圓錐曲線幾何問題地轉(zhuǎn)換

1、幾何問題的轉(zhuǎn)換一、基礎(chǔ)知識(shí)：在圓錐曲線問題中，經(jīng)常會(huì)遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化，合理的進(jìn)行幾何條件的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算的復(fù)雜程度，在本節(jié)中，將列 舉常見的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。1、在幾何問題的轉(zhuǎn)化中，向量是一個(gè)重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€ 段后可以承載向量；另一方面，向量在坐標(biāo)系中能夠坐標(biāo)化，從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為 坐標(biāo)的運(yùn)算，與方程和變量找到聯(lián)系2、常見幾何問題的轉(zhuǎn)化：（1 ）角度問題： 若與直線傾斜角有關(guān)，則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率k 若需要判斷角是銳角還是鈍角，則可將此角作為向量的夾角，從而利用向量數(shù)量積的符 號(hào)進(jìn)行判定（2 ）點(diǎn)與圓

2、的位置關(guān)系 可以利用圓的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些 題目中計(jì)算量較大 若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線的夾角進(jìn)行判定：若點(diǎn)在圓內(nèi)，ULT uuruur uuuACB為鈍角（再轉(zhuǎn)為向量：CA CB 0 ;若點(diǎn)在圓上，貝U ACB為直角（CA CB 0）；uur uuu若點(diǎn)在圓外，貝UACB為銳角（CA CB 0 ）（3）三點(diǎn)共線問題 通過斜率：任取兩點(diǎn)求出斜率，若斜率相等，則三點(diǎn)共線 通過向量：任取兩點(diǎn)確定向量，若向量共線，則三點(diǎn)共線（4 ）直線的平行垂直關(guān)系：可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量的平行與垂直問題，從而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算：rrr rrrax1,y1 ,b

3、x2,y2，則 a,b共線x-iy2x2y1 ； abXjX2y1y20（5 ）平行（共線）線段的比例問題：可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系（6）平行（共線）線段的乘積問題：可將線段變?yōu)橄蛄?，從而轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題（注 意向量的方向是同向還是反向）3、常見幾何圖形問題的轉(zhuǎn)化（1 ）三角形的“重心”設(shè)不共線的三點(diǎn) A xy! , B x2, y2 ,C x3,y3，則VABC的重（2 ）三角形的“垂心”:伴隨著垂直關(guān)系,即頂點(diǎn)與垂心的連線與底邊垂直，從而可轉(zhuǎn)化XiX2X3 yiy2y33，3（5） P是以DA,DB為鄰邊的菱形的頂點(diǎn)：P在AB垂直平分線上上ADB«*ACB例1：如圖：A,B分別

4、是橢圓C2 2xy2,2aba b 0的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，2是(6)共線線段長(zhǎng)度的乘積：若 A,B,C共線，則線段的乘積可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積， 從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，(要注意向量的夾角)iur uuuuuur uuu例如：|AC| |AB| AC AB，| AC BC AC BC二、典型例題:AF , FB的等差中項(xiàng)， J3是AF , FB的等比中項(xiàng)(1) 求橢圓C的方程(2) 已知P是橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，直線I過點(diǎn)A且垂直 于x軸，若過F作直線FQ AP，并交直線I于點(diǎn)Q。證明:Q,P,B三點(diǎn)共線解: （ 1）依題意可得： A a,0 ,B a,0 , F c,0AF c a, BF a

5、 cQ 2是AF , FB的等差中項(xiàng)4 AF FB a c a c 2aQ ,3 是 AF , FB的等比中項(xiàng).3 2AFFBb2 3x2Q橢圓方程為：4(2 )由(1)可得:A 2,0 ,B 2,0 ,F 1,0設(shè)AP:，設(shè)P X1,y1 ，聯(lián)立直線與橢圓方程可得:3x24y2x 2124k23 x216k2x 16k2120XaXi16k2124k2Xi6 8k24k2y1 kx1212k4k236 8k212k23 4k2 34k2另一方面,因?yàn)镕QAPFQ : y，聯(lián)立方程:Q B 2,04kkBp12k4k236 8k24k2312k16k234kkBQkBPB,Q,P三點(diǎn)共線2x例

