復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型及其分析方式

1、復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型及其分析方式            摘要：這里將介紹基于管網(wǎng)基本定理的復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型分析法，該方法也稱節(jié)點法。利用該方法可以將復(fù)雜管網(wǎng)的鄰接矩陣將簡單管道與復(fù)雜管網(wǎng)的分析方法統(tǒng)一起來。同時給出非線性矩陣方程的迭代解法初始參數(shù)的計算方法。 關(guān)鍵詞：非線性管網(wǎng) 節(jié)點法 水力分析  復(fù)雜管網(wǎng)分析方法有多種，近年新出現(xiàn)的有圖論法和有限元法34。兩種方法各有所長，圖論法將復(fù)雜的管網(wǎng)處理為相應(yīng)的“網(wǎng)絡(luò)圖”，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以適用范圍各不相同管網(wǎng)水力計算。有

2、限元法通過局部的管元分析得出管網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型。管網(wǎng)水力分析的基礎(chǔ)是管段的水力學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型是采用Darcy-Weisbach 公式和 Hazen-Williams 公式。這兩個公式原用于管道沿程水力損失的計算，公式來源于理論研究和實驗得到的結(jié)果。這兩個公式的應(yīng)用基礎(chǔ)是大量實驗統(tǒng)計得出的參數(shù)。Darcy-Weisbach 公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain 實驗公式和 Moody 圖表來求出沿程損失系數(shù)f2。文獻1論述了水力模型的基本形式和管網(wǎng)中管件的定理，該理論統(tǒng)一了局部損失和沿程損失的數(shù)學(xué)模型。這里進一步討論在復(fù)雜管網(wǎng)中，基于該定理并利用節(jié)點分析方法給出

3、Kirchhoff 第一定律和第二定律的表示方法及其應(yīng)用。1. 管網(wǎng)模型1.1.   管道模型 按文獻1介紹的：定理1：任何管件的組合，其組合后的管件，以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數(shù)學(xué)模型具有冪函數(shù)的形式。      （2）1.2.   復(fù)雜管網(wǎng)模型 對于復(fù)雜管網(wǎng)，這里所說的復(fù)雜是指有多環(huán)、多水源、多出流口的管網(wǎng)，對于這種管網(wǎng)可以用與一般管道同樣形式的矩陣公式來表示。記：    2007-04-29      &

4、#160; 式中： H為管段的節(jié)點水頭矢量；q為管網(wǎng)的管段流量；n為管網(wǎng)中的管段數(shù)量。為了有利于統(tǒng)一表達式，記管段兩端的水頭為H1，H2 。對于簡單管段有：     （5）式中： 是管段在第t時的假定流量。q是有方向的矢量，其方向是由管段端點2指向端點1。換言之，端點2水頭大于端點1的水頭，這樣水才能從端點2流到端點1，流量的值才可能是正值。從數(shù)學(xué)的角度理解，假定H1，H2，q為不為零的實數(shù)，H1，H2前面的正負(fù)號可以表示為管段的端點i在流量指向的方向。對于如圖1所示的管網(wǎng)，可以用管網(wǎng)鄰接矩陣A表示。同理：節(jié)點的鄰接向量是  

5、0; 2007-04-29        容易得到矩陣：（6）對應(yīng)的是以下矩陣：      對節(jié)點有：可以表示節(jié)點流量守恒定律。根據(jù)流量守恒定律和能量守恒定律，有的學(xué)科也稱為Kirchhoff 第一定律和第二定律。管網(wǎng)系統(tǒng)的兩個定律可表達為：          （9）式中： Ac   節(jié)點與管段的鄰接矩陣；Af  節(jié)點與已知水頭的鄰接矩陣；Hc 管段的節(jié)點水頭矢量；Hf   已知節(jié)點水頭矢量。    2007-04-29        而且，而且，  是：（10）矩陣運算后可表示成以下方程：  之內(nèi)。經(jīng)驗證明這樣種情況下，令流速v=1作為t=0的初值比較合理。這時，矩陣方程（8）實際迭代時t為：時，認(rèn)為方程解為： 為一相對小的數(shù)，