初中的幾何輔助線技巧秘籍

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案初中幾何輔助線技巧大全初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。 線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線。 上述方法不奏效

2、，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。 切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。 圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。 要想作個外接圓.各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓.內(nèi)角平分線夢圓 如果遇到相交圓.不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓.經(jīng)過切點公切線。 若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目

3、少困難。 汪忠點輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。 基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相 等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短

4、邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下 考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與 猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能 掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地 去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以 介紹如圖1-1 , /AOCW BOC如取OE=OF并連接DE DF,則有 OE' OFD從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。D例1. 如圖 1-2, AB/CD, BE平分/ BCD CE平分/ BCD點E在AD上，求

5、證：BC=AB+CD分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形， 即 利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題， 在證 明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。 但無論延長還是截取都要證明線 段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的 線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達(dá)到證明 的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。 另外一個全等自已證明。此 題的證明也可以延長BE與CD

6、的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2. 已知：如圖 1-3, AB=2AC / BADW CAD DA=DB 求證 DCLAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明例3. 已知：如圖1-4,在4ABC中，Z C=2Z B,AD平分/ BAC求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明 中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的 和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的 線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的 延長來證明呢？練習(xí)1. 已知在 ABC中，AD平分/ BAC /B= 2/C,求證：AB+BD=AC2.

7、 已知：在 ABC中，/CAB=Z B, AE平分/ CA皎 BC于 E, AB=2AC求證：AE=2CE精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案3. 已知：在 ABC中,AB>AC,ADz/ BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC4. 已知：D是4ABC的/BAC勺外角的平分線AD上的任一點，連接DBDC 求證：BD+CD>AB+AC（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線， 利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明 問題。A例1.如圖 2-1 ,已知 AB>AD, / BAC= FAC,CD=BC求證：/ ADC廿 B=180分析

8、：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC B 與/B之和為平角。圖2-1例2.如圖 2-2,在 ABC中，/A=90 , AB=AC / ABDW CBD圖2-2求證：BC=AB+AD分析：過D作Dn BC于E,則AD=DE=CE則構(gòu)造出 全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題， 從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3.已知如圖2-3, ABC的角平分線 BM CN相交于點P。求證：/ BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP,證AP平分/ BAC即可，也就是證P到ARAC的距離相等。練習(xí):1.如圖 2-4/AOPW BOP=15 , PC/OA, PDL OA, 如果 PC=4

9、 貝U PD=()ODA 4 B 3 C 2 D 12.已知在ABCt, / C=90 , AD 平分 / CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AC3,已知：如圖 2-5, ZBAC= CAD,AB>A D CH AB,1AE=2 (AB+AD .求證：/ D+/ B=180 。4 .已知：如圖2-6,在正方形ABCLfr, E為CD的中點,F為BC上的點，/ FAEW DAE 求證：AF=AD+CF5 . 已知：如圖 2-7,在 RtAABC, / ACB=90 ,CD±AB,垂足為 D, A E平分/ CAB交CD于F,過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH圖2-7

10、（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點， 該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一 邊相交）。例1. 已知：如圖 3-1 , / BADW DAC AB>AC,CD_AD于 D, H是 BC中點。 1 一求證：DHh （AB-AC 2分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證圖3-2例2.已知：如圖 3-2, AB=AC / BAC=90 , AD為/ A BC的平分線，CE! BE

11、.求證：BD=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3.已知：如圖3-3在4ABC中，AD> AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線,AD=AB CML AD 交 AD過頂點B作BFAD交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于M求證：AM=ME分析：由AD AE是/BAC內(nèi)外角平分線，可得EA ，AF,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。例4.已知：如圖3-4,在4ABC中，AD平分/ BAC1 _.延長線于 M 求證：AM= (AB+AC2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作