6、2:已知橢圓a2 y b21(a0)的右焦點(diǎn)為F，M為上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OMF的面積為1，2且橢圓的離心率為-(1 )求橢圓的方程;線1的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.解:(1)SVOMF12OMOFbc2ec返a : b:c 牛2 :1:1a2bc12 ab22 c2(2 )是否存在直線|交橢圓于P , Q兩點(diǎn),2橢圓方程為：y2 1212且使點(diǎn)F PQM的垂心？若存在，求出直M 0,1 ,F 1,0kMF1 Q FPQM的垂心MF PQkPQk1 1MF設(shè) PQ : y xm由F為APQM 1的垂心可得：MP FQuurUJUMP X1,%1 ,FQX21,y2uur uurMP FQ

7、 x1x21y11 y2 0因?yàn)镻,Q在直線y xm上% N m，代入可得：y2x2mX x2 1x1m 1X2m 0即 2x1x2 (x1X2)(m1) m2 m 0考慮聯(lián)立方程：y x m得3x24mx22m22x2 2y2216m2122m2 20m23(2)設(shè) Pg,%)，Qgyz), 由( 1)可得:0 .4mV V2m2212，1 233c 2m2 24m22m 1m33解得：m4或m 11時(shí),3當(dāng)m PQM不存在，故舍去當(dāng)m4時(shí)，所求直線I存在，直線3代入可得:I的方程為y小煉有話說：在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì),為垂心與三角形頂點(diǎn)的連線垂直底邊,2占1(a b 0)的一個(gè)焦

8、點(diǎn)是所以對(duì)垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算(或是斜 率關(guān)系)2x例3 :如圖，橢圓二aF 1,0，O為坐標(biāo)原點(diǎn) (1)若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形, 求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)F且不垂直x軸的直線|交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若直線I繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有OAOB 2 AB解：(1)由圖可得:1M 0,b3由正三角形性質(zhì)可得:MFO 6,kMFkMF橢圓方程為:(2)設(shè) I : yb2A X1,y1,B X2,y22Q OAOBABcos AOBAOB為鈍角OA2|OB|AB2OA OBuun ujuOA OB x1x2聯(lián)立直線與橢圓方程:y kb2x

9、2a2b2b2x2a2k22 2 21a2b2，整理可得:a2k2 b2x2 2a2k2x ax-ix22a2k2 a2k22，X1X2b2y2k2 % 1X2k2%x2k2 x1X2k22 a2k2 a 鯊7"a2k2k22a2k2a2k2 b22k2b2a2b2k2k2X-|X2YlY22 2 2222a k a b k b222a k ba2b2k2a2k2a2b2b*0恒成立b2a2b22 2a b恒成立b2a2b22 2Q b2a22a210解得:a的取值范圍是2 x 例4 :設(shè)A, B分別為橢圓一2 a2yb20的左、右頂點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距

10、離的最小值為(1 )求橢圓的方程;(4,0)N（2 ）設(shè)P為直線x 4上不同于點(diǎn) 4,0的任意一點(diǎn)，若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A,B的點(diǎn)M,N，證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)解：（1）依題意可得a 2c，且到右焦點(diǎn)距離的最小值為 a c 1可解得：a 2,c 1 b .32 2橢圓方程為-143（2）思路：若要證 B在以MN為直徑的圓內(nèi)，只需證明 MBN為鈍角，即 MBP為銳uuuu uuu角，從而只需證明BM BP 0,因?yàn)锳,B坐標(biāo)可求，所以只要設(shè)出 AM直線（斜率為k），uumi uuu聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理即可用k表示出M的坐標(biāo)，從而 BM BP可用k1表示。即可判斷ULUU

11、UUUBM BP的符號(hào)，進(jìn)而完成證明解：由（1）可得A 2,0 ,B 2,0，設(shè)直線AM ,BN的斜率分別為k，M捲$ ，則AM : y k x 2聯(lián)立AM與橢圓方程可得：4k23 x2 16k2x 16k212 0y k x 222 ，消去y可得:3x 4y 1216k2126 8k2xAx14k2 3X14k23y1kx12k12k4k23，即 M6 8k212k4k23,4k23設(shè)P 4,y。，因?yàn)镻在直線AM上，所以y。 k 4 2 6k，即P 4,6kBP 2,6k闕 學(xué),嚴(yán)4k23 4k2 3UUU UUUL BP BM32 k24k236k4k2340k24k23MBP為銳角,M

