(完整版)北大版金融數(shù)學(xué)引論第二章答案

1、版權(quán)所有，翻版必究第二章習(xí)題答案1.某家庭從子女出生時(shí)開始累積大學(xué)教育費(fèi)用5萬(wàn)元。如果它們前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。計(jì)算X 。解:S = 1000so?p7%+XSio?p7%V _ 50000 - 1000s 20?p7% _ X = = 651.72S1o?P7%2.價(jià)值10,000元的新車。購(gòu)買者計(jì)劃分期付款方式：每月底還 月結(jié)算名利率18%。計(jì)算首次付款金額。250元,期限4年。解：設(shè)首次付款為X ,則有10000 = X + 250a48?pi.5%解得X = 1489.363.設(shè)有n年期期末年金，其中年金金額為 n,實(shí)利率i =-1。試

2、計(jì)算該年金的現(xiàn)值。 n解：P V = na?nPi1 - vn=n J n_ (n + 1)nn2- nn+2一 (n + 1)n4.已知：a?nP試用X和Y表示d=X, a2?nP= Y 。解：a2?np= a?nP+ a?nP (1 - d)n則Y - Xd = 1 - ( X ) n5 .已知：a?7P= 5.58238, a?= 7.88687, Sh?P= 10.82760。計(jì)算 i。sis?p = a? 7P + ai? pvi = 6.0%解：解得 6 .證明：1io?p +a«?p。1-v 10=Sio?P證明：Sio?p+ a°°?p(1+i)1

3、0-1+11So?p(1+i)10-1= 1 - v10i一7 .已知：半年結(jié)算名利率 6%,計(jì)算下面10年期末年金的現(xiàn)值：開始4年每半 年200元，然后減為每次100元。解：P V = 100a?8P3%+ 100a20?p3% = 2189.7168 .某人現(xiàn)年40歲，現(xiàn)在開始每年初在退休金帳號(hào)上存入 1000t£,共計(jì)25年。然后，從65歲開始每年初領(lǐng)取一定的退休金，共計(jì) 15年。設(shè)前25年的年利率為8%, 后15年的年利率7%。計(jì)算每年的退休金。解：設(shè)每年退休金為X,選擇65歲年初為比較日1000 25?p8%=X-15?p7%解得X = 8101.659 .已知貼現(xiàn)率為10

4、%,計(jì)算2P解：d = 10%,貝i 1-d1 二9?8P = (1 + i)=5.695310 .求證：(1) ?np = a?nP + 1 -vn;(2) ?np = s? - np 1 + (1 + i) 并給出兩等式的實(shí)際解釋。證明：(1) ?；p =-dVn=1ZJvn=l-vni+1- vn1+i所以Tnp = a?np + 1 - V n(2) ?np =(1+i)1(1+i)n-1 = (1+i)n-1n- 1=id1+ii + (1 + i)所以Vnp = S? -np 1 + (1 + i)版權(quán)所有，翻版必究12從1980年6月7日開始，每季度年金100元，直至1991年1

5、2月7日，季結(jié)算名利 率6%,計(jì)算：1)該年金在1979年9月7日的現(xiàn)值；2)該年金在1992年6月7日的終解：P V = 100a9?p1.5% - 100a?2P1.5%= 3256.88AV = 100s49?p1.5% - 100s?2P1.5%= 6959.3713現(xiàn)有價(jià)值相等的兩種期末年金 A和B。年金A在第1 10年和第21 30年中每年1元，在第11 20年中每年2元；年金B(yǎng)在第1 10年和第2130年中每年付款金額為Y ,在第11 20年中沒(méi)有。已知：v10=，計(jì)算Y 。2解：因兩種年金價(jià)值相等，則有a0?pi+a10?piv10=Y a30? - piYa10?piv10所

