彎曲正應(yīng)力切應(yīng)力與強(qiáng)度條件（課堂PPT）

1、1彎彎 曲曲第第 9 9 章章9-4 9-4 求慣性矩的平行移軸公式求慣性矩的平行移軸公式9-2 9-2 剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究9-3 9-3 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力9-6 9-6 梁的強(qiáng)度條件梁的強(qiáng)度條件9-5 9-5 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力9-8 9-8 彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能9-10 9-10 超靜定梁超靜定梁9-7 9-7 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角9-1 9-1 剪力和彎矩剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖9-9 9-9 斜彎曲斜彎曲293 梁截面上的正應(yīng)力當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩 M ， 又有剪力 FS 。mmFSM3只有與正

2、應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素 才能合成彎矩只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素 才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有 正應(yīng)力，又有 切應(yīng)力mmFSmmM 4一，純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 PPaaCD+PP+PaRBRA5PPaaCD+PP+Pal 橫力彎曲梁的橫截面上同時(shí)有彎矩和剪力的彎曲。l 純彎曲梁的橫截面上只有彎矩沒有剪力的彎曲。橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。6幾何取 一 純彎曲 梁來研究 。推導(dǎo) 純彎曲 梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。物理靜力學(xué)實(shí)驗(yàn)：71，幾何方面，幾何方面以及橫向線相垂直的一系列的縱向線以及橫向線相垂直的一系列的縱向線 （如（如 aa ，bb 等等） 。aabb梁在加力前先在其

3、側(cè)面上畫上一系列的橫向線（如梁在加力前先在其側(cè)面上畫上一系列的橫向線（如 mm ，nn 等）等）mmnn8（1）變形前相互平行的縱向直線（）變形前相互平行的縱向直線（aa ，bb 等），變形后均為等），變形后均為 圓弧線（圓弧線（aa ，bb等等 )，且靠上部的縮短靠下部的伸長(zhǎng)。，且靠上部的縮短靠下部的伸長(zhǎng)。梁變形后觀察到的現(xiàn)象梁變形后觀察到的現(xiàn)象mmnnaabbmmaabb9mmnnaabbmmaabb（2）變形前垂直于縱向直線的橫向線（）變形前垂直于縱向直線的橫向線（ mm , nn 等）變形后仍等）變形后仍 為直線（為直線（ mm , nn 等）等） ，但相對(duì)轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與，但相對(duì)轉(zhuǎn)

4、了一個(gè)角度，且與 彎曲后的縱向線垂直。彎曲后的縱向線垂直。mmnn10l 純彎曲的變形特征l 基本假設(shè)1: 平面假設(shè)變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于梁的軸線。l 基本假設(shè)2: 縱向纖維無擠壓假設(shè)縱向纖維間無正應(yīng)力。11d 由平面假設(shè)可知，在梁彎曲時(shí)，由平面假設(shè)可知，在梁彎曲時(shí)，這兩個(gè)橫截面將相對(duì)地旋轉(zhuǎn)一個(gè)這兩個(gè)橫截面將相對(duì)地旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度角度 d 。用兩個(gè)橫截面從梁中假想地截取用兩個(gè)橫截面從梁中假想地截取長(zhǎng)為長(zhǎng)為 dx 的一段的一段 。公式推導(dǎo)12d O1O2 dx橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)將使梁的凹邊的縱橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)將使梁的凹邊的縱向線段縮短，凸邊的縱向線段伸向線段縮短，凸邊的縱向線段伸長(zhǎng)長(zhǎng)。

5、由于變形的連續(xù)性，中間必由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向線段有一層縱向線段 O1O2 無長(zhǎng)度改無長(zhǎng)度改變。此層稱為變。此層稱為 。O1O2 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 dx 。13d O1O2 dx中性軸與橫截面的中性軸與橫截面的 對(duì)稱軸成正交對(duì)稱軸成正交 。中性層與橫截面的交線稱中性層與橫截面的交線稱為為 14l 中性層與中性軸15d O1O2 dx中性層中性層中性軸中性軸橫截面橫截面橫截面的橫截面的對(duì)稱軸對(duì)稱軸16d O1O2 dxyZx將梁的軸線取為將梁的軸線取為 x 軸軸 。橫截面的對(duì)稱軸取為橫截面的對(duì)稱軸取為 y 軸軸 。中性軸取為中性軸取為 z 軸軸 。17d O1O2 dx BB1 d

6、d y作作 O2B1 與與 O1A 平行。平行。在橫截面上取距中性軸為在橫截面上取距中性軸為 y 處處的縱向線的縱向線 AB。 為中性層上的縱向線段為中性層上的縱向線段 O1O2 變彎后的曲率半徑。變彎后的曲率半徑。O2B1 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 y 。Ay18d O1O2 dx AByB1 d d ydxAB1 為變形前為變形前 AB 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度B1B 為為 AB1 的伸長(zhǎng)量的伸長(zhǎng)量 AB1 為為 A 點(diǎn)的縱向線應(yīng)變點(diǎn)的縱向線應(yīng)變。lldxdy)( OOBBABAB2111119d O1O2 dx AByB1 d d dxyOOBBABAB21111 dxdy)( 中性層的曲率為中性層的曲率為