12、AB 1 一 一 D關(guān)于AD的對稱4AED然后只需證DM=EC另外1 _ 一，一由求證的結(jié)果AM= (AB+AC,即2AM=AB+AC也可 嘗試作 AC岷于CM勺對稱 FCM然后只需證DF=C F即可。練習(xí)：1. 已知：在 ABC中，AB=5 AC=3 D是BC中點，AE是/ BAC的平分線，且CELAE于E,連接DE,求DE2. 已知BE、BF分別是4ABC的/ ABC的內(nèi)角與外角的平分線， AF±BF于F, AE1 BE于E,連接EF分別交 AB AC于M N,求證MN=1 BC(四)、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)

13、造等腰三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交， 從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-1例 4 如圖，AB>AC, /1 = /2,求證：AB-AC>BD-CD例 5 如圖，BC>BA BD 平分/ABC 且 AD=CD 求證：/ A+/ C=18Q例6 如圖，AB/ CD AE DE分另I平分/ BA略/ ADE求證：AD=AB+GD練習(xí)：1 .已知，如圖，/ C=2Z A, AC=2BC求證： ABCg直角三角形2 .已知：如圖，AB=2AC /1 = /2, DA=DB 求證：DC1 AC3 .已知CE AD是ABC勺角平分

14、線，/ B=60° ,求證：AC=AE+CD4 .已知：如圖在ABCt, /A=90° , AB=AC BD是/ ABC的平分線，求證:BC=AB+AD三由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等 于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線 段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形

15、中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可 連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中， 再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1: D、E為4ABC內(nèi)兩點，求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：(法一)將DE兩邊延長分別交 AB AC于M N,在AlW, AM+AN>MD+DE+N日;)在ABDh/l, MB+MD>BD2)在ACENfr, CN+NE>CE(3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE.AB+AC>BD

16、+DE+EC(法二：圖 1-2)延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G 在AABFffi GFCffi 仃口皿有：AB+AF>BD+DG+GE角形兩邊之和大于第三邊)(1)GF+FC>GE+CE上)(2)DG+GE>D 加上)(3)由(1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+AC>BD+DE+o EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在 某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上， 再利用外角定 理：例如

17、：如圖2-1:已知D為 ABC內(nèi)的任一點，求證：/ BDC>/BAC。分析|因為/ BDC與/BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角 的位置；證法一：延長BD交AC于點E,這時/ BDCg£C!勺外角，丁. / BDC> DEC 同理/ DEC> BAC / BDC> BAC 證法二：連接AD并廷長交BC于F,這時/ BD支ZXABD的 外角， ./ BDF/ BAD 同理，C CDF/ CAD . . / BDF+/ CDF/ BAD它 CAD 即：/ BDC2 BAC注意：

18、利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,如：例如：如圖3-1：已知AD為 ABC的中線，且/ 1 = / 2,/3=/4,求證：BE+CF>EF。巫：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定 理證明，須把BE, CF, EF移到同一個三角形中，而由 已知/ 1 = /2,/3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN, FN, EF移到同個三角形中。證明：在DNL1截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=DC

19、在DBEffi 4NDE 中：'DN=DB輔助線作法）/1 = /2 （已知）''ED=ED（公共邊）. .DB陷 ANDE （SAS. BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在ZXEFN中EN+FN>EF三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>E F注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段， 構(gòu)造全 等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1:在ABC, AB>AC /1=/ 2, P為AD上 任一點求證：AB-AC>PB-PC分析|要證：AB-AC>PB

20、-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為 欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AC彳# AB-AC=BN再連接PN則PC=PN又在 PNB中， PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC證明：（截長法）在AB上截取AN=AC 連接PN,在AAPN和AAPC中AN=AC （輔助線作法）、/1= /2 （已知）AP=AP （公共邊）ZAPNAPC （SAS） ,PC=PN （全等三角形對應(yīng)邊相等）在ZBPN中，有PB-PN<BN （三角形兩邊之差小于第三邊）.BP-PC<AB-AC證明：（補短法）延長AC至M ,使