6、以 Y = 3-y10L2v301+V10- 2v30= 1 .814 .已知年金滿足：2元的2n期期末年金與3元的n期期末年金的現(xiàn)值之和為 36;另 外，遞延n年的2元n期期末年金的現(xiàn)值為6。計(jì)算i。解：由題意知，23?4+ 3a?npi = 362a?npivn= 6解得i = 8.33%a?7P _ a?3p+ s?p15 .已 an?paY?p+ Sz?p。求x，YZo解：由題意得-1v = (1 + i)X v31 - v 11(1 + i)Z - vY解得X = 4, Y = 7, Z = 416化簡(jiǎn) a/p (1 + v15+ v30)。解：a5?p (1 + v15+ v30)

7、 = a45?p北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第3頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究17 .計(jì)算下面年金在年初的現(xiàn)值：首次在下一年的4月1日，然后 每半年一次2000元，半年結(jié)算名利率9%。解：年金在4月1日的價(jià)值為P 4.5%為000 = 46444.44 ,貝U=.5%PP V =( + 尸=41300.65718 .某遞延永久年金的買價(jià)為P ,實(shí)利率i;寫出遞延時(shí)間的表達(dá)式。解：設(shè)遞延時(shí)間為t,有 1P = i vt解得t = - ln(1+liPi)19 .從現(xiàn)在開始每年初存入1000元，一直進(jìn)行20年。從第三十年底開始每年領(lǐng)取一 定的金額X,直至永遠(yuǎn)。計(jì)算X。_解：設(shè)年實(shí)利率為i,由兩年金的現(xiàn)值相

8、等，有X 29 100Q-2Q?pi= . v i解得X = 1000(1 + i)30- (1 + i)10)20 .某人將遺產(chǎn)以永久年金的方式留給后代A、B、C、和D:前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人繼承。如果四人的遺產(chǎn)份額的現(xiàn)值相 同。計(jì)算(1 + i)no解：設(shè)遺產(chǎn)為1 ,則永久年金每年的年金以i,那么A,B,C得到的遺產(chǎn)的現(xiàn)值為1,而d得到遺產(chǎn)的現(xiàn)值為vno由題意得3a?nPi1 - Vn n =vn3所以(1 + i)n= 421.永久期末年金有A、B、C、和D四人分?jǐn)?，A接受第一個(gè)n年，B接 受第二個(gè)n年，C接受第三個(gè)n年，D接受所有剩余的。已知：C與

9、A的份額之比為0.49,求B與D的份額之比。解：由題意知那么P Vc = pvAa?nPV2nP Vb 二P Vd=0.49a?nP=0.61 a?npvn13n一v i22.1000元年利率4.5%的貸款從第五年底開始每年還貸 100元，直至還清，如果最 后一次的還款大于100元。計(jì)算最后一次還款的數(shù)量和時(shí)間。解得n = 17100a?np4.5%v4<1000100an+1?p4.5%v4>1000列價(jià)值方程解得100a16?p4.5%+Xv21 = 1000X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；兩者現(xiàn)值相等。如果 以同樣的年利率計(jì)算

10、貨幣的價(jià)值在 n年內(nèi)將增加一倍，計(jì)算n0解： 兩年金現(xiàn)值相等，則 4 Xa36?Pi= 5X 18,可知v18= 0.25由題意，(1 + i)n= 2解得n = 924 .某借款人可以選擇以下兩種還貸方式：每月底還100元，5年還清；k個(gè)月后一次還6000元。已知月結(jié)算名利率為12%,計(jì)算k。解：由題意可得方程100aO?p1%= 6000(1 + i)-k解得k = 2925 .已知 a?2Pi= 1.75,求 i。解：由題意得1 - v 2= 1.75i解得i = 9.38%26 .某人得到一萬(wàn)元人壽保險(xiǎn)賠付。如果購(gòu)買10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金為每年1072元