12、BN為鈍角例5 :如圖所示，已知過拋物線 X線相交于 A, B兩點(diǎn)，與橢圓存在直線I使得AF CF程，若不存在，請(qǐng)說明理由M在以MN為直徑的圓內(nèi)BF，設(shè) I: ykx13 24yQAFCF|BF|DF|AF|PFI不妨設(shè)|AF|DF|lBF|陽(yáng)|BF|CF|uuuuuu uuirUUU則AFFB, DFFC解：依題意可知拋物線焦點(diǎn)F0,1設(shè) A Xi，yi ,B X22 ,CX3，y3,D X4，y4umrAFuurX1,1 y1 ,FBX2,y2 1UJUCFJJJX3,1 y3 ,FDX4,y41X1X2 考慮聯(lián)立直線與拋物線方程:X3X4kx 14yX24kX 4 0x212x1x2x2

13、X1X24k，消去聯(lián)立直線與橢圓方程:3k26 x26kXX3X4X4X3X42X4X2可得:4k2y6x2kX 13y26x23 kX 16k3k26J_4，整理可得:學(xué)3k26由可得:4k仝6，解得：k2 1 k3k 6所以存在滿足條件的直線，其方程為：y x 19例6 :在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線x2py p 0的準(zhǔn)線方程為y2，過點(diǎn)M 4,0作拋物線的切線 MA，切點(diǎn)為A （異于點(diǎn)O ），直線I過點(diǎn)M與拋物線交于兩點(diǎn) P,Q，與直線OA交于點(diǎn)N（1 ）求拋物線的方程（2）試問MNMPMNMQ的值是否為定值?若是，求出定值;若不是，請(qǐng)說明理由解：（1）由準(zhǔn)線方程可得：P -

14、p 12 2拋物線方程：x2 2y1 2（2）設(shè)切點(diǎn)A x0,y0，拋物線為y x22y' x切線斜率為k xo12切線方程為：y y° xo x xo，代入M 4,0及y° x°1 2可得：2xo Xo 4 Xo，解得：Xo 0 （舍）或 xo 8A 8,32 OA: y 4x設(shè) PQ : x my 4Q M,P,N,Q共線且M在x軸上MNMNyNyN11yPyMP|MQyyyNyPyyNyPy2 x2y2 亠，整理可得聯(lián)立PQ和拋物線方程：my4 2y:xmy 42 2my 8m 2 y 16 0MNMPMNMQyNyPyayPyo2 8m161 4m

15、 蘭2m例7 :在VABC中，A,B的坐標(biāo)分別是 2,0 , ,2,0，點(diǎn)G是VABC的重心，y軸上yP2 8myQ2 ,yPm16yQ2my 4x16再聯(lián)立OA,PQ直線方程：yNx my 41 4m一點(diǎn) M 滿足 GM / AB，且 MC MB(1 )求VABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程E上存在點(diǎn)R，使得四邊形(2)直線l : y kx m與軌跡E相交于P,Q兩點(diǎn)，若在軌跡OPRQ為平行四邊形(其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的取值范圍解：(1 )設(shè)C x,y由G是VABC的重心可得：x _y3, 3由y軸上一點(diǎn)M滿足平行關(guān)系，可得M叱由 MC MB 可得：Jx2 y 1 yJ""

16、;0V2y22 2化簡(jiǎn)可得：x y 1 y 02 6、x2 y2C的軌跡E的方程為：1 y 02 6（2）Q四邊形OPRQ為平行四邊形uuu uuu uuurOR OP OQ設(shè) P X1,% ,Q X2,y2R 為 x?, % y?Q R在橢圓上23 為 X2y1 y23xf y23x2 y|6x1X22y2因?yàn)镻,Q在橢圓上，所以3xf3x；2y162y26代入可得:6X1X2 2y°212 63x-|X2y2聯(lián)立方程可得:y kx m3x2y2k2x2 2kmxm26x-1x22 km2，x1x2m26k23y2kx1 m kx2k2x.|X2km x1X23m2 6k2k23代