21、AM=AB ,連接PM ,在Z1ABP和MMP中，AB=AM （輔助線作法）/1= /2 （已知）AP=AP （公共邊）/.zABPAMP （SAS）.PB=PM （全等三角形對應(yīng)邊相等）又.在ZPCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）. AB-AC>PB-PC 。例2如圖，在四邊形 ABCg, AC平分/BAD CH AB于E, AD+AB=2A E求證：/ ADC廿 B=1800精彩文檔例3已知：如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC/A=108° , BD平分,ABC求證：BC=AB+D C例4如圖，已知 RtzXABC中，/ACB=90 , AD是

22、/ CAB的平分線，DMLAB1于 M 且 AM=MB求證：CD=2 DR1 .如圖，AB/ CD AE DE分另1J平分 / BAD# /ADE 求證：AD=AB+G DB2 .如圖， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是過 A的一條直線，且 B, C 在AE的異側(cè)，四由中點想到的輔助線BDL AE于 D, CELAE于 E。求證：BD=DE+CE口訣:三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點， 那么首先應(yīng)該聯(lián)想到 三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、 等腰三角形底邊中線性

23、質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖 1, AD是 AABC的中線，WJ Saabd=Saace=2 sAabc （因為 AABDW A ACD是等底同高的）例1.如圖2, A ABC中,AD是中線，延長 AD到E,使DE=AD DF是A DCE的中線。已知A ABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因為AD是AABC的中線，所以Sa ac=- Sa ab（=1x2=1,又因CD® A AC 22E 的中線，故 Sacd=Saac=1,因DF是ACDE勺中線，所以SaCD= SaCDE= X 1=_ o 222 A CDF勺

24、面積為-02（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCLfr, AB=CD E、F分別是BG AD的中點，BACD的延長線分別交EF的延長線 G A求證：/ BGE=CHE證明：連結(jié)BD并取BD的中點為 M 連結(jié)ME MF.M皿A BCD勺中位線，.ME - CD/ MEFW CHE.MF是A ABD勺中位線, .MF ' AR ./ MFEW BGEv AB=CD ME=MF/ MEFW MFE從而/ BGEW CHE（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3.圖4,已知AABC中，AB=5 AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長。解：延長 AD至ij E,使 DE=

25、AD 貝U AE=2AD=2 2=4。在 A ACM AEBD中， AD=ED / ADC=EDB CD=BD.AAC*AEBDAC=BE從而 BE=AC= 3在 A ABE中，因 A：+BE=42+32=25=AB,故/ E=90° ,BD=jE£1+ O產(chǎn)=杼 + 2? =JH，故 BC=2BD=23。AD又是BC邊上的中圖5例4.如圖5,已知AABC中，AD是/BAC的平分線， 線。求證：AABC等腰三角形。證明：延長 AD到E,使DE=AD仿例3可證：A BED A CAD故 EB=AC / E=/ 2,又/ 1=/ 2,/ 1=/ E,；AB=EB從而AB=AC即

26、A ABC®等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5.如圖 6,已知梯形 ABCD, ABZ/DC, AC±BC ADLBD,求證：AC=BD證明：取 AB的中點E,連結(jié)DE CE貝U DE CE分另為RtA ABD Rt A ABC 1 ， ，斜邊AB上的中線，故 DE=CE=AB,因止匕/ CDE=T DCEVAB/DC, ./ CDE= 1, / DCE=2, / 1=/2,在AAD刖ABCE中,. DE=CE / 1=/ 2, AE=BEA AD圖A BCE ；AD=BC從而梯形 ABC此等腰梯形，因止匕AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三

27、角形的中線例6.如圖7, A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于點D, CE垂直于BD交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE證明：延長BA CE交于點F,在ABEF和ABECt,/1=/ 2, BE=BE / BEF玄 BEC=90 , A BEH A BEC - EF=EC 從而 CF=2CE又/1+/ f=/ 3+/ F=90° ,故 / 1 = /3。90在 A ABM AACF中，. / 1=/3, AB=AC / BAD= CAF= AABD AACFBD=CF : BD=2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線（六）中線延