11、。計(jì)算年利率。解:版權(quán)所有，翻版必究27 .某人在銀行中存入一萬(wàn)元10年定期存款，年利率4%,如果前5年半內(nèi)提前支 取，銀行將扣留提款的5%作為懲罰。已知：在第4、5、6和7年底分別取出K元, 且第十年底的余額為一萬(wàn)元，計(jì)算 K o解：由題意可得價(jià)值方程10000 = 105Ka?2P4%v3+Ka?2P4% + 10000V10貝 UK = - 10000-10000V10105a?2P4%v3+a?2 P4%v5=979.9428 .貸款P從第六個(gè)月開始分十年逐年還清。第一次的還款額為后面還款的一半, 前四年半的年利率為i,后面的利率為jo計(jì)算首次付款金額X的表達(dá)式。解：選取第一次還款日為

12、比較日，有價(jià)值方程1P (1 + i)2= X + 2Xa? 4Pi+2Xa?5pj(1 + i)-4所以P (1 + i)12 X =1 + 2a?4pi+2a?5Pj (1 + i)-429 .已知半年名利率為7%,計(jì)算下面年金在首次付款 8年后的終值：每?jī)赡旮?款2000元，共計(jì)8次。解：30 .計(jì)算下面十年年金的現(xiàn)值：前 5年每季度初支付400元，然后增為600元。已知 年利率為12%。(缺命令) 解:P V = 4 400 + 4 600v5= 11466.1431.已知半年結(jié)算的名貼現(xiàn)率為 值表達(dá)式。9%,計(jì)算每半年付款600元的十年期初年金的現(xiàn)解:32.給出下面年金的現(xiàn)值：在第7

13、、11、15、19、23和27年底支付一個(gè)貨幣單位。解:1P V = a24?piv3=S?4P(1 +產(chǎn) 1(1 + i)27(1 + i)4- 1a? - Pa?4PS?3p+ S?1P33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次 R元的30年期末 年金代替，半年換算名利率4%,求R的表達(dá)式。解：設(shè)年實(shí)利率為i,則(1 + 2%)2= 1 + io有題意得750+ 750= Ra30pi北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第12頁(yè)解得120 = da?2pi iR = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的現(xiàn)值為125/91,計(jì)算年利率。解：由題意知1 =

14、125解得i = 20%35 .已知：1元永久期初年金的現(xiàn)值為20,它等價(jià)于每?jī)赡旮犊頡元的永久期初年 金，計(jì)算Ro解：由題意得解得R = 1.9536 .已知每半年付款500元的遞延期初年金價(jià)格為10000元。試用貼現(xiàn)率表示遞延 時(shí)間。1解：設(shè)貼現(xiàn)率為d,則1 = 1+i2(1 - d)與設(shè)遞延時(shí)間為t,由題意得10000 = 2500vt J?p1解得t = ln 20 + ln(1 - (1 - d)：)ln(1 - d)37 .計(jì)算：3a?np= 2a2?np =45s?ip，計(jì)算 i。i解.a?npi = 45 x s?1pi.ii一3- %= 2X解得：vn=1i = 1 Oi(2

15、)i2i22 '3038 .已知i(4)= 16%。計(jì)算以下期初年金的現(xiàn)值：現(xiàn)在開始每4個(gè)月付 款1元，共12年。(問(wèn)題)解：39 .已知：6 t =工。求？p 的表達(dá)式。解：/-? p =e Rot Sdsdt= ln(1 + n),n o40.已知一年內(nèi)的連續(xù)年金函數(shù)為常數(shù) 1,計(jì)算時(shí)刻t,使得只要在該時(shí)刻一次性支 付一個(gè)貨幣單位，則兩種年金的現(xiàn)值相等。vtdt =o解：第一種年金的現(xiàn)值為第二種年金的現(xiàn)值為e-s1 - e - 8=e- 813貝U所以 t = 1 +1-M 41.已知：6 = 0.08計(jì)算從現(xiàn)在開始每個(gè)季度初存入 100元的20年期初年金的現(xiàn) 值。(結(jié)果和李凌飛的

16、不同) 解：設(shè)季度實(shí)利率為io因a(t) = e”則ez s= (1 + i)所以=4030.531 - v80P V = 100 80?pi = 100(1 + i) i42.現(xiàn)有金額為40,000元的基金以4%的速度連續(xù)累積。同時(shí)每年以 2400元的固定 速連續(xù)地從基金中取錢，該基金可以維持多少時(shí)間？ 解：設(shè)年實(shí)利率為i,則i = es- 1設(shè)基金可維持t年，由兩現(xiàn)值相等得40000 = 2400a?tPi解得t = 2843 .已知某永久期末年金的金額為：1, 3, 5,.。另外，第6次和第7次付款的現(xiàn)值 相等，計(jì)算該永久年金的現(xiàn)值。13解： 由題息： 11(i+i)6=(i+i)7?