7、dxd 1 y 20d O1O2 dx AByB1 d d dxydx因而，因而， 橫截面上到中性軸等橫截面上到中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。遠(yuǎn)的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。該式說明該式說明 ， 和和 y 坐標(biāo)成正比坐標(biāo)成正比 , y 21d O1O2 dx AByB1 d d dxydxxyZOy y 222，物理方面，物理方面純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)處的處于純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)處的處于單軸應(yīng)力狀態(tài)單軸應(yīng)力狀態(tài) 。材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉，壓彈性模量相等材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉，壓彈性模量相等 。由單軸應(yīng)力狀態(tài)下的由單軸應(yīng)力狀態(tài)下的 胡克定律胡克定律 可得物理關(guān)系可得物理關(guān)系假設(shè)：假設(shè)： =E

8、 23yEE上式為橫截面上上式為橫截面上變化規(guī)律的表達(dá)式。變化規(guī)律的表達(dá)式。 y E24yEE上式說明，橫截面上任一點(diǎn)處上式說明，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離離 y 成正比成正比 ；OxyZy1在距中性軸為在距中性軸為 y 的同一橫線上的同一橫線上各點(diǎn)處的各點(diǎn)處的 正應(yīng)力正應(yīng)力 均相等均相等 。y25yEE M需要解決的問題需要解決的問題如何確定如何確定 中性軸的位置中性軸的位置 ？如何計(jì)算如何計(jì)算 ?中性軸中性軸26yZxOM3，靜力學(xué)方面，靜力學(xué)方面在橫截面上法向內(nèi)力元素在橫截面上法向內(nèi)力元素 dA 構(gòu)成了空間平行力系。構(gòu)成了空間平行力系。dAZy

9、 dAdA 1 dA27 ANdAF )( AydAzM )( AZdAyM yZxOMdAZy dA該空間平行力系簡(jiǎn)化為該空間平行力系簡(jiǎn)化為x 軸方向的主矢軸方向的主矢對(duì)對(duì)y 軸和軸和 z 軸主矩軸主矩28 ANdAF )( AydAzM )( AZdAyM 該梁段各橫截面上該梁段各橫截面上 FN 和和 My 均均等于零，等于零， 而而 Mz 就是橫截面上就是橫截面上的彎矩的彎矩 M 。0 0 M yZxOMdAZy dA29 AdAyE2 AdAyzE AydAE yEE 0 SzE 0 IEyz MIEz ANdAF AydAzM)( )( AZdAyM 300 SZ中性軸過截面形心且與

10、橫截面的對(duì)稱軸中性軸過截面形心且與橫截面的對(duì)稱軸 y 垂直垂直 AydAE 0 SzE ANdAF 31yyZZ中性軸中性軸中性軸中性軸CC32中性軸將橫截面分為中性軸將橫截面分為 受拉受拉 和和 受壓受壓 兩部分。兩部分。MMyyCZCZ中性軸中性軸中性軸中性軸拉拉拉拉壓壓壓壓330 Iyz因?yàn)橐驗(yàn)?y 軸是橫截面的對(duì)稱軸，所以軸是橫截面的對(duì)稱軸，所以 Iyz 一定為零。一定為零。該式自動(dòng)滿足該式自動(dòng)滿足中性軸是橫截面的形心主慣性軸中性軸是橫截面的形心主慣性軸 AdAyzE 0 IEyz AydAzM)( 34EIMz 1EIz 稱為截面的抗彎剛度稱為截面的抗彎剛度yEE AdAyE2 MI

11、Ez )( AZdAyM 35M 橫截面上的彎矩。橫截面上的彎矩。該式為等直梁該式為等直梁 純彎曲純彎曲 時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處正應(yīng)力的計(jì)算公式時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處正應(yīng)力的計(jì)算公式y(tǒng) 求應(yīng)力點(diǎn)的求應(yīng)力點(diǎn)的 y 坐標(biāo)坐標(biāo) 。式中式中 ：橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。IzIyMz 36u 由于推導(dǎo)過程并未用到矩形截面條件，因而公式適用于任何橫截面具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在對(duì)稱面內(nèi)的情況。u 公式是對(duì)等直梁得到的。對(duì)緩慢變化的變截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。u 公式是從純彎曲梁推得，是否適用于一般情形（橫力彎曲）？l 公式的適用性IyMz 37橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫

