數(shù)列通項公式求法及答案

1、數(shù)列通項公式、求和的常見題型、定義法例題1:在數(shù)列 an中，假設(shè)ai2 , an ! an 3,貝Ua*等差數(shù)列疋義：公差da* i a*3 , a*2(n 1)(3) = n+5在數(shù)列 an中，假設(shè) ai2 ',a* i3a* ,貝 U an =門1等比數(shù)列定義：公差q ?3, a*23a “假設(shè)數(shù)列的遞推公式為a13,2(* Y，那么求這個數(shù)列的通項公式a* 1a*練習(xí)(a*、公式法數(shù)列的前*項和S*與 a*的關(guān)系，求數(shù)列a啲通項a*可用公式1a*2求解.S* i例2.數(shù)列a*的前*項和S*滿足S*2a*3,門1 ?求數(shù)列a*的通項公式.(丿意Siaia*32* 1)數(shù)列an的前n

2、項和Sn滿足Sn2門2 n 1，求數(shù)列an的通項公式.應(yīng)用 anSnSn !得 B 4n-2等比數(shù)列an的首項印1，公比0 q 1，設(shè)數(shù)列bn的通項為bn an 1 an 2，求數(shù)列g(shù)的通項公式。3(1)數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn 1),(n N )求數(shù)列an的通項解析：由題意，bn 1 an 2 an 3，又a*是等比數(shù)列，公比為qbnbnan 2an 3q，故數(shù)列bn是等比數(shù)列，D a2 a3 ag agq(q 1)，n 1q(q o q q (q 1)練習(xí)公式？( an3n)、歸納法:1111JJJ135 7(3)9， 99， 999,9999,1n 11(1) an2n 1 an

3、( 1)8，88,888,8888,(3) an1on 1(4) an；(10n 1)四、分組求和法 :把整個式子拆分成等差數(shù)列和等比數(shù)列例4、求和3) 阿 n) (a 1)(a 2) (a3(6 3 5 3)(2 3 5 1) (4 3 52)111(3)1234 24816解：(2n 3 5 n)1 n 2n五、升次，錯位相減法:含x的項是等比數(shù)列，系數(shù)是等差數(shù)列 練習(xí)求和1弓 572 222242n 1cc1 ( Sn32n 32n )六、累加法累加法形如an 1an f(n)型，an 1，an相鄰兩項系數(shù)相等，f(n)是一個常數(shù),那么直接用等差數(shù)列通項公式求出(例1之(1), f( n

4、)是一個關(guān)于n的變量，根據(jù)遞推公式，寫出ai到an的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加即可得到通項公式。例6.假設(shè)在數(shù)列an中，a1 3， an i an 2n，求通項an。解析：由 an i an 2n 得 a. i a. 2n，找出關(guān)鍵一步：a. a. i Nn 1)，(1) c=2 (2)an中，ann(n1) 23n 1, ( n 2 ,)2、假設(shè)在數(shù)列an中，a1an an 11(1)求 ai, a2(a111 a213 )(2)證明an3n123、假設(shè)在數(shù)列a1an 1 ann,求數(shù)列an的通項公式。3a4a323 ,將以上各式左右兩邊分別相加得：an ai21 23 4(n 1

5、)，又 ai3所以 an -3= 2 1(n1)( n 1) 得 an = n(n-1)+32練習(xí)1、在數(shù)列 an 中，a12 , an 1 an cn, (c 是常數(shù)，n= 1, 2,3,)，且 agg成公比不為1的等比數(shù)列。(1 )求c的值；(2)求數(shù)列an的通項公式七、累乘法形如an 1f(n )an型的數(shù)列，f(n)是一個常數(shù)，那么直接用等比數(shù)列通項公式求出例之(2) , f( n)是一個關(guān)于n的變量，根據(jù)遞推公式，寫出ai到a.的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們左右兩邊分別或相乘，即可得到通項公式例6在數(shù)列an中，ai 3， an 1 2nan ( n N )，求通項an。解析：由也2n

6、，對應(yīng)找出電2n1，a2as2122a±232na1a2，asanan 1等號左右兩邊對應(yīng)相乘得aiasa1a204anasan 1J八222232n1得ana1n( n 1)212 3(n 1)又a13，所以 an= = 3 2 2練習(xí)1、數(shù)列 an 滿足a12， an 1n 2a n，求通項公式。(ann(n 1)2、數(shù)列an滿足a11，(n1n總1nan，求通項公式。an八、裂項相消法例&數(shù)列an滿足a11n( n3，anan 1 (n求數(shù)列an的通項an公式注意應(yīng)用式子：K nn k n)k)1n，又 a 1解：由 an= an1+1 ( n?2)得 an 2 = -

