向二次曲線的主直徑和主方向 定義定義1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或稱矢或稱矢量量.向量向量既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量的幾何表

4、示：向量的幾何表示：|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .或或以以1M為起點，為起點，2M為終點的有向線段為終點的有向線段.a21MM或或兩類量兩類量: 數(shù)量數(shù)量(標(biāo)量標(biāo)量):可用一個數(shù)值來描述的量可用一個數(shù)值來描述的量;有向線段有向線段有向線段的方向表示有向線段的方向表示向量向量的方向的方向.有向線段的長度表示有向線段的長度表示向量向量的大小的大小,1M2M a1.1 1.1 向量的概念向量的概念返回下一頁所有的零向量都相等所有的零向量都相等. .ab模為模為1 1的向量的向量. .零向量：零向量： 模為模為0 0的向量的向量. .0單位向量：單位向量： 定義定義1

5、.1.21.1.2 如果兩個向量的模相等且方向如果兩個向量的模相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .記為記為ba 定義定義1.1.31.1.3 兩個模相等，方向相反的向兩個模相等，方向相反的向量叫做互為量叫做互為反向量反向量. .向BAAB量互為反與a向a 量記為的反a a上一頁下一頁返回0a零向量與任何共線的向量組共線零向量與任何共線的向量組共線. . 定義定義1.1.41.1.4 平行于同一直線的一組向量平行于同一直線的一組向量叫做叫做共線向量共線向量. . 定義定義1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一組向量平行于同一平面的一組向量叫做叫做共面向量共面向量. .

6、零向量與任何共面的向量組共面零向量與任何共面的向量組共面. .上一頁返回abOAB這種求兩個向量和的方法叫這種求兩個向量和的方法叫三角形法則三角形法則. .OBOA 、OBOAOC 定理定理1.2.11.2.1 如果把兩個向量如果把兩個向量 為鄰邊為鄰邊組成一個平行四邊形組成一個平行四邊形OACB，那么對角線向量，那么對角線向量 bacba, cOBBOOABbABaOAOba1 . 2 . 1 的和，記做與叫做兩矢量的矢量到另一端點，從折線的端點得一折線，接連作矢量為始點，以空間任意一點、設(shè)已知矢量定義1.2 1.2 向量的加法向量的加法下一頁返回OABC這種求兩個向量和的方法叫做平行四邊形

7、法則定理1.2.2 向量的加法滿足下面的運算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa上一頁下一頁返回法則推廣法則推廣求和求和相加可由矢量的三角形相加可由矢量的三角形有限個矢量有限個矢量naaa,21.,12112121122111nnnnnnnnAAAAOAOAaaanaOAAAOAaAAaAAaOAO 的的和和，即即個個矢矢量量就就是是于于是是矢矢量量由由此此得得一一折折線線開開始始，依依次次引引自自任任意意點點OA1A2A3A4An-1An 這種求和的方法叫做多邊形法則上一頁下一頁返回abcba cba

8、 1a2ananaaa 21向量減法向量減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab.2 . 2 . 1bacbacacbacb 的差，并記做的差，并記做與與叫做矢量叫做矢量時，我們把矢量時，我們把矢量，即，即的和等于矢量的和等于矢量與矢量與矢量當(dāng)矢量當(dāng)矢量定義定義上一頁下一頁返回1,.a bc 例設(shè)互不共線的三矢量與 ，試證明順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零矢量,0,0a b cABCABaBCb CAcABBCCA AAabc 證 必要性 設(shè)三矢量 ，可以構(gòu)成三角形，即有，那么即0,0,.abcABa BCbACabACccACc CA

9、a b cABC 充分性 設(shè)，作那么所以從而 是的反矢量，因此 ，所以 ，可構(gòu)成一個三角形ABC上一頁返回例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相平分的試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 1.3.1,00.aaaaaaa定義實數(shù) 與矢量 的乘積是一個矢量，記做它的模是；的方向，當(dāng)時與 相同，當(dāng)時與相反我們把這種

10、運算叫做數(shù)量與矢量的乘法，簡稱為數(shù)乘1.3 1.3 數(shù)乘向量數(shù)乘向量下一頁返回對于非零向量 總可以作出一個和它同方向的單位向量 01,|aaa0|aa aa0a定理定理1.3.1 數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）第一分配律：）第一分配律：aaa )(baba )(（3 3）第二分配律：）第二分配律：上一頁下一頁返回0.ababa設(shè)向量，那么向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù) ，使定定理理兩個向量的平行關(guān)系兩個向量的平行關(guān)系證證充分性顯然；充分性顯然；必要性必要性ab設(shè)設(shè),ab 取取取取正正值值，