12、力彎曲時(shí)橫截面上有切應(yīng)力（翹曲）平面假設(shè)不再成立此外, 橫力彎曲時(shí)縱向纖維無擠壓假設(shè)也不成立.由彈性力學(xué)的理論，有結(jié)論：當(dāng)梁的長(zhǎng)度l與橫截面的高度h的比值:hl5則用純彎曲的正應(yīng)力公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力有足夠的精度。 l / h 5 的梁稱為細(xì)長(zhǎng)梁。384，討論，討論 （1）應(yīng)用公式時(shí)，一般將）應(yīng)用公式時(shí)，一般將 M ，y 以絕對(duì)值代入。根據(jù)梁變形以絕對(duì)值代入。根據(jù)梁變形 的實(shí)際情況直接判斷的實(shí)際情況直接判斷 的正，負(fù)號(hào)。的正，負(fù)號(hào)。以中性軸為界以中性軸為界梁變形后凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（梁變形后凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（ 為負(fù)號(hào)為負(fù)號(hào)）梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力（梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力

13、（ 為正號(hào)為正號(hào)）IyMz 39MMyyCZCZ中性軸中性軸中性軸中性軸（2）橫截面）橫截面 中性軸上中性軸上 各點(diǎn)的正應(yīng)力最小。且各點(diǎn)的正應(yīng)力最小。且 min = 0IyMz 40（3）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處IyMz 41 中性軸為對(duì)稱軸中性軸為對(duì)稱軸ZyCycmaxytmaxM tmax Cmax壓壓拉拉IyMz 42ZyCycmaxytmaxM tmax Cmax壓壓拉拉IyMz yyyctmaxmaxmax 用用 ymax 表示最大表示最大 拉（壓）應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離。拉（壓）應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離。43ZyCycmaxy

14、tmaxM tmax Cmax壓壓拉拉IyMz IyMzmaxmaxyIWZZmax WZ 稱為抗彎截面模量。稱為抗彎截面模量。44WMZmax中性軸是對(duì)稱軸中性軸是對(duì)稱軸 的梁橫截面上最大正應(yīng)力的計(jì)算公式為的梁橫截面上最大正應(yīng)力的計(jì)算公式為4562bh 21223hbhhI=Wzz yzhbyIWZZmax 矩形截面的抗彎截面系數(shù)矩形截面的抗彎截面系數(shù)46圓形截面的抗彎截面系數(shù)圓形截面的抗彎截面系數(shù)26424dddIWzz 323d= dyzyIWZZmax 2d2d47Mmaxcmaxtmaxmaxmaxtc矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力分部圖矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力分部圖48zy 對(duì)于中性軸不

15、是對(duì)稱軸的橫截面對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面Mytmax tmaxycmax Cmax49zyMytmax tmaxycmax Cmax應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離 ytmax 和和 yCmax 直接代入公式。求得相應(yīng)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。直接代入公式。求得相應(yīng)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。50maxcmaxtIyMZtt maxmaxIyMZcc maxmaxzyMytmax tmaxycmax Cmax51803565202080z例題例題：T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示。求橫截面最大形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如

16、圖所示。求橫截面最大拉應(yīng)力拉應(yīng)力 t，max ，和最大壓應(yīng)力和最大壓應(yīng)力 C，max ，已知，已知 ，Iz = 290. 6 10-8 mm4 P1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m52解：支座反力為解：支座反力為KN.RA52 RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m畫出彎矩圖。畫出彎矩圖。803565202080z53RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CB最大正彎矩在截面最大正彎矩在截面C上上mKNMC.52 最大負(fù)彎矩在截面最大負(fù)彎矩在截面B上上mKNMB.354RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m

17、803565202080z+-2.53CB B 截面截面MPaIMzBt1 .36035. 0maxMPaIMzBc1 .67065. 0max55RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CBC 截面截面MPaIMzCt0 .56065. 0maxMPaIMzCC1 .30035. 0max56RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z t,max = 56.0MPa 發(fā)生在發(fā)生在 C 截面的下邊緣截面的下邊緣可見，可見， C,max = 67. 1MPa 發(fā)生在發(fā)生在 B 截面的下邊緣截面的下邊緣57RAR

18、BP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z56.030.267.136.158重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn)正應(yīng)力公式：正應(yīng)力公式：IyMz WMZmax中性軸是對(duì)稱軸中性軸是對(duì)稱軸 的梁橫截面上最大正應(yīng)力的計(jì)算公式為的梁橫截面上最大正應(yīng)力的計(jì)算公式為59maxmax WMzmax ttccmax梁彎曲的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：梁彎曲的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：中性軸是橫截面對(duì)稱軸：中性軸不是橫截面對(duì)稱軸：60作作 業(yè)業(yè)9-8；9-961回回 顧顧EIMz 1中性層的曲率公式：中性層的曲率公式：IyMz 純彎曲梁橫截面上的純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式：正應(yīng)力公式：橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力：橫力彎曲