28、長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可 得到全等三角形。例一：如圖 4-1 : AD為4ABC的中線，且/ 1 = /2, /3=/4,求證：BE+CF>ER證明：廷長ED至M,使DM=DE連接CM MR 在BDEffi ACDh/l,BD=CD中點定義）'/1 = /5（對頂角相等）-ED=MD輔助線作法）zBD陷 ACDIM （SAJ5又: /1=/ 2, / 3=/ 4 （已知）/1 + /2+/ 3+Z 4=180° （平角的定義）Z 3+7 2=90°即：/EDF=90丁. / FD

29、M= EDF=90在 zED林口 AMDFtED=M D輔助線作法）/EDFWFDM（已證）DF=DF（公共邊）. .ED/MDF（SAS. EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）.在ACM葉,CF+CM>M1角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍FD,證法同上。詞 當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時， 可通過延長加倍此線段，構(gòu) 造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1 : AD為4ABC的中線，求證：AB+AC>2AD分析：要證 AB+AC>2AD 由圖想至U： AB+BD>AD,AC+CD>AD以有 AB+AC+BD+CD>A

30、D+AD=2A仄邊比要證結(jié)論多BD+CD故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長AD至E,使DE=AD連接BE, CE.AD為 ABC的中線（已知）.BD=CD（中線定義）在ACDffi 4EBD 中BD=CD已證）/1 = /2 （對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）. .AC* AEBD （SAS. BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在 ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊） .AB+AC>2AD練習(xí):1如圖，AB=q AC=8 D為BC的中點，求AD的取值范圍。如圖，AB=CD E為 BC的中點

31、，/ BACW BCA 求證：AD=2AE如圖，AB=AC AD=AEM為 BE中點，/ BACW DAE=90 。求證：AML DC4,已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD5.已知：如圖AD為ABC勺中線，AE=EF求證:BF=ACDC五全等三角形輔助線找全等三角形的方法：(1)可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個可 能全等的三角形中；(2)可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；(3)從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考慮添加

32、輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思 維模式是全等變換中的“對折” .2)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等 三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” .3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的 思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定 理或逆定理.4)過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思

33、維模式是 全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相 等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì) 加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時， 常把某點到原三角形各頂 點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.（一）、倍長中線（線段）造全等1:（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3則中線AD的取值范圍是2:如圖，/XABC, E、F分別在AR AC上,E+C* EF的大小.B3:如圖，ABCt, BD=DC=ACE是DC的中

34、點，求證：AD平分/ BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以AABC的兩邊AB AC為腰分別向外作等腰RtAABD和等 腰RtAACE , /BAD =/CAE=90二連接DE, M N分別是BC DE的中點.探究： AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖 當(dāng)AABC為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.（2）將圖中的等腰RtAABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)9 （0日90）后,（二）、截長補短1.如圖,ABC 中，AB=2AC A葉分工bac ,且 AD=BD 求證：CD! AC2:如圖,3:如圖,AC BD,

35、 EA,EB分別平分/ CAB,/ DBA CD過點 E,求證;AB=AC+BD00已知在 1ABe 內(nèi)，/BAC=60 , NC=40 , p, Q 分別在 BC CA上，并且AP,BQ分別是/ bac ,=AB+BP4:如圖，在四邊形 ABCD中，BC> BA,AD= CD BD平分/ABC ,求證:AC =1800;AB-AC5:如圖在 ABC中，AB>AC, /1 = /2, P為AD上任意一點，求證 >PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）如札在四辿如ABCD中對。/BCt點E是AB上一個劭點.若£占=60%= g 口 £Z>EC = 6（F,

36、判斷 W >4E均BC的關(guān)系井口E明你的結(jié)論 解:,（三）、平移變換1.AD為 ABC的角平分線，直線 MNL AD于A.E為MNk一點， ABC周長記為PA , AEBC周長記為PB .求證PB> PA.2:如圖，在 ABC的邊上取兩點 D E,且BD=CE求證：AB+AC>AD+AE.（四）、借助角平分線造全等1:如圖，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分線 AD,CE相交于點 O,求證：OE=OD2: （06鄭州市中考題）如圖，DF=1 AC于 F. (1)說明 BE=CFD 平分 / BAC DGL BC且平分 BC, DEL AB于 E,的