11、同同向向時時與與當(dāng)當(dāng) ab取取負(fù)負(fù)值值，反反向向時時與與當(dāng)當(dāng) ab.ab 即即有有.同同向向與與此此時時ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又又設(shè)設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即上一頁下一頁返回0 a b當(dāng)或除這些情況外，現(xiàn)分別按下面兩種情況證明中有一個為零向量時，顯然成立，1)baba )(2)ab,baba|ba| ba()()(1) abaaaaaaaab和平行可以找到數(shù)使得這只需按與同向或相反，取或abOAB11,OAB和不平行如圖，是以向量為邊的三角形，按相似比為可得出相似且3) a b111,OAOA

12、ABABaabb 1.OBOB 1,OBOBabab ().abab由相似三角形對應(yīng)邊成比例的關(guān)系，可以得出而故例例1 1設(shè)設(shè)AM是三角形是三角形ABC的中線，求證的中線，求證:證證 1()2AMABAC 如圖如圖 因為 ,AMABBM AMACCM 2()(),AMABACBMCM 所以 但 0,BMCMBMMB 因而 2AMABAC 即 1()2AMABAC ABCM(圖1.11)上一頁下一頁返回例例2 2 用向量方法證明：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點用向量方法證明：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證證 設(shè)設(shè)ABC兩邊兩邊AB，AC之中點分

13、別為之中點分別為M，N，那么那么MNANAM 1122ACAB 1()2ACAB 12BC 所以所以/MNBC 且且12MNBC 上一頁返回例例3 3 化簡化簡 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例4 4 試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各邊中點的連線構(gòu)成平行四邊形邊中點的連線構(gòu)成平行四邊形.證證: 只要證只要證 HGEF 結(jié)論得證結(jié)論得證.ACDCADDGHDHG212121 ACBCABBFEBEF212121 HGEF ABCDEFGH.,1 . 4 . 12122112121的線性組合的線性組合叫做

14、矢量叫做矢量所組成的矢量所組成的矢量與數(shù)量與數(shù)量由矢量由矢量定義定義nnnnnaaaaaaaaaa .,)14 . 1(01 . 4 . 1唯一確定唯一確定被被并且系數(shù)并且系數(shù)，的線性組合，即的線性組合，即是是線性表示，或者說線性表示，或者說可以用矢量可以用矢量線的充要條件是線的充要條件是共共與矢量與矢量，那么矢量，那么矢量如果矢量如果矢量定理定理rexexrererere .共線矢量的基底共線矢量的基底稱為用線性組合來表示稱為用線性組合來表示這時這時e1.4 1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解向量的線性關(guān)系與向量的分解下一頁返回.,24 . 1,2 . 4 . 1212121212121唯一

15、確定唯一確定被被并且系數(shù)并且系數(shù)）（的線性組合，即的線性組合，即可以分解成可以分解成或者說向量或者說向量線性表示，線性表示，可以用向量可以用向量共面的充要條件是共面的充要條件是與與不共線，那么向量不共線，那么向量如果向量如果向量定理定理reeyxeyexreereereeree .,)34 . 1(,3 . 4 . 1321321321321321唯一確定唯一確定被被并且其中系數(shù)并且其中系數(shù)的線性組合，即的線性組合，即可以分解成向量可以分解成向量任意向量任意向量線性表示，或說空間線性表示，或說空間可以由向量可以由向量任意向量任意向量不共面，那么空間不共面，那么空間如果向量如果向量定理定理ree

16、ezyxezeyexreeereeereee .,21叫做平面上向量的基底叫做平面上向量的基底這時這時ee上一頁下一頁返回 例例5 證明四面體對邊中點的連線交于一點，且證明四面體對邊中點的連線交于一點，且互相平分互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,321叫做空間向量的基底叫做空間向量的基底這時這時eee.,.,3211321321321關(guān)系式關(guān)系式線性表示的線性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了三點重合三點重合下只需證下只需證兩組對邊中點分別為兩組對邊中點分別為其余其余它的中點為它的中點為線為線為的連的連的中點的中點對邊對邊一組一組設(shè)四面體設(shè)四面體證證e

17、eeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD 上一頁下一頁返回),(211AFAEAP 連接連接AF，因為，因為AP1是是AEF AEF 的中線，所以有的中線，所以有 又因為又因為AF1是是ACD ACD 的中線，所以又有的中線，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(2121213213211eeeeeeAP 從而得從而得)3 , 2(),(41321 ieeeAPi同理可得同理可得321APAPAP所以所以.,321三點重合，命題得證三點重合，命題得證從而知從而知PPP上一頁下一頁返回.,)44 . 1, 0,)1(2 .