19、時(shí)的正應(yīng)力：IyxMz )( 62xydydzabdzdxc ：?jiǎn)卧w兩個(gè)相互垂直平面上，沿垂直于兩面交線作用的切應(yīng)力必單元體兩個(gè)相互垂直平面上，沿垂直于兩面交線作用的切應(yīng)力必定成對(duì)出現(xiàn)，且大小相等，都指相（或背離）該兩平面的交線。定成對(duì)出現(xiàn)，且大小相等，都指相（或背離）該兩平面的交線。63圖示一矩形截面梁受任意橫向荷載作用。圖示一矩形截面梁受任意橫向荷載作用。9-5 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力P2P1q(x)一、矩形截面梁一、矩形截面梁64橫力彎曲時(shí), 橫截面上既有正應(yīng)力, 又有切應(yīng)力。推導(dǎo)切應(yīng)力公式的方法：假設(shè)切應(yīng)力的分布規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件求出矩形截面梁的切應(yīng)力分布假設(shè)：矩形截面梁的切應(yīng)力分

20、布假設(shè)：切應(yīng)力。按截面形狀，分別討論。(1) 各點(diǎn)切應(yīng)力方向平行于剪力FS; ;(2) 切應(yīng)力沿寬度均勻分布。65（1）推導(dǎo)公式的思路）推導(dǎo)公式的思路MM+dMFSFS1假想地用橫截面假想地用橫截面 mm , nn 從梁中截取從梁中截取 dx 一段一段 。兩橫截面上均有剪力和彎矩。兩橫截面上均有剪力和彎矩。F2q(x)F1mmnnxdxmmnn彎矩彎矩 正應(yīng)力正應(yīng)力，剪力剪力 切應(yīng)力切應(yīng)力。66兩橫截面上的彎矩不等兩橫截面上的彎矩不等 。所以兩截面上到中性軸距離相等的點(diǎn)。所以兩截面上到中性軸距離相等的點(diǎn)（用（用 y 表示）其正應(yīng)力也不等。表示）其正應(yīng)力也不等。IyxMz )( 正應(yīng)力（正應(yīng)力（

21、 ）分布圖）分布圖mmnnMM+dMFSFSmmnny67mnnmmmohbdxxyz2假想地從梁段上截出體積元素假想地從梁段上截出體積元素 mB1 ABA1B1y要求要求m-m面上距中性面上距中性軸為軸為y y處的處的AA1線上任線上任意點(diǎn)處的切應(yīng)力意點(diǎn)處的切應(yīng)力。在橫截面的橫線在橫截面的橫線 AA1 上有相等的切應(yīng)上有相等的切應(yīng)力力 ，且方向都與剪且方向都與剪力方向平行。力方向平行。68yxzyBmnAB1A1m ndxmnnmmmohbdxxyzyABA1B1因?yàn)槲⒃我驗(yàn)槲⒃?dx 的長(zhǎng)度很小，所以的長(zhǎng)度很小，所以假設(shè)切應(yīng)力假設(shè)切應(yīng)力 在在AB1 面上面上均勻分布均勻分布。根椐切應(yīng)力

22、互等定理根椐切應(yīng)力互等定理，AB1 面的面的 AA1線各點(diǎn)處有切應(yīng)力且線各點(diǎn)處有切應(yīng)力且 69y體積元素體積元素 mB1 在兩端面在兩端面 mA1 , nB1 上兩個(gè)法向內(nèi)力不等上兩個(gè)法向內(nèi)力不等。3NN*2*1mnnmmmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1m ndxN*1N*2704在縱截面在縱截面 AB1 1 上必有沿上必有沿 x 方向的切向內(nèi)力方向的切向內(nèi)力 dFS。yxzyBmnAB1A1m ndxN*1N*2dFSmnnmmmohbdxxyzyABA1B1切應(yīng)力切應(yīng)力71yxzyBmnAB1A1m ndxN*1N*2dFSmnnmmmohbdxxyzyABA1B17

23、2由靜力平衡方程，求出由靜力平衡方程，求出 dFS。推導(dǎo)公式的步驟推導(dǎo)公式的步驟1N*1N*2和和分別求出分別求出 橫截面橫截面 mA1和和 nB1上正應(yīng)力的合力上正應(yīng)力的合力234dFS 除以除以 AB1 面的面積得縱截面上的切應(yīng)力面的面積得縱截面上的切應(yīng)力 。 由此得到橫截面上距中性軸為任意由此得到橫截面上距中性軸為任意 y 的點(diǎn)上的切應(yīng)力的點(diǎn)上的切應(yīng)力 。yxzyBmnB1A1mnN*1N*2AdFSdxb73（2）公式推導(dǎo)）公式推導(dǎo)yxzBmnAB1A1mnN*1N*21求求 N1* 和和 N2* 假設(shè)假設(shè) mm , nn上的彎矩上的彎矩為為 M 和和 M+dM 。兩截面上距中性軸兩截