37、理由；（2）如果 AB=a, AC± ,求 AE、BE的長.中考應(yīng)用（06北京中考）如圖，OP是/MON勺平分線，請你利用該圖形畫一對以 O P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下歹I問題:(1)如圖，在ABC, /AC呢直角，/ B=60° , AD CE分別是/ BAC /BCA勺平分線，AD CEffi交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，在ABCt,如果/ ACBf是直角，而(1)中的其它條件不變,(五)、旋轉(zhuǎn)1:正方形ABCD43,E為BC上的一點,F為CD上的一點，BE+DF=EF求/ EAF的度數(shù).2:

38、D為等腰RtiABC斜邊AB的中點，DML DN,DM,D的另J交BC,CA于點E,F(1)(2)當(dāng)/MDN繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF若AB=2求四邊形DECF勺面積A&BDC是等腰三角形，且3.如圖,ABC是邊長為3的等邊三角形,NBDC =1200,以D為頂點做一個600角，使其兩邊分別交AB于點M交AC于點N,連接MN則AAMN的周長為；D中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形ABCD中，AB 1 AD , BC±CD , AB = BC , /ABC =120，, ZMBN =60，, / MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD, DC （或 它們的延長線）于E，F(xiàn) .當(dāng)/

39、MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1）,易證AE+CF = EF .當(dāng)/MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE,CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF , EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.兩點落在直線AB的兩側(cè).D（圖1）（圖2）（圖3）（1）如圖，當(dāng)/ APB=45時，求AB及PD的長;（2）當(dāng)/ AP皎化，且其它條件不變時，求PD的最大值,及相應(yīng)/ APB的大小.(09崇文一模)在等邊MBC的兩邊ar AC所在直線上分別有兩點 M N,D 為 1ABe 外一點，且 NMDN =60：/BDC =120：BD=DC.探究：當(dāng) M

40、N 分別 在直線AB AC上移動時，BM NC MN間的數(shù)量關(guān)系及&AMN的周長Q與等邊&ABC的周長L的關(guān)系.圖1圖2(I)如圖1,當(dāng)點 M N邊AB AC上，且DM=DNf, BM NC MN間的數(shù)量關(guān)系是；此時Q=; L (II )如圖2,點M N邊AB AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想(I)問的兩個 結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(III )如圖3,當(dāng)M N分別在邊AR CA的延長線上時，若AN=x ,則Q= (用x、L表示).六梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出 現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等

41、造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形 問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。 常見的幾種 輔助線的作法如下：（一）、平移1、平移一腰：例 1.如圖所示，在直角梯形 ABCtDK /A= 90° , AB/ DC AD= 15, AB=16, BO 17.求 CD的長.解：過點D作DE/ BC交AB于點E.又AB/ CD所以四邊形BCDEI平行四邊形.所以 DE= BO 17, C5 BE.在RDAE中，由勾股定理，得aU=dE aD,即 aU= 172- 152 = 64.所以A已8.所以B已AB- A已16 8 = 8.即C5

42、8.例2如圖，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月要AD=4求另一腰BC的取 值范圍解：過點B作BM/AD交CD于點M 在/XBCW, BM=AD=4CM=CD DM=CD AB=8- 3=5, 所以BC的取值范圍是：5-4<BC<54,即 1<BC<9 2、平移兩腰：例 3 如圖，在梯形 ABCD中,AD/BC, / B+ / C=90° , AD=1 BC=3 E、F 分別是AD BC的中點，連接EF,求EF的長。A £ D解：過點E分別作AB CD的平行線，交BC于點G H,可得/ EGHk / EHG= B+ / C=90°則E