18、 4 . 12122112121關(guān)的向量叫做線性無關(guān)關(guān)的向量叫做線性無關(guān)性相性相叫做線性相關(guān)，不是線叫做線性相關(guān)，不是線個向量個向量那么那么（使得使得個數(shù)個數(shù)在不全為零的在不全為零的，如果存，如果存?zhèn)€向量個向量對于對于定義定義nnnnnaaanaaanaaann . 0 aa線性相關(guān)的充要條件為線性相關(guān)的充要條件為一個向量一個向量推論推論.線性相關(guān)線性相關(guān)量，那么這組向量必量，那么這組向量必一組向量如果含有零向一組向量如果含有零向推論推論.5 . 4 . 1相關(guān)相關(guān)那么這一組向量就線性那么這一組向量就線性分向量線性相關(guān)分向量線性相關(guān)如果一組向量中的一部如果一組向量中的一部定理定理.,24 .

19、4 . 121組合組合向量是其余向量的線性向量是其余向量的線性充要條件是其中有一個充要條件是其中有一個線性相關(guān)的線性相關(guān)的時，向量時，向量在在定理定理naaan 上一頁下一頁返回.6 . 4 . 1是它們線性相關(guān)是它們線性相關(guān)兩向量共線的充要條件兩向量共線的充要條件定理定理上一頁下一頁返回.7 . 4 . 1件是它們線性相關(guān)件是它們線性相關(guān)三個向量共面的充要條三個向量共面的充要條定理定理.8 . 4 . 1線性相關(guān)線性相關(guān)空間任何四個向量總是空間任何四個向量總是定理定理例例6 6 設(shè)設(shè) 為兩不共線向量，證明為兩不共線向量，證明 , a b bbaau11bbaav22共線的充要條件是共線的充要

20、條件是 02121bbaa按照這個定理，要判別三向量只要判別是否存在不全為零的三個數(shù)使得是否共面，證證 共線 vu,vu,線性相關(guān)，即存在不全為0的實數(shù) ,使 0vu即 0)()(2121bbbaaa又因為 不共線 , a b , a b 線性無關(guān) 002121bbaa有唯一零解 02121bbaa上一頁返回 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)標(biāo)架與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)標(biāo)架與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)標(biāo)架與坐標(biāo)x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 1、三個坐標(biāo)軸的正方向、三個坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手系右手系. 1.5 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)標(biāo)架與坐標(biāo)下一頁返回xyozxoy面

21、面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限八個卦限2、坐標(biāo)面與卦限坐標(biāo)面與卦限 上一頁下一頁返回xyzo向徑3、在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點 P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點 M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點 O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzoxyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ),

22、 0 , 0(zR),(zyxM xyzoijk以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.rOMr kzj yi xr 稱為向量稱為向量 的的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式.rN.,kzORj yOQi xOP 設(shè)設(shè)NMPNOPOROQOP4 4、空間向量的坐標(biāo)、空間向量的坐標(biāo) 上一頁下一頁返回顯然，顯然，MOMr kzj yi x ),(zyx向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)：,zyx),(zyxr 記為記為.),(OMMzyx，又表示向量，又表示向量既表示點既表示點OMr 向徑：向徑：.,kzj yi x在三個坐標(biāo)軸上的在三個坐標(biāo)軸上的分向量分向量：r(點點M關(guān)于原點關(guān)于原點O)

23、xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM rN上一頁下一頁返回5、利用坐標(biāo)作向量的線性運算、利用坐標(biāo)作向量的線性運算向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標(biāo)表達(dá)式),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 上一頁下一頁返回解解),(111zzyyxxOAOMAM ),(222zzyyxxOMO

24、BMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點，為直線上的點，例例 1 1 設(shè)設(shè)),(111zyxA和和),(222zyxB為兩為兩已知點，而在已知點，而在AB直線上的點直線上的點M分有向線段分有向線段AB為兩部分為兩部分AM、MB，使它們的值的比等，使它們的值的比等于某數(shù)于某數(shù))1( ，即，即 MBAM，求分點坐標(biāo)，求分點坐標(biāo). ABMxyzo6、線段的定比分點坐標(biāo)、線段的定比分點坐標(biāo)上一頁下一頁返回由題意知：由題意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向