24、面上距中性軸 y1 處的處的正應(yīng)力為正應(yīng)力為 1 和和 2 。y1dAdA174yxzBmnAB1A1mnN*2dANA *1*1 dAyIMdAA*IyMA*zz 11SIM*ZZ 用用 A* 記作記作 mA1 的面積的面積Sz* 是面積是面積 A* 對(duì)中性軸對(duì)中性軸 z 的的靜矩。靜矩。A*N*1dA1y175yxzBmnAB1A1mnN*2A*N*1dA1y1dANA *1*1 SIM*ZZ 同理同理SIdMMdANZZA*2*2* 76N*1SIM*ZZ SIdMMNZZ*2 2由靜力平衡方程求由靜力平衡方程求 dFS012 dFNNS*SIdMNNdFzzS* 12yxzBmnAB1

25、A1mnN*1N*2dFS77SIdMNNdFzzS* 12yxzBmnAB1A1mn3求縱截面求縱截面 AB1 上的剪應(yīng)力上的剪應(yīng)力 IbSFzzS *dxbdFSSdxdMbIdxbdFzzS* 1 78yxzBmnAB1A1mndxb4橫截面上距中性軸為任意橫截面上距中性軸為任意 y 的點(diǎn)，其切應(yīng)力的點(diǎn)，其切應(yīng)力 的計(jì)的計(jì)算公式。算公式。bISFzSz * IbSFzzS * dFS79上式為上式為 矩形截面梁矩形截面梁 對(duì)稱彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的對(duì)稱彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力計(jì)算公式。切應(yīng)力計(jì)算公式。bISFzSz * 80Iz 橫截面對(duì)中性軸的慣性矩橫截面對(duì)中性軸的慣性矩b 矩

26、型截面的寬度矩型截面的寬度 其方向與剪力其方向與剪力 FS 的方向一致的方向一致FS 橫截面上的剪力橫截面上的剪力bISFzSz * 81ZbyA*Sz* 過求切應(yīng)力的點(diǎn)做與中性軸平行的直線，該線任一邊過求切應(yīng)力的點(diǎn)做與中性軸平行的直線，該線任一邊的橫截面面積的橫截面面積A* 對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)中性軸的靜矩。yA*bISFzSz * 823，切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律，切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律 沿截面高度的變化由靜矩沿截面高度的變化由靜矩 Sz* 與與 y 之間的關(guān)系確定。之間的關(guān)系確定。bISFzSz * 83nBmAm1A1B1xyzOy A*dAyS*z1A*84nBmAm1A1B1x

27、yzOyy1dy1 A*dAyS*z1 211hyzdybyS*)4(222yhb dybdA 1b85可見可見 ，切應(yīng)力沿，切應(yīng)力沿 截面高度按拋物線規(guī)律變化。截面高度按拋物線規(guī)律變化。)(yhIFZS2242 )4(222*yhbSZbISFzSz * 862hy 處，（處，（即在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處即在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處)，切應(yīng)力等于零，切應(yīng)力等于零0 y = 0 處，處，( 即在中性軸上各點(diǎn)處即在中性軸上各點(diǎn)處） ，切應(yīng)力達(dá)到最大值，切應(yīng)力達(dá)到最大值A(chǔ)FbhFhbhFIhFSSSzS23231288322 max)(yhIFZS2242 87式中式中 ， A = b h , 為矩

28、形截面的面積為矩形截面的面積 。AFS23 max max矩形截面剪應(yīng)力沿截面高度的變化如圖所示。矩形截面剪應(yīng)力沿截面高度的變化如圖所示。88z截面靜矩的計(jì)算方法截面靜矩的計(jì)算方法 ACzyAydASAA 為截面面積為截面面積yC 為截面的形心坐標(biāo)為截面的形心坐標(biāo)yC89例題例題: 矩形截面外伸梁如圖所示矩形截面外伸梁如圖所示.試求試求: (1) 橫截面橫截面 1-1 上點(diǎn)上點(diǎn) 1 處的應(yīng)處的應(yīng)力力 ; (2) 橫截面橫截面 2-2 上點(diǎn)上點(diǎn) 2 , 3 , 4 處的應(yīng)力處的應(yīng)力; (3) 以單元體分別示出各以單元體分別示出各該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài) ( 應(yīng)力應(yīng)力 ) 情況情況 .FF

29、/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz90FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz解：解：(1) 點(diǎn)點(diǎn) 1 處的應(yīng)力處的應(yīng)力1-1截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力4,211FlMFFS)(422311AFAFS0191FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz)(422311AFAFS01AF43192FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz解：解：(1) 點(diǎn)點(diǎn) 2，3，4 處的應(yīng)力處的應(yīng)力2-2 截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力4,22FlMFFS93FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz0),(2