17、i =112P V = v + 3v2+ . + (2n - 1)v n+ .=v1 + P V + 2(v + v2+ 一 )=v(1 + p v + 17)2v解得:P V = 6644 .給出現(xiàn)值表達(dá)式Aa?np + B (Da)n所代表的年金序列。用這種表達(dá)式給出如下25年遞減年金的現(xiàn)值：首次100元，然后每次減少3元。解： 年金序列：A + nB, A + (n - 1) B, . . . , A + 2B, A + B所求為25a5?p+ 3(Da945 .某期末年金(半年一次)為：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年結(jié)算名利率為16%。若記：A = a1

18、°?p8%,試用A表示這個(gè)年金的現(xiàn)值。解：考慮把此年金分割成300元的固定年金和500元的遞減，故有：2 X (10 - A)300a10?p8%+ 500(Da)10|8% = 300A +i(2)= 6250 - 325A46 .年利率8%的十年儲(chǔ)蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年遞增5%0計(jì)算第 十年底的余額。解：由題意：AV =1000s? 5P8%(1 + 8%)6+ (1000 1.05 K085+1000 M.052X 1.084+ + 1000 1.055X 1.08)=100 0(1 + 8%)5 -8%1 R 1.086+ 1000X.05K085=1660

19、6.7247 .已知永久年金的方式為：第 5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年 底各300元，依此類推。證明其現(xiàn)值為：100金融數(shù)學(xué)系i - vd第9 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究解：把年金分解成：從第5年開始的100元永久年金，從第7年開始的100元永久 年金.。從而P V =v4 200 1 = 100V4 1 1= 100 v4i a?2pi ii 1 - v 2 i - vd48 .十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元證明其現(xiàn)值為：1600 10?P (I(4)(4)1| 元證： 首先把一年四次的付款折到年初：m =

20、4, n = 1, R = 100m2= 1600從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：1600(1(4) .元1|再貼現(xiàn)到開始時(shí)：1600 ,10?p(l(4) ')(4)1| 元49 .從現(xiàn)在開始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3%,年利率8%,計(jì)算現(xiàn)值。解： 半年的實(shí)利率：j = (1 + 8%) 12- 1 = 3.923%/U3 ,1.032一 + 1 + j (1 + j)21.03=(1 -1 + j )-1=112.5950 .某人為其子女提供如下的大學(xué)費(fèi)用：每年的前9個(gè)月每月初500元，共計(jì)4年。證明當(dāng)前的準(zhǔn)備金為：6000 ?4P_'(12V12I證：首先

21、把9個(gè)月的支付貼現(xiàn)到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：6000 (12-9/12|貼現(xiàn)到當(dāng)前：6000 ?4P_(12)9/12|北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué) 系第10頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究51 .現(xiàn)有如下的永久年金：第一個(gè) k年每年底還；第二個(gè)k年每年底還2R ;第三 個(gè)k年每年底還3R;依此類推。給出現(xiàn)值表達(dá)式。解：把此年金看成從第nk年開始的每年為R的永久年金（n = 0,1,2, ）: 每個(gè)年金的值為Ra-?p在分散在每個(gè)k年的區(qū)段里：Ran再按標(biāo)準(zhǔn)永久年金求現(xiàn)值：R缸）2aki52 .X表示首次付款從第二年底開始的標(biāo)準(zhǔn)永久