25、向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為中點時，為中點時，,221xxx ,221yyy .221zzz 上一頁下一頁返回定理定理1.5.4 已知兩個非零向量7、其它相關(guān)定理、其它相關(guān)定理111 ,a x y z222,b xyz則則, a b 共線的充要條件是共線的充要條件是 111222xyzxyz定理定理1.5.6 已知三個非零向量111 ,a x y z222,b xyz，則，則, ,a b c 共面的充要條件是共面的充要條件是 333,c xy z1112223330 xyzxyzxyz上一頁返回空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影(Projection)u AA 過過點點A作作

26、軸軸 u的的垂垂直直平平面面，交交點點A 即即為為點點A在在軸軸u上上的的投投影影. 1.6 1.6 向量在軸上的射影向量在軸上的射影下一頁返回空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uOMM 向量向量r在軸在軸 u上的投影上的投影. e .軸上的分向量軸上的分向量在在稱為向量稱為向量則向量則向量uOMrMO 為為則稱則稱設(shè)設(shè) , eMO uurrj)(Pr或或記為記為上一頁下一頁返回e為單位向量關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 證證

27、uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 由此定義，由此定義，則則設(shè)設(shè)),(zyxaaaa ,Prajaxx ,Prajayy .Prajazz 上一頁下一頁返回定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負(fù)；投影為負(fù)；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 上一頁下一頁返回關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja

28、jaaj AA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a上一頁下一頁返回關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（3 3） ajajuuPrPr 上一頁下一頁返回 1.6 向量在軸上的射影向量在軸上的射影例例 1 1 設(shè)設(shè)kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求向量，求向量pnma 34在在x軸軸上的投影及在上的投影及在y軸上的分向量軸上的分向量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.上一頁返回 一一物物體體在在常常力力F

29、作作用用下下沿沿直直線線從從點點1M移移動動到到點點2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示實例實例兩向量作這樣的運算兩向量作這樣的運算, 結(jié)果是一個數(shù)量結(jié)果是一個數(shù)量.FM1M2s 1.7 1.7 兩向量的數(shù)性積兩向量的數(shù)性積下一頁返回ab ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的模和另一個向量在這向量

30、的方向上的投影的乘積乘積. .向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積記記為為ba cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角) 定義定義上一頁下一頁返回關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 )0, 0( ba上一頁下一頁返回數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa

31、若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： 上一頁下一頁返回 1.7 兩向量的數(shù)性積兩向量的數(shù)性積,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式上一頁下一頁返回xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM rNOMr 由勾股定理由勾股定理OMr 222OROQOP.,kzORj yOQi xOP 由由,zORyOQxOP 有有222zy

32、xr 向量模的坐標(biāo)表示式向量模的坐標(biāo)表示式OROQOP向量的模與空間兩點間距離公向量的模與空間兩點間距離公式式上一頁下一頁返回xyzo),(222zyxB),(111zyxA),(111zyxA設(shè)設(shè)),(222zyxB為空間兩點為空間兩點. . ? ABdOAOBAB 由由),(),(111222zyxzyx ),(121212zzyyxx 212212212zzyyxxAB 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式ABd 上一頁下一頁返回解解設(shè)設(shè)P點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x因為因為P在在x軸上，軸上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,2

33、2PP112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為：由此可知兩向量垂直的充要條件為：上一頁下一頁返回解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 上一頁下一頁返回證證cacbbca

34、)()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(上一頁下一頁返回空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角. 特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在規(guī)定它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 方向角與方向余弦的坐標(biāo)表示式上一頁下一頁返回非零向量非零向量 的的方向角方向角：r非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角方向角.