30、36422222bhFlbhFlWMz2bhFl23294FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz0),(2323323AFAF3AF2395FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz)(89)4(42222*24AFhhIFbISFzSzzS3AF89)(4312)4)(4(23424bhFlbhhFlIyMzbhFl43296二，工字形截面二，工字形截面 0b1z 0b1腹板腹板1，腹板上的切應(yīng)力，腹板上的切應(yīng)力下翼緣下翼緣上翼緣上翼緣97 0b1z 0b1bISFzzS1 A* 過欲求應(yīng)力點(diǎn)的水平線，到截面邊緣的距離。過欲求應(yīng)力點(diǎn)的水平線，到

31、截面邊緣的距離。FS 橫截面上的剪力。橫截面上的剪力。Iz 橫截面對(duì)中性軸的慣性矩橫截面對(duì)中性軸的慣性矩b1 截面的寬度截面的寬度Sz 面積面積 A* 對(duì)中性軸的靜矩對(duì)中性軸的靜矩A*腹板腹板下翼緣下翼緣上翼緣上翼緣98切應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布。最大的切應(yīng)力切應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布。最大的切應(yīng)力 max仍發(fā)生在截面的中性軸上。仍發(fā)生在截面的中性軸上。 max 0b1z 0b1腹板腹板下翼緣下翼緣上翼緣上翼緣99 0b1z 0b12，翼緣上的切應(yīng)力，翼緣上的切應(yīng)力翼緣上的切應(yīng)力有翼緣上的切應(yīng)力有豎向切應(yīng)力分量豎向切應(yīng)力分量 和和水平切應(yīng)力分量水平切應(yīng)力分量 。本書只介紹本書只介紹

32、 水平切應(yīng)力水平切應(yīng)力 的的計(jì)算方法及其方向的判定。計(jì)算方法及其方向的判定。K腹板腹板下翼緣下翼緣上翼緣上翼緣100翼緣上的翼緣上的 水平切應(yīng)力水平切應(yīng)力 可認(rèn)為可認(rèn)為沿翼緣厚度是均勻分布的，沿翼緣厚度是均勻分布的，其計(jì)算公式為：其計(jì)算公式為： ISFzzS水平 0b1z 0b1K101 0b1z 0b1 ISFzzS水平FS 截面上的剪力截面上的剪力Iz 截面對(duì)中性軸的慣性矩截面對(duì)中性軸的慣性矩Sz 欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊緣間的面積緣間的面積 A* 對(duì)中性軸的靜矩對(duì)中性軸的靜矩 0 翼緣的厚度翼緣的厚度y0yzyASz000* zKA*102 ISFzzS水平Sz與與 z 成線

33、性關(guān)系，所以成線性關(guān)系，所以 max沿水平方向成直規(guī)律分布。沿水平方向成直規(guī)律分布。 0z 0b1zKyzyASz000* y01033，切應(yīng)力流，切應(yīng)力流翼緣上的水平切應(yīng)力方向與翼緣上的水平切應(yīng)力方向與腹板上的豎向切應(yīng)力方向之腹板上的豎向切應(yīng)力方向之間存在著一定的規(guī)律，該規(guī)間存在著一定的規(guī)律，該規(guī)律就是組成律就是組成“切應(yīng)力流切應(yīng)力流”。既截面上切應(yīng)力方向就象水管既截面上切應(yīng)力方向就象水管中主干管與支管中的水流的方中主干管與支管中的水流的方向一樣。向一樣。 0z 0b1zKy0104 dISFzzsyZbd105對(duì)所有開口薄壁截面，其橫截面的切應(yīng)力方向均符合對(duì)所有開口薄壁截面，其橫截面的切應(yīng)

34、力方向均符合“切應(yīng)力流切應(yīng)力流” 的規(guī)律。的規(guī)律。106二，其它形狀截面二，其它形狀截面1，T字型截面字型截面z max下面的狹長(zhǎng)矩形與工字形截面的下面的狹長(zhǎng)矩形與工字形截面的腹板相似，該部分的切應(yīng)力公式腹板相似，該部分的切應(yīng)力公式仍為仍為bISFzzS1 最大切應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上。最大切應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上。1072，圓形及環(huán)形截面，圓形及環(huán)形截面圓形及薄壁環(huán)形其最大圓形及薄壁環(huán)形其最大 豎向切應(yīng)力豎向切應(yīng)力也都仍發(fā)生在中性軸上。并沿中性軸也都仍發(fā)生在中性軸上。并沿中性軸均勻分布。均勻分布。圓形截面圓形截面AFs1max34 薄壁環(huán)形截面薄壁環(huán)形截面AFs2max2 z maxz maxZ

35、Fsmax108圓形截面圓形截面AFs1max34 薄壁環(huán)形截面薄壁環(huán)形截面AFs2max2 A2 薄壁環(huán)形截面的面積。薄壁環(huán)形截面的面積。FS 截面上的剪力；截面上的剪力；A1 圓形截面的面積；圓形截面的面積；zz max max109例題例題：圖示：圖示 T 形截面梁：形截面梁： 求求 FS,max 所在橫截面上腹板內(nèi)切應(yīng)力所在橫截面上腹板內(nèi)切應(yīng)力的最大值的最大值 max ； 繪出該橫截面腹板內(nèi)切應(yīng)力的變化圖。繪出該橫截面腹板內(nèi)切應(yīng)力的變化圖。803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1mIz = 290. 6 10-8 mm4110803565202080zP1=