17、入可得:m263戸3m2 6k2k232 m2k23k2 3 x22kmx m20有兩不等實(shí)根可得:4k2 m24 k23c 23m6k218220 ,代入k 2m 33m22m218另一方面:2m2k20m22 x例8 :已知橢圓a2yb21的離心率為，2直線l過點(diǎn)A 4,0 ,B 0,2 ，且與橢圓C相切于點(diǎn)P(1)求橢圓C的方程(2 )是否存在過點(diǎn)A 4,0的直線m與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M , N ,使得36 AP35 AM AN?若存在，求出直線 m的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解（1）e -a 22y3c223x2 4y212c2x橢圓方程化為：24cQI 過 A 4,0 ,B 0,2設(shè)

18、直線|：彳舟1聯(lián)立直線與橢圓方程:整理可得：x2 2x3x24y21x212c2消去y可得：3x212c23c2QI與橢圓相切于P4 4 4 3c23P 122，且可解得x橢圓方程為：-4(2)思路：設(shè)直線M 為， ,N X2，y2由(1)可得:再由A 4,0可知AP2坐，若要求得4k (或證明不存在滿足條件的 k )，則可通過等式36 AP35 AM AN列出關(guān)于k的方程。對(duì)于AMAN，盡管可以用兩點(diǎn)間距離公A,M , N共線，從而可想到利式表示出 AM , AN，但運(yùn)算較為復(fù)雜。觀察圖形特點(diǎn)可知UUUU UULT用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因?yàn)锳M ,AN同向，所以AMANUUJU UUL

19、TAM AN。寫出m與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體代入即Luuu uurAM ,AN的坐標(biāo)即可進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，然后再聯(lián)立可得到關(guān)于k的方程，求解即可解：由題意可知直線 m斜率存在，所以設(shè)直線m: y k x 4 , M X|, y1 ,N x>, y2由（1）可得:3Pi,2AP45Q代M,N共線且uuuu unr AM ,AN同向AMANuuuu AMuuirANujuuAMuur,ANX2 4,y2uuuu AMuurANXi4 x24y2Xi X2yi y24 x1x216聯(lián)立直線m與橢圓方程:3x24y2k xI2消去y并整理可得:44k2332k2x64k2 i232k24k23，

20、X，X264 k2 i24 k23yiy2x-i4x236k24礦umu uur AM AN64k2 I24k236k24k2 332k2424k2336k2 ii64k2 3Q36 AP可解得:若方程解得:35k24k232 k235 AM36 k2AN4k2 3，代入AP454uuuu AMuurAN236 k i4k2 3可得:x2直線m的方程為:k ，另一方面,432k2x4k264k2 i264 k2 i20有兩不等實(shí)根子符合題意X4例9 :設(shè)橢圓C :21 a b 0的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A bULUN uuur與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸與點(diǎn)Q，且2F1

21、F2 F2Q（1）求橢圓C的離心率（2）若過A,Q,F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l : x3y 30相切，求橢圓C的方程（3 ）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn) F2作斜率為k的直 線l與橢圓C交于M ,N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn) P m,0使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱 形？如果存在，求出 m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由解: （ 1 ）依題意設(shè) A 0,b ,Fi c,0 ,F2 c,0 ,QXo,OuuuF1F2UUU2c,0 ,F2QX。c,0uuuQ2F1F2uuu rF2Q 04c x0 c 0x°3cQ 3c,0kAQ 3c由AQAF2可得:kAQkAF2b23c2,2c2b 3ca2c23c2a24c2由（1）可得:a : b : c 2:31Q AQ AF2A,Q,F2的外接圓的直徑為 QF2，半徑設(shè)為rQ 3c,0 ,F2 c,0QF2 2c ,圓心c,0c 3 4c由圓與直線相切可得:解得：c 12,b-3x2橢圓方程為-4(3)由(2)得 Fi1,0 , F2 1,0 :設(shè)直線 I : y k x 1設(shè)M x., ,y1 ,N x2, y2，若PM , PN為鄰邊的平行四邊形是菱形則P為MN垂直平分線上的點(diǎn)3x124 yi2 23x24 y2123122X