高一函數(shù)值域的求法

1、定義法通過值域的定義求值域是最簡單直接的一種方法，但是有時也是我們最常忽略的一種方法，因為它的簡單，所以是在學習值域中最早接觸過的一種方法，但是在一些考查思維能力的大題中，伴隨著一些閱讀信息出現(xiàn)時，往往會給我們造成一些困擾。今天的學習希望大家就從定義出發(fā)，理解函數(shù)值域。先看例題：已知函數(shù)，其中則函數(shù)的值域是_若函數(shù)的定義域是則其值域為_求函數(shù) 的值域注意：定義域不是有限集，值域可能是有限集總結(jié)：函數(shù)值域是函數(shù)值的集合,它是由定義域和對應法則共同給確定的,求值域時要注意函數(shù)的定義域練習：1. 若f(x)的定義域為a,b,值域為a,b (a<b),則稱函數(shù)f(x)是a,b上的“四維方軍”函數(shù)

2、.（1）設(shè)是1,b上的“四維方軍”函數(shù),求常數(shù)b的值;（2）問是否存在常數(shù)a,b(a>2)使函數(shù)是區(qū)間a,b上的“四維方軍”函數(shù)?若存在,求出a,b的值,否則,請說明理由.分離常數(shù)法分離常數(shù)，是高中數(shù)學的常用方法，分離常數(shù)的思路是將變量和常量分開研究，是解決矛盾的一種重要思路。該方法在求函數(shù)值域中也有非常廣泛的應用，今天我們就一起來看看如何用分離常數(shù)的方法求函數(shù)值域。1.函數(shù)的值域為_ 2.求函數(shù)的值域我們發(fā)現(xiàn)，如果一個函數(shù)形如，這時可以考慮使用分離常數(shù)的方法，來求其值域。更進一步，如果我們把x的位置換成一個函數(shù)，即還能夠使用分離常數(shù)的方法么？繼續(xù)往下看：3.求函數(shù)的值域 （先分離常數(shù)）

3、對于形如的函數(shù)，都可以考慮用分離常數(shù)的方法進行求解?？偨Y(jié)：1.分離常數(shù)的思路，也就是將矛盾分離，一部分一部分進行研究。2.哪些形狀的式子，可以考慮用分離常數(shù)的方法進行求解。3.求解過程中，要注意函數(shù)的定義域，注意等價變形。練習：1.求函數(shù)的值域 2.求函數(shù)的值域答案：1.，先看定義域，x1，x-2原式可化簡為，又因為x1，所以所以函數(shù)的值域為 基本函數(shù)法在求值域的問題中，往往問題可以轉(zhuǎn)化為我們常見的基本函數(shù)，這些函數(shù)的性質(zhì)你是否都很熟悉，并能靈活應用呢？今天我們就通過幾個例題，來看看基本函數(shù)在求值域題目中的運用。先看例題：1.若集合 則_2.求函數(shù) 的值域3.求函數(shù)的值域是（）A.0,+ B.

4、0,4 C.0,4) D.(0,4)看了幾個例題，接下來我們整理出部分基本函數(shù)的值域，希望同學們能夠熟練掌握。再來練習幾個題目，加深印象。1.求函數(shù) 2.求函數(shù)的值域 練習：1.求函數(shù)的值域 2.求函數(shù) 的值域判別式法判別式法實際上體現(xiàn)了一種方程思想，將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為了方程有解的問題。同學們在學習時要注意什么形式的函數(shù)可以考慮這種方法，同時要注意，它有哪些適用條件。先看例題：1.求函數(shù)的值域 2.求函數(shù)的值域總結(jié)：當我們再遇到 類型的函數(shù)時，可以考慮使用判別式法，求函數(shù)值域。將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的一元二次方程。要注意方程思想的應用。注意：1.函數(shù)的定義域2.當x平方項系數(shù)為0時，不構(gòu)成

5、關(guān)于自變量的二次方程，需要單獨討論。練習：1.求函數(shù)的值域 2.求函數(shù)的值域配方法如果一個函數(shù)是二次函數(shù)，或可以整理為二次形函數(shù)，可以考慮用配方的方法求其值域，配方的意義在于可以找到函數(shù)的對稱軸，并在對稱軸處取得最大（?。┲?。同時我們還要注意函數(shù)的定義域，是否能取到函數(shù)的最大（?。┲?。先看例題：1.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（ ）A. B. C. D. 注意：函數(shù)在定義域內(nèi)并不單調(diào)，所以不能直接代入端點值計算結(jié)果。 要通過配方，找到函數(shù)對稱軸，且在對稱軸處取得函數(shù)最小值。2.求函數(shù)的值域可以將其換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)令 則 即所以函數(shù)可整理為：此時，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在 單調(diào)遞增，而t的取值范圍是（這里一定要