36、8KNP2=3KNAcBD1m1m1m解：（解：（1）畫剪力圖，計(jì)算最大切應(yīng)力）畫剪力圖，計(jì)算最大切應(yīng)力+-32.55.5KNFS5 . 5max,111803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1mKNFS5 . 5max,mSz36*max,1025.42265)2065(MPadISFzzS00. 4*max,max,max112803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m（2）畫腹板內(nèi)切應(yīng)力的變化圖）畫腹板內(nèi)切應(yīng)力的變化圖求腹板上與翼緣交界處的切應(yīng)力求腹板上與翼緣交界處的切應(yīng)力mSz36*1040)1035()2080(MPadISFz

37、zS79. 3*max,1113803565202080zMPadISFzzS79. 3*max,1MPadISFzzS00. 4*max,max,max3.794.001149-6 梁的強(qiáng)度條件梁的強(qiáng)度條件等直梁等直梁 橫力彎曲橫力彎曲 時(shí)，某一橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在時(shí)，某一橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置。距中性軸最遠(yuǎn)的位置。yIxMzmaxmax)( 一，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件一，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件115yIMzmaxmaxmax 梁上最大的正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面上距中性軸最遠(yuǎn)的位置梁上最大的正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面上距中性軸最遠(yuǎn)的位置116梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：梁的正

38、應(yīng)力強(qiáng)度條件為：梁的橫截面上最大工作正應(yīng)力梁的橫截面上最大工作正應(yīng)力 max 不得超過材料的許用彎曲不得超過材料的許用彎曲正應(yīng)力正應(yīng)力 即即 max117WMyIMyIMZzzmaxmaxmaxmaxmaxmax 1，對(duì)于中性軸為對(duì)稱軸的截面，對(duì)于中性軸為對(duì)稱軸的截面yIWzzmaxWz 稱為抗彎截面系數(shù)稱為抗彎截面系數(shù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件為正應(yīng)力強(qiáng)度條件為maxmax WMz1182，對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的截面，對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的截面ct比如鑄鐵等比如鑄鐵等 脆性材料脆性材料 制成的梁，由于材料的制成的梁，由于材料的（兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上）（兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上）且梁橫截面

39、的且梁橫截面的 中性軸中性軸 一般也不是對(duì)稱軸，所以梁的一般也不是對(duì)稱軸，所以梁的maxmaxct119要求梁上要求梁上 最大的拉應(yīng)力最大的拉應(yīng)力 和和 最大的壓應(yīng)力最大的壓應(yīng)力 分別不超過材料分別不超過材料的的 許用拉應(yīng)力許用拉應(yīng)力 和和 許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力 。max ttccmax正應(yīng)力強(qiáng)度條件為正應(yīng)力強(qiáng)度條件為120（1）可對(duì)梁按正應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核）可對(duì)梁按正應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核3，正應(yīng)力強(qiáng)度條件解決三方面問題，正應(yīng)力強(qiáng)度條件解決三方面問題maxmax WMzmax ttccmax（中性軸是對(duì)稱軸）（中性軸是對(duì)稱軸）（中性軸不是對(duì)稱軸）（中性軸不是對(duì)稱軸）121（2）選擇梁的截面）選擇梁的

40、截面（3）確定梁的許可荷載）確定梁的許可荷載max MWzmax WMz122二、二、 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁上最大切應(yīng)力梁上最大切應(yīng)力 max一定發(fā)生在最大剪力一定發(fā)生在最大剪力 FSmax 的橫截面上，的橫截面上，且一般說是位于該截面的中性軸上且一般說是位于該截面的中性軸上 。全梁各橫截面中最大切應(yīng)力可統(tǒng)一表達(dá)為全梁各橫截面中最大切應(yīng)力可統(tǒng)一表達(dá)為bISFzzS*maxmaxmax 123b 橫截面在中性軸處的寬度橫截面在中性軸處的寬度Fsmax 全梁的最大剪力全梁的最大剪力Iz 整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩Sz*max 中性軸一側(cè)的半個(gè)橫截面面積對(duì)

41、中性軸的靜矩中性軸一側(cè)的半個(gè)橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩bISFzzS*maxmaxmax 124梁除滿足正應(yīng)力強(qiáng)度外，還需滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度。梁除滿足正應(yīng)力強(qiáng)度外，還需滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度。對(duì)于橫力彎曲下的等直梁對(duì)于橫力彎曲下的等直梁 ，其橫截面上一般既有彎矩又有，其橫截面上一般既有彎矩又有剪力剪力。梁上最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的橫截面上距中性軸梁上最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處 。而梁上最大的切應(yīng)力發(fā)生在剪力最大的橫而梁上最大的切應(yīng)力發(fā)生在剪力最大的橫截面上中性軸的各點(diǎn)處截面上中性軸的各點(diǎn)處 。125梁的最大切應(yīng)力一般在最大剪力所在橫截面的中性軸上各點(diǎn)梁的最大切應(yīng)力一