43、GK直角三角形因為E、F分別是AD BC的中點，容易證得F是GH的中點11所以 EF =1GH =1(BC -BG -CH ) 221 _ _ 1 _ _(BC - AE - DE) BC -(AE DE )2 23 -1(BC - AD)(3 -1) F4 23、平移對角線：例 4、已知：梯形 ABCm，AD/BC, AD=1 BC=4 BD=3 AC=4 求梯形 ABCD的面積.解：如圖，作D曰AC交BC的延長線于: AD/ BC 四邊形ACE北平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=DE=AC=4.在DBEt, BD=3, DE=4 BE=5丁. / BDE=90 .一i BD

44、 ED 12作 DHL BC于 H,貝U DH = S梯形ABCD(AD BC) DH25 12 j=6.巳點.例5如圖，在等腰梯形 ABCDfr, AD/BC,AD=3 BC=7 BD=5正，求證：AC± BDDBE 5解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E,易得四邊形BCE北平行四邊形，貝U DE=BC CE=BD='2 ,所以 AE=AD- DE=AD- BC=* 7=10。在等腰梯形ABCDfr, AC=BD=<2 ?所以ftAACE, AC2 +CE2=（5V2）2 +（5歷2 .OOSE2 ,從而ACL CE,于是ACL BD例 6 如圖，在梯形 AB

45、CDt, AD/BC, AC=15cm BD=20cm 高 DH=12cm 求 梯形ABCD勺面積。解：過點D作DE/AC,交BC的延長線于點E,則四邊形ACE北平行四邊形，即 SBD =SCD =SCE o所以 S梯形ABCD = SBE由勾股定理得 EH = DE2 - DH 2 = . AC2 - DH 2= -22 =9(BH =v'BD2 - DH 2 =4202 -122 =16(cm) ci m-112S DBE BE DH (9 16) 12 =150(cm )所以 22,即梯形ABCD勺面積是2150cm。（二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7

46、 如圖，在梯形 ABCLfr, AD/BC, / B=50° , C C=8（J , AD=2 BC=5 求CD的長。解：延長BA CD交于點Eo在 BCE, / B=50° , / C=80° 。所以/ E=50° ,從而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EGED=5- 2=3例8.如圖所示，四邊形 ABCLfr, AD不平彳T于BC AO BD, AD= BC.判斷 四邊形ABCD勺形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD1等腰梯形.乃C證明：延長AD BC相交于點E,如圖所示./,. AC= BD AD= BG AB= BA,. .

47、DA皆 ACBA.丁 / DA四 / CBA. .EA= EB.又 AD= BCDE= CE / EDC= /ECD.而 / E+ / EA計 / EBA= / E+ /EDU / EC氏 180 ./EDC= /EAB-DC/ AB.又AD不平行于BC一四邊形ABC此等腰梯形.（三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 9 如圖 6,在直角梯形 ABCm,ADZ/BC, AB±AD, BC=CD BE! CDT點 E,求證：AD=DE解：連結(jié)BD由 ADBC,得/ ADBW DBE由 BC=CD 得/ DBC4 BDC所以/ ADBN BDE又 / BADW DEB=9

48、0 , BD=BD所以 RtABAtDRtABED得 AD=DE（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形 ABCm，ABDC, /ABC=90 , AB=2DC對角線A C±BD,垂足為F,過點F作EF/AB,交AD于點E,求證：四邊形 ABFE是等腰 梯形。證：過點D作DGL AB于點G, 則易知四邊形DGBO矩形，所以DC=BG 因為AB=2DC所以AG=GB從而 DA=DB 于是/ DABW DBA又EF/AB,所以四邊形ABF式等腰梯形。2、作兩條高例 11、在等腰梯形 ABCD, AD/BC, AB=CD / ABC=60 , AD=3cm BC=5c求：（1）

49、腰AB的長；（2）梯形ABCD勺面積.解：作 AE! BC于 E, DF± BC于 F,又AD/ BC四邊形 AEFD®矩形，EF=AD=3cm.AB=DC-1-.BE - FC (BC -EF) -1cm 2.在 RtABE中，/ B=60° , BE=1cm .AB=2BE=2cm AE = 3BE =cmS梯形ABCD(AD BC) AE2=4.3cm2例12如圖，在梯形 ABCm,AD為上底，AB>CD求證：BD>AC證：作AE± BC于E,彳DF± BC于F,則易知 AE=DF在 RtzXABE和 RtzXDCF中，因為