22、年金的現(xiàn)值，20X表示首次付款 從第三年底開始的永久年金：1,2, 3, 的現(xiàn)值。計(jì)算貼現(xiàn)率。ii x=-i 1+i120X = (1'i+i2)(1+i)2解：由題意:解得：i = 0.05即：d =i1+= 0.0476253 .四年一次的永久年金：首次 案有出入1元，每次增加5元，v4= 0.75,計(jì)算現(xiàn)值。與原答解：（期初年金）P V = 1 + 6v4+ 11v9+ =（期末年金）(5n - 4)v (4n-4)=i=15- - 4 = 64(1 - v 4)21 - v4P V59.5587=v + 6v5+ 11v10 + = v P V =54 .永久連續(xù)年金的年金函數(shù)

23、為 金現(xiàn)值。與原答案有出入:（1 + k）t,年利率i,如果：0 < k < i ,計(jì)算該年解:由于0 < k < i ,故下列廣義積分收斂二北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第11頁(yè)00 1 + k)tdt= 0 ( 1 + i1ln(1 + i) - ln(1 + k)55 .遞延一年的i3年連續(xù)年金的年金函數(shù)為t2- i ,利息力為（i + t）-i ,計(jì)算該年 金現(xiàn)值。與原答案有出入解:J 1P V = exp(- 0 E dt)(t2-1) exp(-11Tds)dt = 47.4356 .給出下列符號(hào)的表達(dá)式：t=i(Ia)tit=i(Da)ti解:由（Ia）t

24、i表達(dá)式有:(Ia)ti t=intvtntP? -tvit=i1 Ei Ei t=i1 Ei t=i(1 + i) - v t-i-1i (IaL|展開求和即得由（Da”表達(dá)式有:i21 t=1.n(1 + i) - 2 ?p + nvnEt - a? tPt=i(Da)tit=it=i t=in(n 1 1)-1. (n - a? np ) 2 i22n(n + 1) - n + a? npi2遞增期末年金。分別對(duì)兩種年金的現(xiàn)值之差為 0和得到極大兩種情況計(jì)算年利 率。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第 12 頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第13頁(yè)解：年金現(xiàn)值分別為:P

25、Va =P Vb =P pa«?pi=- i q q q(IaE i = + 口當(dāng)P Va= P Vb時(shí)有:ip = iq + qi=q P-q,P > q解得：i不存在，p & qp q qi2+i2 + 2 i3= 0(2)令 f(i) =pi-i -iq2f0(i)=-解得：i p-q p > q 2=_q 58.某零件的使用壽命為9年，單位售價(jià)為2元；另一種產(chǎn)品，使用壽命15年，單 價(jià)增加X(jué)。如果某人需要35年的使用期，假定在此期間兩種產(chǎn)品的價(jià)格均以年增4%的幅度增加，要使兩種產(chǎn)品無(wú)差異的 X為多少？（缺少利率？下面的計(jì)算年利率i = 5%）（與原答案有出

26、入）解：用9年一周期的產(chǎn)品，則有支付的現(xiàn)值為: 1 041041 04P V尸 2 *1 + ( 10)9+ ( 1 0 )18+ ( 1 0 )27555用15年一周期的產(chǎn)品，則有支付的現(xiàn)值為二一1.041.04P V2= (2 + X)僅+ ( 1.0 )15+( 1.0 Ml由 P V1= p V2有：X = 0.69925559 .計(jì)算m + n年的標(biāo)準(zhǔn)期末年金的終值。已知：前 m年年利率7%,后n年年利率 11%, Sm?p7%=34, S?np11% = 128。解：由 S2p 的表達(dá)式有：(1 + 0.11)n= 0.11S?M1%+ 1AV = Sm?p7%X(1 + 0.11

27、)n+ S?np11%=Sm?p7%X(0.11S?np11% + 1) + S?np11%=640.72版權(quán)所有，翻版必究60 .甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，兩種股票都是每股10元。A股票每 年底每股分得紅利0.43E,共計(jì)10年，在第10次分紅后，甲以每股2元的價(jià)格將所 有的股票出售，假設(shè)甲以年利率6%將紅利收入和股票出售的收入進(jìn)行投資。B股票在前10年沒(méi)有紅利U大入、從第11年底開始每年每股分得紅利0.83E,如果乙也 是以年利率6%進(jìn)行投資，并且在n年后出售其股票。為了使甲乙在乙的股票出售 時(shí)刻的累積收入相同，分別對(duì) n = 15, 20兩種情況計(jì)算乙的股票出售價(jià)格。解