7、 ( a n 1 - 2),而 a1 2=1 2 = 1 ,an a1所以an =1練習(xí):n,設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn，點(n N )均在函數(shù)y=x的圖象上,(1)求通項an ； (2)設(shè)bn,求數(shù)列的前n項和Tnan ? an 1將以上各式左右兩邊分別相加得:答案：(1) an2n 1(2)Tn2n 1九、待定系數(shù)法:形如an 1=p a n+q (p、q為非零常數(shù) 且1),設(shè)a. 1 +k=p (a. +k),通過待定系數(shù)法求出常數(shù)，得到新數(shù)列 a n +k，首項是a1 k,公比為p的等比數(shù)列1例9、( 1)數(shù)列 a n滿足a1=1, an =丄a.1+1 (n>2),求數(shù)列 a.的

8、通項公式2?數(shù)列 a n 2是以丄為公比，首項是一 1的等比數(shù)列2(2)數(shù)列 an滿足ai=1 ,3am a. 7 0,求數(shù)列 an的通項公式33為首項的等比數(shù)列4717?an 4是以3為公比以a1;MHan(3)、數(shù)列an滿足ai 1，且ani3an 2，求 an .解：設(shè) an 1 t 3(an t)，貝U an 1 3an 2t以(a1 1)為首項,以3為公比的等比數(shù)列t 1 , an 113(an 1)an 1是an 1 (a1 1) 3n 1 2 3n 1 an 2 3n 1 11(4)、數(shù)列 a n滿足a1=1 , a. a.1+1 (n>2),求數(shù)列 a.的通項公式<

9、 21解：由 an = an1 +1 (212)得 an 2= (an1 2)，而 a1 2=1 2= 1 ,2?數(shù)列 a n 2是以-為公比，一 1為首項的等比數(shù)列2練習(xí)、1、設(shè)數(shù)列an滿足 a1 2, an 11 a2 n12,求an-(an1 3)2 2n(2)數(shù)列a.n的前n項和Sn,且a11,Sn14an2(nN )求數(shù)列an的通項公式及前n項和。(an(5n4)2n1Tn(15n)2n10)設(shè)數(shù)列bnan 1 2an (n 1,2,)求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(公比q= 2)設(shè)數(shù)列Cn an,(n 1,2,)，求證：數(shù)列Cn是等差數(shù)列；(公差d= 2.5 ) 2n十、取倒數(shù)法、通過

10、取倒數(shù)，可得出有等差數(shù)列，或等比數(shù)列，解：左右同時取倒數(shù)，得例10、1 an 3(1)設(shè)數(shù)列an滿足a1 2, ai n(n N),求 an. a3an 1an 1an.1 1an 121an3丄an11-)新數(shù)列2anan111-首項一 -1，公比為3的等比數(shù)列2a122n 1,2 31練習(xí)1、數(shù)列 a 中 a1 =1 , a2a nn? N，求通項an(an3、數(shù)列 an滿足:an1，a 11 ,求數(shù)列 an的通項公式。(a1八一、觀察系數(shù)與底數(shù)法:例11、(1)數(shù)列a滿足ai 1a,3n3an 1(n 2),解：將an 33an i兩邊同除an得了an 1ann3新數(shù)列3n*首項a131

11、公差為的等差數(shù)列(n 1)an2(n 3) 3n(2)數(shù)列an滿足a1an3n2an 1(n 2)，求解：將an3n2an1兩邊同除3'得a2an 13nan0an 12,a n 1t),t=-3 ,得新數(shù)列才是首項扌3中1 3)83,公比為2的等比數(shù)列.3an3nan 3十二、相鄰三項求法代定系數(shù)，找出新數(shù)列滿足關(guān)系式a n 1 ka np( ankan 1)，即an 1 kanankan 1，得到新數(shù)列 ankan i是首項a?kai，公比為p的等比數(shù)列。例 12 、數(shù)列an 中,a11, a22, an，求an由 an對應(yīng)寫成an 123 an1 kaP(ankan 1 )，去括

12、號合并得(Pk)an pkan 1得 anan練習(xí)1.數(shù)列2(2)對應(yīng)項系數(shù)相等得 p k 311(an -a1a? a3an 滿足a1n 1)，公比 p= 1，所以7-，所以1,a23, an 21 §% 13an 1 2an(nanPkanN ).(I)證明：數(shù)列an 1an是等比數(shù)列( 答案公式為2)；，解得 P 1, ka215 12 3n(II ) 求數(shù)列 an 的通項公式； (a.2n 1 3)十三、取對數(shù)法的通項公例13、設(shè)正項數(shù)列an滿足ai 1 , an 2a； 1 (n>2).求數(shù)列anlog； n 1,解：兩邊取對數(shù)得： log； n1 2log； n1, log； n1 2(log ； n 2、設(shè)數(shù)列 a1)，設(shè) b 那么 bn 2bn 1bn 是以 2 為公比的等比數(shù)列， b1 log ； 1 1.bn 1 2n12n 1 , log2n1 2n 1 , log； n 2n 1 1 ,/? a. 22"練習(xí)、1、數(shù)列 an 滿足, a13, an 122 3 Sn，求 a.的前 n 項和 Sn , Sn 3(an31) n N(n 1