42、般在最大剪力所在橫截面的中性軸上各點(diǎn)處，這些點(diǎn)的正應(yīng)力處，這些點(diǎn)的正應(yīng)力 = 0梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為*maxmax bISFzzS式中式中 ： 為材料在橫力彎曲時(shí)的許用剪應(yīng)力為材料在橫力彎曲時(shí)的許用剪應(yīng)力。Sz*max為中性軸任一邊的半個(gè)橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩為中性軸任一邊的半個(gè)橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩126在選擇梁的截面時(shí)，通常先在選擇梁的截面時(shí)，通常先 按正應(yīng)力選出截面按正應(yīng)力選出截面 ，再按切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核再按切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。*maxmax bISFzzS127例題例題：一簡(jiǎn)支梁受四個(gè)集中荷載：一簡(jiǎn)支梁受四個(gè)集中荷載 P1=120KN，P2 =30KN，P3

43、=40KN，P4=12KN。此梁由兩根槽鋼組成。此梁由兩根槽鋼組成 ，已知梁的，已知梁的許用應(yīng)力許用應(yīng)力 =170MPa，=100MPa 。 試選擇槽鋼型號(hào)。試選擇槽鋼型號(hào)。zyo0.60.40.40.32.4ABP1P2P3P4128RARB解：支座反力為解：支座反力為RA = 138KN RB = 64KN zyo0.60.40.40.32.4ABP1P2P3P4129畫內(nèi)力圖畫內(nèi)力圖FS,max = 138KNMmax = 62.4KN.55.262.45438.413013818125264+55.262.45438.4（1）由正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇）由正應(yīng)力強(qiáng)度

44、條件選擇槽鋼型號(hào)槽鋼型號(hào) m1036736maxMWz根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件公式根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件公式 ，此，此梁所需要的抗彎截面系數(shù)為梁所需要的抗彎截面系數(shù)為131每一槽鋼所需要的抗彎截面系數(shù)為每一槽鋼所需要的抗彎截面系數(shù)為m105 .183210367366Wz從型鋼表中選用從型鋼表中選用 20 號(hào)槽鋼，其抗彎截面系數(shù)為號(hào)槽鋼，其抗彎截面系數(shù)為m1019136Wz能滿足上列強(qiáng)度要求能滿足上列強(qiáng)度要求13220075100119*maxmax, bISFzzS（2） 校核最大切應(yīng)力校核最大切應(yīng)力kN138 FS max,mSz36*max106 .1132)11100(9)11100()2111

45、00(7511133由型鋼表查得由型鋼表查得 20 號(hào)槽鋼的號(hào)槽鋼的 Iz = 19100 cm4。 MPa5 .45*maxmax,maxdISFzzS由此可見，所選的由此可見，所選的 20 號(hào)槽鋼滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件，也滿號(hào)槽鋼滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件，也滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件，因而可用。足切應(yīng)力強(qiáng)度條件，因而可用。由于梁是由兩根槽鋼組成由于梁是由兩根槽鋼組成 ， 故每一根槽鋼分擔(dān)的最大剪力為故每一根槽鋼分擔(dān)的最大剪力為KNFS692max,13480y1y22020120z例題例題：T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為抗拉許用應(yīng)力為

46、 t = 30MPa ,抗壓許用應(yīng)力為抗壓許用應(yīng)力為 C =160MPa 。已知截面對(duì)形心軸。已知截面對(duì)形心軸Z的慣性矩為的慣性矩為 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的強(qiáng)度。校核梁的強(qiáng)度。 P1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m135解：支座反力為解：支座反力為KN.RA52 KN.RB510 RARBP1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m畫出彎矩圖。畫出彎矩圖。80y1y22020120z136最大正彎矩在截面最大正彎矩在截面C上上mKNMC.52 最大負(fù)彎矩在截面最大負(fù)彎矩在截面B上上mKNMB.4 +-2.54CBP1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m80y1y22020120z137+-2.54CB80y1y22020120z B 截面截面2 .271max tzBtMPaIyM 2 .462max czBcMPaIyM P1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m138+-2.54CB80y1y22020120zC 截面截面8 .282max tzCtMPaIyM P1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m171maxtzCCMPaIyM139例題例題：一外伸工字型鋼梁，工字鋼的型號(hào)為：一外伸工字型鋼梁，工字鋼的型號(hào)為 22a，已知：，已知： l = 6m， F= 30KN，q = 6KN/m，材料的許