28、：設(shè)X為買價(jià)，有價(jià)值方程：0.4s0?p6% + 2 = 0.8Sn-10|6%+X(1 + 0.06) -(n-10)從而有：X = (0.4S10?p6%+ 2- 0.8s-10|6%)(1 + 0.06)(n-10)5.22 n = 15解得：X =2.48 n = 2061 .某獎(jiǎng)學(xué)金從1990年元旦開始以十萬(wàn)元啟動(dòng)，每年的 6月30日和12月31日用半年結(jié)算名利率8%結(jié)算利息。另外，從1991年元旦開始每年初可以固定地收到捐款5000元。(從1991年的7月開始？)每年的7月1日要提供總額為一萬(wàn)二千元的獎(jiǎng)金。計(jì)算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余額。解：由題意：AV = 10

29、0000(1 + 4%) 20+ 5000s20?p4% - 12000(1 + 4%)s20?P4% = 109926.021S?2P4%s?2 P4%62 .已知貸款L經(jīng)過(guò)N (偶數(shù))次、每次K元還清，利率i。如果將還貸款次數(shù)減少 一半，記每次的還款為 Ki,試比較Ki與2K的大小。解：由題意：1Ka?pi = Ka2m?pi? Ki= K 1 + (1 + i) m < 2K63 .已知貸款L經(jīng)過(guò)N次、每次K元還清，利率i。如果將每次的還款額增加一倍， 比較新的還款次數(shù)與N/2的大小。解：由題意：N 一”.1 +、 N2KaM?pi=KaN?pi? vM= v > v 22即

30、：M < N/264 .從1990年的元旦開始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%,問(wèn): 什么時(shí)刻，余額首次超過(guò)一萬(wàn)元、十萬(wàn)元。解：半年實(shí)利率：i = (1 + 6%) 1/2- 1 = 2.9563%余額首次超過(guò)X的時(shí)刻：500 2n> X8X = 10000從而解得：n弋35 X = 10000065 .帳戶A從1985年元旦開始每年初存款1000元，共計(jì)10年；帳戶B從1985年元旦 開始每年初存款500元；兩帳戶年利率均為5%。問(wèn)：何時(shí)帳戶B的余額首次超過(guò)帳 戶Ao解：由題意，設(shè)所求時(shí)間為n:1000 10?p5% <500 ?nP5%解得：n - 1)

31、30在2015年的元旦B超過(guò)A。66 .已知A = Sn|i,B = Sn+1|i0用A和B給出n和i的表達(dá)式。解：由=(1”二1 得：(1 + i)A = B - 1 i從而 i =b-a-iAl(A+1)帶入 Sn|i=A解得：n =B2-A-1ln(，A)67.分別對(duì)以下三種情況給出i的表達(dá)式：1)A = a?npi, B= S?npi2)A = a?npi, B= a2?npi3)A = a?npi, B= S2?npiV解：1)Bvn= A ? i =nBa - 12)ia?nP +甫=2 ? i“aB23)v2nB= A + vnA ? i =nv2BA+A2+4AB - 168

32、.對(duì)于固定的n和L ,且L > n ,證明：L = a?nP 在-1 < i < 1上有唯一解。版權(quán)所有，翻版必究證：(斯圖姆判別？)考慮如下現(xiàn)金流：初始時(shí)刻投入 L,而后的n年每年末得到回 報(bào)1,從而此投資的內(nèi)部收益率i滿足L = a?nPi由于現(xiàn)金流只改變一次方向，從而由笛卡兒符號(hào)法則有，在 -1 < i < 1,有 唯一的內(nèi)部收益率。69 .證明：(Ia)npi+(Da)ni= (n + 1)&酬$+"小次個(gè)+ 1)。并給出實(shí)際背景解釋。n, n - 1, .； 1證：1) ?1)實(shí)際意義：現(xiàn)金流拆分(n + 1), (n + 1), 一,