35、. 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo M 上一頁下一頁返回由圖分析可知由圖分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .),(zyxOMr 設(shè)設(shè)xyzo ),(zyxM 上一頁下一頁返回0222 zyx當(dāng)當(dāng) 時，時，,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式上一頁下一頁返回1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0r|rr ).cos,cos,(cos 上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦為坐標(biāo)

36、的向的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與量就是與 同方向的單位向量同方向的單位向量 rr rzryrx,上一頁返回0r1. 引例引例 設(shè)設(shè)O點為一杠桿的支點點為一杠桿的支點, ,力力F作用于杠桿上作用于杠桿上點點P處處, ,求力求力 F對支點對支點O的力矩的力矩. . 根據(jù)物理學(xué)知識根據(jù)物理學(xué)知識, ,力力F對點對點 O的力矩是向量的力矩是向量M, ,其大其大小為小為 |sinMdOP FF|sinF dFOP . . 其中其中d為支點為支點O到力到力F的作用線距的作用線距離離, ,為矢量為矢量F與與OP 的夾角的夾角. .力矩力矩M的方向規(guī)定為：的方向規(guī)定為：OP , ,F, ,M依次符合依次符合右

37、手螺旋法則右手螺旋法則. . O F d P 1.8 1.8 兩向量的矢性積兩向量的矢性積下一頁返回因此因此, ,力矩力矩 M是一個與向量是一個與向量OP和向量和向量 F有關(guān)的有關(guān)的向量向量, ,其大小為其大小為|sinOPF, ,其方向滿足： （其方向滿足： （1 1）同時垂）同時垂直于向量直于向量OP和和 F； （； （2 2） 向量） 向量 OP, , F, , M依次符合右依次符合右手螺旋法則手螺旋法則. . 2 2 向量積的定義向量積的定義 定義定義2 2 兩個向量兩個向量a和和b的叉積 （也稱為向量積）的叉積 （也稱為向量積）是一個向量是一個向量, ,記作記作 a b, ,并由下述

38、規(guī)則確定：并由下述規(guī)則確定： （1 1） sin( , )a ba ba b （2 2）a b的方向規(guī)定為的方向規(guī)定為: : 注：注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于b, ,并且按順序并且按順序 , ,a b a b符符 合右手螺旋法則合右手螺旋法則. . b a c=a b 上一頁下一頁返回若把若把a(bǔ), ,b的起點放在一起的起點放在一起, ,并以并以a, ,b為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形, ,則向量則向量a與與b叉積的模叉積的模 sina ba b 即為該平行四邊形的面積即為該平行四邊形的面積. . （1 1）a bb a （反交換律）（反交換律）; ; （2 2）()a

39、bca ba c （左分配律）（左分配律）; ; （3 3）()bcab aca （右分配律）（右分配律）; ; （4 4）000()bcab aca 向量向量積的運算規(guī)律：積的運算規(guī)律： a b a b 上一頁下一頁返回上一頁返回例例 試證試證: : 0i ijjkkaa . . 證證 只證只證0aa， 因為， 因為 a與與a平行 （即共線）平行 （即共線） , ,所以其夾角所以其夾角0或或 , ,從而從而sin0, ,因此因此 | |sin0aaaa, , 而模為而模為0的向量為零向量的向量為零向量, ,所以所以 0aa. . 定理定理 兩個非零向量平行的充分必要條件是它們的兩個非零向量平

40、行的充分必要條件是它們的向向量量積為零向量積為零向量. . 上一頁下一頁返回定義定義cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式 1.9 1.9 三向量的混合積三向量的混合積下一頁返回（1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個數(shù)，它的絕對值表的一個數(shù)，它的絕對值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關(guān)于混合積的說明：關(guān)于混合積的說明：)2(cbacba

41、)(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba上一頁下一頁返回解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 上一頁下一頁返回,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負(fù)號的選擇保證結(jié)果為正式中正負(fù)號的選擇保證結(jié)果為正.上一頁返回 已知已知2 cba， 計算計算)()()(accbba .解解)

42、()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例1上一頁下一頁返回水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲面曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程；上的點的坐標(biāo)都不滿足

43、方程；那么，方程那么，方程0),( zyxF就叫做曲面就叫做曲面 S的的方程方程，而曲面而曲面S就叫做方程的就叫做方程的圖形圖形 曲面的實例：曲面的實例： 2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程下一頁返回以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.例例 1 1 建立球心在點建立球心在點),(0000zyxM、半徑為、半徑為R的球面方程的球面方程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是球面上任一點，是球面上任一點，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 上一頁下一頁返

44、回得上、下半球面的方程分別是：得上、下半球面的方程分別是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz 2202020Rzzyyxx 由由由上述方程可得球面的一般式方程為：由上述方程可得球面的一般式方程為：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）上一頁下一頁返回2220AxByCzDxyEyzFxzGxHyKzL0,0,ABCDEF2222220 xyzgxhykzl 222222()()()xgxhzkghkl2220ghkl 2220ghkl (,);ghk2220ghkl 反過來，對于三元二次方程 如果則可化為配方得 則當(dāng)時，