6、看清，用的是t的取值范圍，而不是x的取值范圍）所以當t=2時，函數(shù)取到最小值-2,所以函數(shù)值域為總結(jié)：對于二次函數(shù)或二次形函數(shù) 可以考慮用配方法求值域，充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)，在對稱軸處函數(shù)取得最大（?。┲底⒁猓憾魏瘮?shù)形式，在對稱軸處取得函數(shù)的最?。ù螅┲怠：瘮?shù)的定義域，是否包含最值；換元時注意等價轉(zhuǎn)化，保證函數(shù)取值范圍不發(fā)生變化，才能求得正確的結(jié)果。練習：1.求函數(shù)的值域 2.若，求的最大值2.由題意可知： ,真數(shù)部分可以看作關(guān)于y的二次函數(shù)，配方得： 當y=1時，函數(shù)取得最大值2，又因為以10為底的對數(shù)函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。所以，的最大值為lg2。換元法求函數(shù)值域是我們學習函數(shù)時的非

7、常重要的一節(jié)，在以后我們遇到大題，也經(jīng)常會要我們討論函數(shù)的取值范圍，實際上也是值域的一種體現(xiàn)。求函數(shù)值域有很多方法，其實考查的是對函數(shù)本身性質(zhì)進行分析，處理的能力。今天我們就一起來看一種常見的方法代數(shù)換元法。先看例題：1.求函數(shù)的值域令通過換元，配方，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點式的形式，容易看出，函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)，在t=1時取到最大值可以看出，直接求值域比較難求，討論函數(shù)單調(diào)性也不是很容易，但我們發(fā)現(xiàn)可以通過換元，把原式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，而二次函數(shù)的性質(zhì)是我們熟悉的，可以幫助我們解決問題。注意：換元要注意定義域，需要等價轉(zhuǎn)化，才能得到正確的結(jié)論。2.求函數(shù)的值域令，通過換元

8、，配方，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點式的形式，容易看出，函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)，在t=2時取到最大值，還要注意定義域，當 時，函數(shù)取得最小值，函數(shù)值域為 注意：原函數(shù)是給定定義域的，要在定義域內(nèi)求值域?？偨Y(jié)：1.形如2.令3.要注意函數(shù)的定義域，通過等價轉(zhuǎn)化，找到正確的值域練習題：1.求函數(shù)的值域 2.求函數(shù)的值域2.設(shè)則原函數(shù)整理為 所以，t=1時， 所以原函數(shù)值域為單調(diào)性法求函數(shù)值域時，如果能夠先判斷函數(shù)的單調(diào)性，則會對求解帶來很大的幫助，同學們要對函數(shù)的單調(diào)性比較敏感，在做題前先問問自己，能不能判斷所求函數(shù)的單調(diào)性？有沒有什么方法去幫助我們做出判斷？今天我們就帶著這些方法，來學習

9、單調(diào)性法求函數(shù)值域。先看例題：1.求函數(shù)的值域2.求函數(shù)的值域注意：兩個單調(diào)遞增的函數(shù)和為單調(diào)遞增，但乘積不一定是單調(diào)遞增的。3.函數(shù)的值域為_（注意到如果用換元的方法，最后自變量的次數(shù)會很高，不利于求解）總結(jié)：如果我們可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，那么求函數(shù)值域會變得比較容易，只需要考慮端點值。注意到，兩個遞增函數(shù)，和也是遞增函數(shù)。利用這一性質(zhì)，可以幫助我們判斷一類函數(shù)的單調(diào)性。注意函數(shù)的定義域，有些函數(shù)在R上可能并不單調(diào)，但在某一個特定區(qū)間內(nèi)，可能是單調(diào)的，合理的使用這些區(qū)間，可以給我們解題提供幫助。練習：1.求函數(shù)的值域 2.求函數(shù)的值域答案：1.觀察到：，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增所以原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以 所以函數(shù)的值域為2.觀察到在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，對稱軸為，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增所以原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以 所以原函數(shù)值域為反表示法今天我們來學習反表示法求函數(shù)值域。借助方程的思想，把函數(shù)看做