33、(n +1,2, , n(Ia)nPi+ (Dab=？ np nvn+n- a?nP ii=a?nP (Ld)+n(1 - vn) i=(n + 1)a?nP2)實(shí)際意義：終值是本金(n + 1)和利息利滾利i(Is)npi的結(jié)果:i(Is)jpi+ (n + 1)=s+1j- (n + 1)i i + (n + 1)=S+1|70 .當(dāng)i > 0, n > 0 時(shí)，有:(Ia),pi < (n + 1)/2a?npi< (Da"i證： 由 69題有:(Ia)nPi+(Da)nPi/2 = (n + 1)a?nP，2從而，只要證：(Ia)nPi<(Da)

34、_nPi(?)注意到:(DaQ - (Ia)nPi ? (n - 1), (n - 3), , -(n - 3), -(n - 1) 這年金 前后對(duì)稱，而后面的貼現(xiàn)因子比較大，從而有 (？)成立。71 .某雇員在退休前的第37年參加企業(yè)養(yǎng)老金計(jì)劃，當(dāng)時(shí)年收入為18,000元，然后 每年以4%的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中進(jìn)行)。1)分別對(duì)以下兩種退 休金方式計(jì)算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金為工作期間年 平均工資的70%;年退休金為年平均工資的2.5%再乘以工作年限。2如果企業(yè)和個(gè)人分別將年工資的3%存入年利率6%的養(yǎng)老基金，試對(duì)以上兩種 退休金方式計(jì)算退休金的領(lǐng)取年限。解

35、:1)平均工資:$ = 18000(1 + 1.04 + - + 1.0436)/37 = 39747.04退休前一年的工資：18000 X(1 + 0.04)36= 73870.79法一：年退休金：0.7$ = 27822.93，比例為：37.66%法二：年退休金：0.25$ >37 = 36766.01，比例為：49.77%2)企業(yè)和個(gè)人各存3%則一共存6%,從而這筆基金的終值為：26P = 18000 >6% X (1 + 4%)t(1 + 6%)36-t = 235871.7t=0設(shè)年退休金為R,則有：R ?nP6% < P解得：n = 12第一I種方式8第二種方式7

36、2 .已知永久期初年金為：首次1元；第二年初1 + 2元；第三年初1 + 2 + 3元；依此類推；第n年初1 + 2 + > + n元。證明該年金的現(xiàn)值為 4(I工po解：進(jìn)行現(xiàn)金流拆分：從第一年出發(fā)的一份標(biāo)準(zhǔn)永久年金，從第二年出發(fā)的兩份標(biāo)準(zhǔn)永久年金，-，從第n年出發(fā)的n份標(biāo)準(zhǔn)永久年金>-。分別求各個(gè)子 現(xiàn)金流的現(xiàn)值得到如下的現(xiàn)金流：,2 口,.一，n_3P,.一其現(xiàn)值即為原年金的現(xiàn)值：三(I匕。73 .已知連續(xù)年金函數(shù)為f(t), 0時(shí)刻的年金為F。，利息力弓如果用Ft表示時(shí)刻t的 年金終值，證明：醞=>+ f (t)dt證： 由定義廣廣1) i)Ft=f (s)e(t-s) cfe= et s f (s)e-s) ds00dFT/dt = 蹌t 0 f (s)e- s ds+ f(t) = t+ f (t)74 . A從B處借得10,000元，年利率4%,計(jì)劃分40次按季度等額償還。在第6年 底，B希望立即收回所有借款，因此將今后接受還款的權(quán)利轉(zhuǎn)賣給C,轉(zhuǎn)賣價(jià)格使C今后幾年的年收益率將達(dá)到6%，計(jì)算轉(zhuǎn)賣價(jià)格。解：A從B借款：季度實(shí)利率為i = (1 + 0.04)