45、(3)式表示一個實球面；當(dāng)時，(3)式表示一個點當(dāng)時，(3)式無圖形(3)習(xí)慣上，把上面的點稱為點球，把無圖形時稱為虛球面，三種情形統(tǒng)稱為球面因此有：球面的方程是一個三元二次方程，它的平方項系數(shù)相等，沒有交叉項；反之，一個三元二次方程，如果它的平方項系數(shù)相等，沒有交叉項，那么它表示一個球面，例例 2 2 求與原點求與原點O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的點的全體所組成的曲面方程的點的全體所組成的曲面方程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是曲面上任一點，是曲面上任一點，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .91163413222

46、2 zyx所求方程為所求方程為上一頁下一頁返回例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求線段，求線段AB的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解上一頁下一頁返回zxyo例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下

47、下移移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c以上方法稱為以上方法稱為截痕法截痕法.上一頁下一頁返回以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題兩個基本問題：（2 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程上一頁返回 )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定

48、1tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點點.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程一、空間曲線的參數(shù)方程2.3 2.3 空間曲線的方程空間曲線的方程下一頁返回 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，不在曲線上的點不方程，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC二、空間曲線二、空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點： 2.3 2.3 空間曲線的方程空間曲線的方程下一頁返回例

49、例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 632122zxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，632 zx表示平面，表示平面， 632122zxyx交線為橢圓交線為橢圓.上一頁下一頁返回例例2 2 方程組方程組 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？上一頁返回 動點從動點從A點出點出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到時間，運動到M點點 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺

50、旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo上一頁下一頁返回螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 上一頁返回幾何上就是在一張長方形的紙上畫一條斜線，然后把紙卷成圓柱面，該直線可形成圓柱螺旋線 解解xozyxozyyx22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面yx22 xy 拋物柱面拋物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM 2.3 2

51、.3 母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程下一頁返回從柱面方程看從柱面方程看柱面的特征柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于 z軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線 C:0),( yxF. （其他類推）（其他類推）實實 例例12222byax橢圓柱面，橢圓柱面，z12222bzax雙曲柱面雙曲柱面 ，ypxy22拋物柱面，拋物柱面，z母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸上一頁下一頁返回12222 byaxabzxyo橢圓橢圓上一頁下一頁返回zxy =

52、0y12222 bzaxo 雙曲雙曲上一頁下一頁返回pxy22 zxyo拋物拋物上一頁返回xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn 一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程3.1 3.1 平面的方程平面的方程下一頁返回,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法

53、式方程 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx上一頁下一頁返回例例 1 1 求過三點求過三點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx上一頁下一頁返

54、回例例 2 2 求過點求過點)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解上一頁下一頁返回由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面

55、表示表示0 DCzByAx（A,B,C不同時為零）不同時為零）不妨設(shè)不妨設(shè)0 A，則，則 000 zCyBADxA，為一平面，為一平面.上一頁下一頁返回平面一般式方程的幾種特殊情況：平面一般式方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點；平面通過坐標(biāo)原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程, 0)4( DBA., 0面

56、面即即有有xoyz 上一頁下一頁返回例例 3 3 設(shè)平面過原點及點設(shè)平面過原點及點)2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解上一頁下一頁返回例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此

57、此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解上一頁下一頁返回,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距xyzoabc上一頁下一頁返回例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個個單單位位的的平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131

58、 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解上一頁下一頁返回,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為或或. 666 zyx上一頁返回 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz 外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P nnePPPPj 0101Pr,1

59、0101001zzyyxxPP 解解3.2 3.2 平面與點的相關(guān)位置平面與點的相關(guān)位置下一頁返回 222222222,CBACCBABCBAAen222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx nnePPPPj 0101Pr上一頁下一頁返回0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式上一頁下一頁返回間間的的距距離離. .求求兩兩平平面面4363, 121zyxyxz 例例, ,解解)363)

60、,121(21 ,n,n( (. .先先判判斷斷兩兩平平面面是是否否平平行行./31623121nn 在第一個平面內(nèi)任取一點，比如（在第一個平面內(nèi)任取一點，比如（0，0，1），），.6373634130603222 )(d上一頁返回定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 3.3 3.3 兩平面的相關(guān)位置兩平面的相關(guān)位置下一頁返回按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212