50、AB>CD AE=DF所以由勾月£定理得BE>CF即BF>CE在 RtzXBDF和 RtzXCAE中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形 ABCm,AB/DC,。是BC的中點，/ AOD=90 ,求證:AB+ CD=AD1證：取AD的中點E,連接OE則易知OE是梯形ABCD勺中位線，從而OE= 2（AB+ CD 在AODK /AOD=90 , AE=DE 一 1所以O(shè)E=AD2由、得AB+ CD=AD2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延 長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位

51、線。例14如圖，在梯形 ABCDt, AD/BC, E、F分別是BD AC的中點，求證:,、一一 1 ,、(1) EF/AD; (2) EF=(BCAD) 2證：連接DF,并延長交BC于點G,易證4AF陰 CFG則 AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF是BDG勺中位線1 - 從而 EF/BG,且 EF =-BG因為 AD/BG, BG =BC CG =BC AD1 ,、所以 EFAD, EF=（BCAD） 23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形 ABCDt, AD/ BC / BAD=90, E是DC上的中點，連接 AE 和 BE,

52、求 / AEB=Z CBEE解：分別延長AE與BC,并交于F點 / BAD=90fi AD/ BC ./ FBA=18&- / BAD=90又 : AD/ BC / DAEW F（兩直線平行內(nèi)錯角相等）/AEDW FEC（對頂角相等）DE=EC（E點是CD的中點）. .AD陷 AFCE （AASAE=FE在 ABF中 / FBA=90 且 AE=FEBE=FE （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）在 FEB中 /EBFW FEB/ AEB=/ EBF+ / FEB=2 CBE例16、已知：如圖，在梯形ABCm，AD/BC, AB±BC E是CD中點，試問:線段AE和BE之

53、間有怎樣的大小關(guān)系？ 解：AE=BE理由如下：延長AE,與BC延長線交于點F. DE=CE / AEDN CEF/ DAEW F. .AD陷 AFCE .AE=EFBE=AEVAB± BG例 17、已知：梯形 ABCDfr, AD/BC, E為 DC中點，EF，AB于 F點，AB=3c m, EF=5cm求梯形ABCD勺面積.解：如圖，過E點作MN/ AB,分別交AD的延長線于M點，交BC于N點.v DE=EC AD/ BC .DE陣 ACNE四邊形ABNMU平行四邊形v EF± AB,2 S梯形 abc=&abn=ABX EF=15cm【模擬試題】（答題時間：40

54、分鐘）1 .若等腰梯形的銳角是60° ,它的兩底分別為11cm, 35cm,則它的腰長為 cm2 .如圖所示，已知等腰梯形 ABC葉,AD/ BC /B= 60° , AD= 2, BO8, 則此等腰梯形的周長為（）3.如圖所示,A. 19B. 20C. 21D. 22AB/ CD, AE± DC AE= 12, BD= 20, AO 15,貝U梯形 ABCD的面積為（）A. 130 B. 140 C. 150 D. 160*4.如圖所示，在等腰梯形ABC肌D/ BC,對角線AC與BD互相垂直，且 AD= 30, BC= 70,求BD的長.5 .如圖所示，已知等腰

55、梯形的銳角等于 60° ,它的兩底分別為15cm和49 cm,求它的腰長.6 .如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中,AD/ BC AC± BD AM BO 10, DE ，BC于E,求DE的長.7 .如圖所示，梯形 ABC時，AB/ CD /D= 2/B, AN DC= 8,求AB的長.*8.如圖所示，梯形 ABCm，AD/ BC, (1)若E是AB的中點，且AN BC=CD則DE與CE有何位置關(guān)系？ ( 2) E是/ADCf / BCD勺角平分線的交點，則DE與CE有何位置關(guān)系？1.圓中作輔助線的常用方法：(1)作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。(2)若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利